10.3.2 随机模拟 课后·训练提升 基础巩固 1用随机模拟的方法得到的频率( A.大于概率 B.小于概率 C.等于概率 D.是概率的近似值 答案D 解桐由频率与概率的关系可知，频率是概率的近似值 2.使用随机模拟的方法估计某一随机事件的概率P时，下面说法正确的是() A实验次数越大，估计的精确度越低 B.随着实验次数的增加，估计值稳定在P附近 C若两人用同样的方法做相同次数的随机模拟，则他们得到的估计值也是相同的 D.某人在不同的时间用同样的方法做相同次数的随机模拟，得到的估计值一定相同 答案B 3.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先 利用计算器或计算机产生0-9之间的随机整数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术 不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功：再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟 产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部 成功”的概率为( A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 答案A 解析由10组随机数知，49之间的整数中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率 P品02 4.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0-9之间的随机整数指定0,1表示没有击中目 标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标：因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结 果.经随机模拟产生了20组随机数 5727029371409857034743738636 9647141746980371623326168045 601136619597742467104281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为)】 A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.75 答案D 解析该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有 0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为品-0,75 5.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同， 现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()。 A品 B时 c品 D品
10.3.2 随机模拟 课后· 基础巩固 1.用随机模拟的方法得到的频率( ). A.大于概率 B.小于概率 C.等于概率 D.是概率的近似值 答案 D 解析由频率与概率的关系可知,频率是概率的近似值. 2.使用随机模拟的方法估计某一随机事件的概率 P 时,下面说法正确的是( ). A.实验次数越大,估计的精确度越低 B.随着实验次数的增加,估计值稳定在 P 附近 C.若两人用同样的方法做相同次数的随机模拟,则他们得到的估计值也是相同的 D.某人在不同的时间用同样的方法做相同次数的随机模拟,得到的估计值一定相同 答案 B 3.某种心脏手术,成功率为 0.6,现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率:先 利用计算器或计算机产生 0~9 之间的随机整数,由于成功率是 0.6,故我们用 0,1,2,3 表示手术 不成功,4,5,6,7,8,9 表示手术成功;再以每 3 个随机数为一组,作为 3 例手术的结果.经随机模拟 产生如下 10 组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3 例心脏手术全部 成功”的概率为( ). A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 答案 A 解析由 10 组随机数知,4~9 之间的整数中恰有三个的随机数有 569,989 两组,故所求的概率 P= 2 10=0.2. 4.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是 0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器产生 0~9 之间的随机整数,指定 0,1 表示没有击中目 标,2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标;因为射击 4 次,故以每 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结 果.经随机模拟产生了 20 组随机数: 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计,该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( ). A.0.85 B.0.819 2 C.0.8 D.0.75 答案 D 解析该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次,考虑该事件的对立事件,故看这 20 组数据中含有 0 和 1 的个数多少,含有 2 个或 2 个以上的有 5 组数,故所求概率为15 20=0.75. 5.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同, 现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( ). A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 12
答案A 解析随机取出两个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4).1,5)，(2,3)，(2,4).(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种情况和 为3只有1种情况(1,2，和为6可以是(1,52,4)，共2种情况，故所求的概率为品 6.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹 竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为( A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.7 答案A 解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿，共有10种情况，它们的长度恰好相差0.3m的是 (2.5,28),(262.9)两种，则它们的长度拾好相差0,3m的概率P品02 7.在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数α到整数b之间的每个整数出现的可能性 是 图累d 解桐整数a到整数b之间共有b-a+1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出 现的可能性是，1 b-a+1 8.通过模拟试验产生了20组随机数： 6830301370557430774044227884 2604334609526807970657745725 657659299768607191386754 如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中 目标的概率约为」 答案h.25 解析表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所 以所求的概率近似为品0,25 9.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是」 答刻 解析从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有(1,2)，(2,3).(3,4).(4,5)四种，故所 求概率为酷=号 10.某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮 4次，求至少投中3次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率 解利用计算机或计算器产生0~9之间的随机整数，用1,2,34,5,6表示投中，用7,8,90表示未 投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组.例如 5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有 78,90中的一个数的数组的个数为n则至少投中3次的概率近似值为0 拓展提高
答案 A 解析随机取出两个小球有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 种情况,和 为 3 只有 1 种情况(1,2),和为 6 可以是(1,5),(2,4),共 2 种情况,故所求的概率为 3 10. 6.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹 竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为( ). A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.7 答案 A 解析从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿,共有 10 种情况,它们的长度恰好相差 0.3 m 的是 (2.5,2.8),(2.6,2.9)两种,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率 P= 2 10=0.2. 7.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数 a 到整数 b 之间的每个整数出现的可能性 是 . 答案 1 𝑏-𝑎+1 解析整数 a 到整数 b 之间共有 b-a+1 个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出 现的可能性是 1 𝑏-𝑎+1 . 8.通过模拟试验产生了 20 组随机数: 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰好有三个数在 1,2,3,4,5,6 中,表示恰好有三次击中目标,则四次射击中恰好有三次击中 目标的概率约为 . 答案 0.25 解析表示三次击中目标分别是 3013,2604,5725,6576,6754,共 5 组数,而随机数总共 20 组,所 以所求的概率近似为 5 20=0.25. 9.从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个,则这两个数正好相差 1 的概率是 . 答案2 5 解析从 5 个数中任取两个,共有 10 种取法,两个数相差 1 的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)四种,故所 求概率为 4 10 = 2 5 . 10.某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 60%,若该篮球爱好者连续投篮 4 次,求至少投中 3 次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率. 解利用计算机或计算器产生 0~9 之间的随机整数,用 1,2,3,4,5,6 表示投中,用 7,8,9,0 表示未 投中,这样可以体现投中的概率是 60%,因为投篮 4 次,所以每 4 个随机数作为 1 组.例如 5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共 100 组这样的随机数,若所有数组中没有 7,8,9,0 或只有 7,8,9,0 中的一个数的数组的个数为 n,则至少投中 3 次的概率近似值为 𝑛 100. 拓展提高
1某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车 站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他 采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆则他乘上上等 车的概率为(). A月 B- C、1 10 12 答案A 解析共有6种发车顺序：①上、中、工：②上、下、中：③中、上、下，④中、下、上：⑤下、 史、上，⑥下、上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概率为= 1-2 2.一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上均匀地切两刀，可得到27个小正方体，从 中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是(). A月 B时 c喝 D立 答案 解析胎有一个面涂有红色的小正方体，共有6个，故所求概率为号 3.从13张扑克牌中随机抽取一张，用随机模拟法估计这张牌是7的概率为兴，则估计这张牌 不是7的概率是 鉴案兴 解杨根据对立事件的概率公式计算 4抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，用随机模拟的方法估计面朝上的点数和为7的概率 共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计 的结果相比较，第 次准确 嗒案 解桐当用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确，因此第二次比 第一次准确 5.甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两 个盒子中各取1个球，这些球除颜色外其余完全相同， (1)求取出的两个球是不同颜色的概率： (2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率（写出模拟 的步骤). 解)设A表示“取出的两球是相同颜色，B表示“取出的两球是不同颜色”则 PA)322-号 9×6 由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率PB)=lP(0=l号=号 (2)随机模拟的步骤： 第1步：用计算器或计算机产生1~3和2~4两组的随机整数，每组各有N个随机数，用1表示 取到红球.用2表示取到黑球，用3表示取到白球.用4表示取到黄球」
1.某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车,某天袁先生准备在该汽车 站乘车前往省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他 采取如下策略:先放过一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆.则他乘上上等 车的概率为( ). A. 1 2 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 12 答案 A 解析共有 6 种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、 中、上;⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车),所以他乘坐上等车的概率为3 6 = 1 2 . 2.一个正方体,它的表面涂满了红色,在它的每个面上均匀地切两刀,可得到 27 个小正方体,从 中任取一个,它恰有一个面涂有红色的概率是( ). A. 1 2 B. 1 5 C. 2 9 D. 1 12 答案 C 解析恰有一个面涂有红色的小正方体,共有 6 个,故所求概率为2 9 . 3.从 13 张扑克牌中随机抽取一张,用随机模拟法估计这张牌是 7 的概率为𝑁1 𝑁 ,则估计这张牌 不是 7 的概率是 . 答案 1- 𝑁1 𝑁 解析根据对立事件的概率公式计算. 4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,用随机模拟的方法估计面朝上的点数和为 7 的概率, 共进行了两次试验,第一次产生了 60 组随机数,第二次产生了 200 组随机数,那么这两次估计 的结果相比较,第 次准确. 答案二 解析当用随机模拟的方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确,因此第二次比 第一次准确. 5.甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个,乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个,从两 个盒子中各取 1 个球,这些球除颜色外其余完全相同. (1)求取出的两个球是不同颜色的概率; (2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟 的步骤). 解(1)设 A 表示“取出的两球是相同颜色”,B 表示“取出的两球是不同颜色”.则 P(A)= 3×2+3×2 9×6 = 2 9 . 由于事件 A 与事件 B 是对立事件,所以事件 B 的概率 P(B)=1-P(A)=1- 2 9 = 7 9 . (2)随机模拟的步骤: 第 1 步:用计算器或计算机产生 1~3 和 2~4 两组的随机整数,每组各有 N 个随机数,用 1 表示 取到红球,用 2 表示取到黑球,用 3 表示取到白球,用 4 表示取到黄球
第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n. 第3步：计算二的值，则哈就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 挑战创新 一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的，如果一个学生对每1道题都随机猜 一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率（已知每次猜对的概率是25%）， 解利用计算机或计算器可以产生0~3之间的随机整数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表 示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为 一组，例如，产生25组随机数： 330130302220133020022011313121 222330 231022001003213322030032 100211022210231330321202031210 232111210010212020230331112000 102330200313303321012033321230 就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3 道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，故我们得到该同学6道选择 题至少答对3道题的概率近似为号0.16
第 2 步:统计两组对应的 N 对随机数中,每对中的两个数字不同的对数 n. 第 3 步:计算𝑛 𝑁 的值,则 𝑛 𝑁 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. 挑战创新 一份测试题包括 6 道选择题,每题只有一个选项是正确的,如果一个学生对每 1 道题都随机猜 一个答案,用随机模拟方法估计该学生至少答对 3 道题的概率(已知每次猜对的概率是 25%). 解利用计算机或计算器可以产生 0~3 之间的随机整数,我们用 0 表示猜的选项正确,1,2,3 表 示猜的选项错误,这样可以体现猜对的概率是 25%,因为共猜 6 道题,所以每 6 个随机数作为 一组,例如,产生 25 组随机数: 330130 302220 133020 022011 313121 222330 231022 001003 213322 030032 100211 022210 231330 321202 031210 232111 210010 212020 230331 112000 102330 200313 303321 012033 321230 就相当于做了 25 次试验,在每组数中,如果恰有 3 个或 3 个以上的数是 0,则表示至少答对 3 道题,它们分别是 001003,030032,210010,112000,即共有 4 组数,故我们得到该同学 6 道选择 题至少答对 3 道题的概率近似为 4 25=0.16