第3课时 正弦定理习题课 课后·训练提升 基础巩固 1在△4BC中，若=C则C的值为() a A.30° B.45° C.60° D.90 答案B 解桐由正弦定理得n4=sinc=osC 则cosC=sinC,即C=45° 2.在△4BC中，己知b+c=V2+1,C=45°，B=30°，则() A.b=1,c-V2 B.b=V2,c=1 C6-9c-1+9 Db-1受c-号 含案A 解扬：8+=品=点=m4540-2 D V2+1 :b=1,c=V2 3.在△4BC中，已知a=3,b=5,sinA则sinB=() A号 B喝 C D.1 窨案B 图团在△1BC中，由正弦定理品=点得s血B--誉-月 a 4.在△ABC中，己知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=V3 bsin A,则sinB=( A.V3 B c D 答案B 解析因为a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，又a=V3 bsin A,所以sinA=V3sin BsnA放snB-号 5.在△4BC中，己知A=60°，a=V13,则 a+b+c nA+sinB+sinC 等于( A83 B.23 C26v3 D.23 3 3 3 答案 解析由a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,.c=2 RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，得 a+b+c =2R=a sinA+sinB+sinC sinA=sin60° 3
第 3 课时 正弦定理习题课 课后· 基础巩固 1.在△ABC 中,若 sin𝐴 𝑎 = cos𝐶 𝑐 ,则 C 的值为( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 解析由正弦定理得sin𝐴 𝑎 = sin𝐶 𝑐 = cos𝐶 𝑐 , 则 cos C=sin C,即 C=45°. 2.在△ABC 中,已知 b+c=√2+1,C=45°,B=30°,则( ). A.b=1,c=√2 B.b=√2,c=1 C.b=√2 2 ,c=1+ √2 2 D.b=1+ √2 2 ,c= √2 2 答案 A 解析∵ 𝑏+𝑐 sin𝐵+sin𝐶 = 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 = √2+1 sin45° +sin30° =2, ∴b=1,c=√2. 3.在△ABC 中,已知 a=3,b=5,sin A=1 3 ,则 sin B=( ). A. 1 5 B. 5 9 C. √5 3 D.1 答案 B 解析在△ABC 中,由正弦定理 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 ,得 sin B=𝑏sin𝐴 𝑎 = 5× 1 3 3 = 5 9 . 4.在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a=√3bsin A,则 sin B=( ). A.√3 B. √3 3 C. √6 3 D.- √6 3 答案 B 解析因为 a=2Rsin A,b=2Rsin B(R 为△ABC 外接圆的半径),又 a=√3bsin A,所以 sin A=√3sin Bsin A,故 sin B=√3 3 . 5.在△ABC 中,已知 A=60°,a=√13,则 𝑎+𝑏+𝑐 sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶 等于( ). A. 8√3 3 B. 2√39 3 C. 26√3 3 D.2√3 答案 B 解析由 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径),得 𝑎+𝑏+𝑐 sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶 =2R= 𝑎 sin𝐴 = √13 sin60° = 2√39 3
6.下列判断三角形解的情况中，正确的是 (填序号). ①a=8,b=16,A=30°，有两解； ②b=18,c=20,B=60°，有一解； ③a-15,b=2,A-90°，无解， ④a=40,b=30,A=120°，有一解 答案0 解析①冲a=bsin A,有一解，②冲csin Bb,有一解；④中a>b且 A=120°，有一解.综上，④正确 7.在△4BC中，A=60°，AC=4,BC=2V3,则△4BC的面积等于 答案V3 品=二所以品 解析在△ABC中，根据正弦定理，得4 人sinB三so。一，角解得sinB-1. 因为0°<B<120°，所以B=90°，所以C=30°， 所以△ABC的面积Sa4BC之AC-BC-sin C-2V3, 8.在△ABC中，求证a-ccosB=sinB b-ccosA sinA 国明国为品=品=点C2RR为△MBC外接圆的半径倒 所以左边_2 RsinA-.2 RsinCcosB sin(B+C)-sinCcosB-inBcosC=inB-右边. 2RsinB-2RsinCcosA sin(A+C)-sinCcosA sinAcosC 所以等式成立 9.在△ABC中，己知c=10,9sA=2=号求a,b及△ABC的内切圆半径 cosB a 3 圆由王孩定理知器-总器=器 sinA Epsin Acos A=sin Bcos B,.:sin 2A4=sin 2B. 又a≠b且A,B∈(0，π) 2A=-2B,即A+B受 :△ABC是直角三角形，且C受 a2+b2=102 由 - 得a=6,b=8. :内切圆的半径a+s=+8.10-2 2 2 10,如图所示，在四边形ABCD中，D=2B,且AD=1,CD=3,cosB号
6.下列判断三角形解的情况中,正确的是 (填序号). ①a=8,b=16,A=30°,有两解; ②b=18,c=20,B=60°,有一解; ③a=15,b=2,A=90°,无解; ④a=40,b=30,A=120°,有一解. 答案④ 解析①中 a=bsin A,有一解;②中 csin Bb,有一解;④中 a>b 且 A=120°,有一解.综上,④正确. 7.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案 2√3 解析在△ABC 中,根据正弦定理,得 𝐴𝐶 sin𝐵 = 𝐵𝐶 sin𝐴 ,所以 4 sin𝐵 = 2√3 sin60° ,解得 sin B=1. 因为 0°<B<120°,所以 B=90°,所以 C=30°, 所以△ABC 的面积 S△ABC= 1 2 ·AC·BC·sin C=2√3. 8.在△ABC 中,求证: 𝑎-𝑐cos𝐵 𝑏-𝑐cos𝐴 = sin𝐵 sin𝐴 . 证明因为 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 =2R(R 为△ABC 外接圆的半径), 所以左边= 2𝑅sin𝐴-2𝑅sin𝐶cos𝐵 2𝑅sin𝐵-2𝑅sin𝐶cos𝐴 = sin(𝐵+𝐶)-sin𝐶cos𝐵 sin(𝐴+𝐶)-sin𝐶cos𝐴 = sin𝐵cos𝐶 sin𝐴cos𝐶 = sin𝐵 sin𝐴 =右边. 所以等式成立. 9.在△ABC 中,已知 c=10,cos𝐴 cos𝐵 = 𝑏 𝑎 = 4 3 ,求 a,b 及△ABC 的内切圆半径. 解由正弦定理知sin𝐵 sin𝐴 = 𝑏 𝑎 ,∴ cos𝐴 cos𝐵 = sin𝐵 sin𝐴 . 即 sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. 又 a≠b 且 A,B∈(0,π), ∴2A=π-2B,即 A+B=π 2 . ∴△ABC 是直角三角形,且 C=π 2 , 由{ 𝑎 2 + 𝑏 2 = 10 2 , 𝑏 𝑎 = 4 3 , 得 a=6,b=8. ∴内切圆的半径 r= 𝑎+𝑏-𝑐 2 = 6+8-10 2 =2. 10.如图所示,在四边形 ABCD 中,D=2B,且 AD=1,CD=3,cos B=√3 3
(1)求△4CD的面积 (2)若BC-2V3,求AB的长 图1)因为D-2B,c0sB-号 所以c0sD=0s2B=2coS2B-1=号 又D∈(0，，所以sinD=1-cos2D=2 3 因为AD=l,CD=3,所以△4CD的面积S-4D-CD-sin D-ix1×3×2-V2 (2)在△4CD中，因为AC2=AD2+DC2-2 AD-DC.c0sD=12,所以AC=2V3 又BC-23,所以∠B=∠CAB. 由正孩定理，得品=c AB 即23 AB AB AB 'sinB sin(n-2B)=sin2B=2sinBcosB= AB,所以AB=4 华nB 拓展提高 1.(多选题)在△ABC中，已知A-BC-3,则下列选项中，可能是△ABC的两边AC+AB的取值的 是()片 A.3 B.4 c.5 D.6 答案BCD 解扬A景B+C-号 sm8s如98sm(学-25（作sn8+号w(e+) .:AC+AB=BC :B∈(0，)B+'e(侣) .:sim(B+8)e(侵，14C+AB∈(3,6 2.在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(V3,-1),n-(cosA,sinA),若mLn,且 acos B+bcosA=-csin C,则角A,B的大小分别为(). A号号 B2知 36 c5君 D学号 答案c 解析：m⊥n,:V3cosA-sinA=0, tanA=√3，又A∈(0，m,A罗 由正弦定理及已知条件，得sin Acos B+sin Bcos A=sinC, sin(4+B)=sinm2C,即sinC=l,.:C-受B-君 6 3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3 acos C=-4 csin A,已知△4BC的面积等于 10,b=4,则a的值为()
(1)求△ACD 的面积; (2)若 BC=2√3,求 AB 的长. 解(1)因为 D=2B,cos B=√3 3 , 所以 cos D=cos 2B=2cos2B-1=- 1 3 . 又 D∈(0,π),所以 sin D=√1-cos 2𝐷 = 2√2 3 . 因为 AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积 S=1 2 AD·CD·sin D=1 2 ×1×3× 2√2 3 = √2. (2)在△ACD 中,因为 AC2=AD2+DC2 -2AD·DC·cos D=12,所以 AC=2√3. 又 BC=2√3,所以∠B=∠CAB. 由正弦定理,得 𝐴𝐶 sin𝐵 = 𝐴𝐵 sin∠𝐴𝐶𝐵, 即 2√3 sin𝐵 = 𝐴𝐵 sin(π-2𝐵) = 𝐴𝐵 sin2𝐵 = 𝐴𝐵 2sin𝐵cos𝐵 = 𝐴𝐵 2√3 3 sin𝐵 ,所以 AB=4. 拓展提高 1.(多选题)在△ABC 中,已知 A=π 3 ,BC=3,则下列选项中,可能是△ABC 的两边 AC+AB 的取值的 是( ). A.3 B.4 C.5 D.6 答案 BCD 解析∵A=π 3 ,∴B+C=2π 3 . ∴AC+AB= 𝐵𝐶 sin𝐴 (sin B+sin C)= 3 √3 2 [sin B+sin( 2π 3 -𝐵)]=2√3 ( 3 2 sin𝐵 + √3 2 cos𝐵)=6sin(𝐵 + π 6 ), ∵B∈(0, 2π 3 ),∴B+π 6 ∈ ( π 6 , 5π 6 ), ∴sin(𝐵 + π 6 ) ∈ ( 1 2 ,1],∴AC+AB∈(3,6]. 2.在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为( ). A. π 6 , π 3 B. 2π 3 , π 6 C. π 3 , π 6 D. π 3 , π 3 答案 C 解析∵m⊥n,∴√3cos A-sin A=0, ∴tan A=√3,又 A∈(0,π),∴A=π 3 . 由正弦定理及已知条件,得 sin Acos B+sin Bcos A=sin2C, ∴sin(A+B)=sin2C,即 sin C=1,∴C=π 2 ,B=π 6 . 3.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 3acos C=4csin A,已知△ABC 的面积等于 10,b=4,则 a 的值为( )
A号 B婴 C. D 答案D 解析：3 acos C=4 csin A, :由正弦定理可得3 sin Acos C=4 sin Csin A, :sin40,.:3cosC-4sinC,即cosC季inC sinC+oC-sinCininC-1. 解得sinC-sinC-(舍去) :b-4,△MBC的面积S=10 absinC-ax4×号a9 4已知aMc分别为△4BC内角ABC的对边÷+mSng1,丽.元-4，则△4BC的面积 SAABC为( A.3 B.2 C.23 D.4v3 窨案 解扬由已知及正弦定理，得十+l,化简得尔+C2--c, i0s4地=克 2bc :0°<A<180°， .A=60° .:AB.AC=bccos60°-4，：bc=8 .Sa4 sc-ibcsin4×8x9-2V3 7 5.在△ABC中，若A=120°，AB=5,BC=7,则c0sC= .sin B= 图兴 解韧由正孩定理，得 BC =sinA' 即sinC-AB-sin4=5sin120°」 53 BC 7 14 由题意可知C为锐角， cosC-1-sim2c=号 sinB=sin(180°-l20°-C=sin(60°-O=sin60°cosC-cos60°sinC-39 14 6在Rt△ABC中，已知C艺，且A,B,C所对的边ab,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围 是 窨案1，V② 解杨："a+b=cx,C受
A. 23 3 B. 28 3 C. 26 3 D. 25 3 答案 D 解析∵3acos C=4csin A, ∴由正弦定理可得 3sin Acos C=4sin Csin A, ∵sin A≠0,∴3cos C=4sin C,即 cos C=4 3 sin C, ∴sin2C+cos2C=sin2C+16 9 sin2C=25 9 sin2C=1, 解得 sin C=3 5或 sin C=- 3 5 (舍去). ∵b=4,△ABC 的面积 S=10= 1 2 absin C=1 2 ×a×4× 3 5 ,∴a= 25 3 . 4.已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边, 𝑏 𝑎+𝑐 + sin𝐶 sin𝐴+sin𝐵 =1,𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =4,则△ABC 的面积 S△ABC为( ). A.√3 B.2 C.2√3 D.4√3 答案 C 解析由已知及正弦定理,得 𝑏 𝑎+𝑐 + 𝑐 𝑎+𝑏 =1,化简得 b 2+c2 -a 2=bc, ∴cos A=𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 = 1 2 , ∵0°<A<180°, ∴A=60°, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =bccos 60°=4,∴bc=8, ∴S△ABC= 1 2 bcsin A=1 2 ×8× √3 2 =2√3. 5.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 cos C= ,sin B= . 答案11 14 3√3 14 解析由正弦定理,得 𝐴𝐵 sin𝐶 = 𝐵𝐶 sin𝐴 , 即 sin C=𝐴𝐵·sin𝐴 𝐵𝐶 = 5sin120° 7 = 5√3 14 . 由题意可知 C 为锐角, ∴cos C=√1-sin 2𝐶 = 11 14. ∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin 60°cos C-cos 60°sin C=3√3 14 . 6.在 Rt△ABC 中,已知 C=π 2 ,且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,则实数 x 的取值范围 是 . 答案(1,√2] 解析∵a+b=cx,C=π 2
=sinA+sinB-sin 4+cos 4-VZsin(+) sinC :A∈(0)， A+e保) sna+)e(Ξ .x∈(1，V2] 7.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acos C.求： (1)角C的大小 (2W3sin4-cos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小 解1)由正弦定理及已知条件，得sin Csin A=-sin AcosC. 因为A∈(0，π)，所以sinA>0, 从而sinC-cosC,则C- (2)(1)知，B-3A,于是V3sin4-coeB+-3sin4-cosm-A)=VsinA+-cosA=2sm(A+) 国为A∈(0，)，所以A+培∈（侣，晋） 从而当A+培=元即A时，2sin(A+)取得最大值2 综上所运，V3snA-c0(B+)的最大值为2，此时4号B晋 挑战创新 在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos C+ccosA=bsin B,b=2c (1)求角C的大小； (2)若点D与点B在AC两侧，且满足AD=2,AB=1,求平面四边形ABCD面积的最大值. 解1)因为acosC+ccos 4=-bsin B, 所以由正弦定理，知sin Acos C+sin Ccos A=sinB,即sin(A+C)=sinB. 又A+B+C=元所以sinB=l,所以B受 国为b=2c,所以sinB=2sinC,得sinC-2之 又C∈(0，)，所以C君
∴x= 𝑎+𝑏 𝑐 = sin𝐴+sin𝐵 sin𝐶 =sin A+cos A=√2sin(A+π 4 ). ∵A∈(0, π 2 ), ∴A+π 4 ∈ ( π 4 , 3π 4 ), ∴sin(𝐴 + π 4 ) ∈ ( √2 2 ,1], ∴x∈(1,√2]. 7.在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C.求: (1)角 C 的大小; (2)√3sin A-cos(𝐵 + π 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 解(1)由正弦定理及已知条件,得 sin Csin A=sin Acos C. 因为 A∈(0,π),所以 sin A>0, 从而 sin C=cos C,则 C=π 4 . (2)由(1)知,B=3π 4 -A,于是√3sin A-cos B+π 4 =√3sin A-cos(π-A)=√3sin A+cos A=2sin(𝐴 + π 6 ). 因为 A∈(0, 3π 4 ),所以 A+π 6 ∈ ( π 6 , 11π 12 ). 从而当 A+π 6 = π 2 ,即 A=π 3 时,2sin(𝐴 + π 6 )取得最大值 2. 综上所述,√3sin A-cos(𝐵 + π 4 )的最大值为 2,此时 A=π 3 ,B=5π 12. 挑战创新 在△ABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,acos C+ccos A=bsin B,b=2c. (1)求角 C 的大小; (2)若点 D 与点 B 在 AC 两侧,且满足 AD=2,AB=1,求平面四边形 ABCD 面积的最大值. 解(1)因为 acos C+ccos A=bsin B, 所以由正弦定理,知 sin Acos C+sin Ccos A=sin2B,即 sin(A+C)=sin2B. 又 A+B+C=π,所以 sin B=1,所以 B=π 2 . 因为 b=2c,所以 sin B=2sin C,得 sin C=1 2 , 又 C∈(0, π 2 ),所以 C=π 6
(2因为AB=l,∠BC1云B受所以AC=2,BC=3 设∠DAC-a则四边形ABCD的面积S寸1xW5+22×na-2sna<2是 2 当sina=l,即a-受时，取到最大值， 故四边形ABCD面积的最大值为2受
(2)因为 AB=1,∠BCA=π 6 ,B=π 2 ,所以 AC=2,BC=√3. 设∠DAC=α,则四边形 ABCD 的面积 S=1 2 ×1×√3 + 1 2 ×2×2×sin α= √3 2 +2sin α≤2+ √3 2 , 当 sin α=1,即 α= π 2 时,取到最大值, 故四边形 ABCD 面积的最大值为 2+ √3 2