7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课后·训练提升 122(cos号+isin)的三角形式是() A.2V2(cos号+isin) BV2(cos号+isin) cv2cos()+isin(别 D.V2(cos号+isin号) 答案 2.复数(cos10°+isin10°)的三角形式为(). A.sin30°+icos30° B.cos60°+isin60 C.cos30°+isin30°D.sin60°+icos60 答案B 解标cos10°+isin10°)=cos60°+isin60° 3.设3+4i的辐角的主值为0，则(3+41i的辐角的主值是(). A+0 B50 c.0 D.要0 答案A 解桐根据复数乘法的几何意义，可知(3+4)i对应的向量是由复数3+4ⅰ对应的向量绕，点O按 逆时针方向旋转5得到的，因此(3+4)1的辐角的主值为0+受，故选A 4.在复平面内，把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向 量对应的复数为( A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai 答案 解标所求复数为 a+bi os90°+isin90° =+bi-(a+bii=b-ai,故选C. 5.设1=1-2i,2=1+i,3=-1+3i,则arg+arg2+arg23-( A号 B c号 D.受 答案 解桐：21223=(1-2i)(1+i0(-1+3i)=(3-i)(-1+3列=101 .arg=+arg +arg 3-+2k,kEZ :arg∈(g,2m,arg2∈(0，)，arg3∈（凭n
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课后· 1.2÷[√2 (cos π 5 + isin π 5 )]的三角形式是( ). A.2√2 (cos π 5 + isin π 5 ) B.√2 (cos 3π 10 + isin 3π 10) C.√2 [cos (- π 5 ) + isin (- π 5 )] D.√2 (cos 4π 5 + isin 4π 5 ) 答案 C 2.复数(cos 10°+isin 10°) 6 的三角形式为( ). A.sin 30°+icos 30° B.cos 60°+isin 60° C.cos 30°+isin 30°D.sin 60°+icos 60° 答案 B 解析(cos 10°+isin 10°) 6=cos 60°+isin 60°. 3.设 3+4i 的辐角的主值为 θ,则(3+4i)·i 的辐角的主值是( ). A. π 2 +θ B. π 2 -θ C.θ- π 2 D. 3π 2 -θ 答案 A 解析根据复数乘法的几何意义,可知(3+4i)·i 对应的向量是由复数 3+4i 对应的向量绕点 O 按 逆时针方向旋转π 2得到的,因此(3+4i)·i 的辐角的主值为 θ+ π 2 ,故选 A. 4.在复平面内,把与复数 a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转 90°后所得向 量对应的复数为( ). A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai 答案 C 解析所求复数为 𝑎+𝑏i cos90°+isin90° = 𝑎+𝑏i i =-(a+bi)i=b-ai,故选 C. 5.设 z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则 arg z1+arg z2+arg z3=( ). A. π 2 B. 3π 2 C. 5π 2 D. 7π 2 答案 C 解析∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i, ∴arg z1+arg z2+arg z3= π 2 +2kπ,k∈Z. ∵arg z1∈( 3π 2 ,2π),arg z2∈(0, π 2 ),arg z3∈( π 2 ,π)
:arg+arg5+arg3∈(2m) ,arg+arg+arg3受 6V3(cos段+iin×V6(cosg+isin）- (用代数形式表示). 答案3-31 解扬原式-32cos(假+）+isin受+要引-3V2(eos+isin=3Vz(要)-3-3i 7.已知复平面内向量AB对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1，现将AB绕点A按顺时针方 向旋转90°后得到的向量为AC,则点C对应的复数为 答案2i 解扬向量7C对应的复数为o902n90=生-(2+i=1-21设0为坐标原点，：0配 2+i OA AC. ,:0C对应的复数为-1+1-2i)=2i 即点C对应的复数为-2i 8.写出下列复数：的倒数的模与辐角： （1)z=10(cos号+isin):(2)z-2(sin妥+icos0) 圆=等=0》m(》品ms(》+sn( 故的模为品辐角为号+2kmk∈Z☑ 2)复数2(sn号+iC0s)=V2-VZi模长一2，对应的点在第四象限，且cos0=号取0= 所以2(sin买+icos9）-2cos()+isin( 故对=+时 cos0+isin0 所以2的模为辐角为+2m(k∈Z, 9.设复数1=√3+i,复数2满足|2=2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg2∈(0，π)，求 2的代数形式 邂国为a1-V3+i-2(cos君+isin) 设2=2(cosa+isin),a∈(0，π)， 所以a1z经-8cos(2a+g)+isin(2a+g)】
∴arg z1+arg z2+arg z3∈(2π, 7π 2 ), ∴arg z1+arg z2+arg z3= 5π 2 . 6.√3 (cos 5π 12 + isin 5π 12) × √6 (cos 5π 6 + isin 5π 6 )= (用代数形式表示). 答案-3-3i 解析原式=3√2[cos( 5π 12 + 5π 6 )+isin( 5π 12 + 5π 6 )]=3√2(cos 5π 4 +isin5π 4 )=3√2 (- √2 2 - √2 2 i)=-3-3i. 7.已知复平面内向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 对应的复数为 2+i,点 A 对应的复数为-1,现将𝐴𝐵⃗⃗⃗ 绕点 A 按顺时针方 向旋转 90°后得到的向量为𝐴𝐶⃗⃗ ,则点 C 对应的复数为 . 答案-2i 解析向量𝐴𝐶⃗⃗ 对应的复数为 2+i cos90°+isin90° = 2+i i =-(2+i)i=1-2i,设 O 为坐标原点,∵⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ , ∴⃗𝑂𝐶⃗⃗ 对应的复数为-1+(1-2i)=-2i. 即点 C 对应的复数为-2i. 8.写出下列复数 z 的倒数1 𝑧 的模与辐角: (1)z=10(cos π 3 + isinπ 3 );(2)z=2(sin 3π 4 + icos 3π 4 ). 解(1)1 𝑧 = cos0+isin0 10(cos π 3 +isinπ 3 ) = 1 10[cos(0- π 3 )+isin(0- π 3 )]= 1 10 [cos (- π 3 ) + isin (- π 3 )]. 故 1 𝑧 的模为 1 10,辐角为- π 3 +2kπ(k∈Z). (2)复数 2(sin 3π 4 + icos 3π 4 ) = √2 − √2i,模长 r=2,对应的点在第四象限,且 cos θ= √2 2 ,取 θ=- π 4 , 所以 2(sin3π 4 + icos 3π 4 )=2[cos (- π 4 ) + isin (- π 4 )]. 故 1 𝑧 = cos0+isin0 2[cos(- π 4 )+isin(- π 4 )] = 1 2 cos π 4 +isinπ 4 . 所以1 𝑧的模为1 2 ,辐角为π 4 +2kπ(k∈Z). 9.设复数 z1=√3+i,复数 z2 满足|z2|=2,已知 z1𝑧2 2的对应点在虚轴的负半轴上,且 arg z2∈(0,π),求 z2 的代数形式. 解因为 z1=√3+i=2(cos π 6 + isin π 6 ), 设 z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π), 所以 z1𝑧2 2=8[cos (2𝛼 + π 6 ) + isin (2𝛼 + π 6 )]
由题设知2a+官-2m+k∈Z,所以a=k+keZ)又国为a∈(0，，所以a-号所以2=2 cos号+isin-1+i 10.设O为复平面的原点，A,B为单位圆上两点，A,B所对应的复数分别为1,2，辐角的主值分 别为aR若△4OB的重心G对应的复数为号+求tam(a*+) 1 ☑由题意可设1=cosa+isin,2=cosB++isinB. 因为△A0B的重心G对应的复数为+ (cosa cosp 1, 所以-+言即sina+simB=专 3 所 os(生+)+cos(.学)=1 sin(生+)+sin(些.9)=号 2os号cos9-1 2sincos号- 所以tam生光= 2tan an2- 故tan(a+f)-, 5
由题设知 2α+ π 6 =2kπ+ 3π 2 (k∈Z),所以 α=kπ+ 2π 3 (k∈Z).又因为 α∈(0,π),所以 α= 2π 3 ,所以 z2=2 cos 2π 3 +isin2π 3 =-1+√3i. 10.设 O 为复平面的原点,A,B 为单位圆上两点,A,B 所对应的复数分别为 z1,z2,辐角的主值分 别为 α,β.若△AOB 的重心 G 对应的复数为1 3 + 1 15i,求 tan(α+β). 解由题意可设 z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β. 因为△AOB 的重心 G 对应的复数为1 3 + 1 15i, 所以𝑧1+𝑧2 3 = 1 3 + 1 15i,即{ cos𝛼 + cos𝛽 = 1, sin𝛼 + sin𝛽 = 1 5 , 所以{ cos ( 𝛼+𝛽 2 + 𝛼-𝛽 2 ) + cos ( 𝛼+𝛽 2 - 𝛼-𝛽 2 ) = 1, sin ( 𝛼+𝛽 2 + 𝛼-𝛽 2 ) + sin ( 𝛼+𝛽 2 - 𝛼-𝛽 2 ) = 1 5 , 即{ 2cos 𝛼+𝛽 2 cos 𝛼-𝛽 2 = 1, 2sin 𝛼+𝛽 2 cos 𝛼-𝛽 2 = 1 5 , 所以 tan𝛼+𝛽 2 = 1 5 , 故 tan(α+β)= 2tan 𝛼+𝛽 2 1-tan2 𝛼+𝛽 2 = 5 12