第2课时向量数量积的应用 课后·训练提升 基础巩固 1.己知向量a,b和实数2，下列选项错误的是() A.la=vaa B.laballbl C.(ab)=ab D.lab≤allbl 答案B 2.已知a⊥b,a=2,b-3,且3a+2b与a-b垂直，则实数1等于(). A月 B c D.1 答案A 解标由题意知(3a+2b)(a-b)=31a2+(21-3)ab-2-31a2-2b2-12-18-0,解得1- 3.已知向量a,b满足|a-V3,bl=2,ab=-3,则a+2b=(). A.1 B.v7 C.4+V3 D.2V7 答案B 解析根据题意，得引a+2b-a2+4a-b+4b2=√7.故选B. 4.若向量a与b的夹角为60°b=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则a=(, A.2 B.4 C.6 D.12 含案 解析：(a+2b)(a-3b)=a2-lallblcos60°-6b2=a2-2a-96, 又(a+2b)(a-3b)=-72 .la2-2la-96=-72, 解得|a=6或a=-4(舍去)， a=6. 5已知单位向量e1,2的夹角为a且cosa若向量a=3e1-2e2,则a= 含案 解：1aP=(3e-2e)(3e-2e2)=9e子-12e1e+4e经=9-12x1x1x+4-=9, .:lal=3 6已知非零向量ab,满足a1b,且a+2b与a-2b的夹角为120°，则哈- 含9 解标：a⊥b,ab-0, (a+2b)(a-2b)=a2.4b2
第 2 课时 向量数量积的应用 课后· 基础巩固 1.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项错误的是( ). A.|a|=√𝑎·𝑎 B.|a·b|>|a||b| C.λ(a·b)=λa·b D.|a·b|≤|a||b| 答案 B 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则实数 λ 等于( ). A. 3 2 B.- 3 2 C.± 3 2 D.1 答案 A 解析由题意知(3a+2b)·(λa-b)=3λa 2+(2λ-3)a·b-2b 2=3λa 2 -2b 2=12λ-18=0,解得 λ= 3 2 . 3.已知向量 a,b 满足|a|=√3,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=( ). A.1 B.√7 C.4+√3 D.2√7 答案 B 解析根据题意,得|a+2b|=√𝑎 2 + 4𝑎·𝑏 + 4𝑏 2 = √7.故选 B. 4.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( ). A.2 B.4 C.6 D.12 答案 C 解析∵(a+2b)·(a-3b)=|a|2 -|a||b|cos 60°-6|b| 2=|a| 2 -2|a|-96, 又(a+2b)·(a-3b)=-72, ∴|a| 2 -2|a|-96=-72, 解得|a|=6 或|a|=-4(舍去), ∴|a|=6. 5.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cos α= 1 3 ,若向量 a=3e1-2e2,则|a|= . 答案 3 解析∵|a|2=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)=9𝑒1 2 -12e1·e2+4𝑒2 2=9-12×1×1× 1 3 +4=9, ∴|a|=3. 6.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,且 a+2b 与 a-2b 的夹角为 120°,则 |𝑎| |𝑏| = . 答案2√3 3 解析∵a⊥b,∴a·b=0, (a+2b)·(a-2b)=a2 -4b 2
la+2b=Va2 4a b+4b2 Va2 4b2 la-2bl=Va2-4ab+4b2 Va2 +4b2, :a2-4b2=Va2+4bz×V√a2+4b2×cos120°， 化简得2-2b2-0, 将=9 7.已知非零向量a,b满足a1,且(a-b(a+b)-子 (1)求b: (2)当ab-时，求向量a与a+2b的夹角0的值 图1)国为(a-b(a+b)是 即lamP-b邮P-子又1al=l, 所以bP=hr子1子=是 故1b1号 (2)由题意可知la+2b2=aP+4ab+12b-1-1+1=1, 故a+2b=1. 又因为a(a+2b)aP+2ab-l-2=》 所以cos0-= lal-la+2bl 又0e0,,故03 拓展提高 1若非零向量a,b满足a-2b.且(a-b)L(3a+2b,则a与b的夹角为（上 A号 B明 c婴 D.π 含案A 懈析设a与b的夹角为0， 因为(a-b)⊥(3a+2b), 所以(a-b)(3a+2b)=0, 即3引a2-allblcos0-2b2-0, 再a2bL,得号br2brcs0-21br-0,得c0s0- 2 又0e0,,所以6-平
|a+2b|=√𝑎 2 + 4𝑎·𝑏 + 4𝑏 2 = √𝑎 2 + 4𝑏 2, |a-2b|=√𝑎 2-4𝑎·𝑏 + 4𝑏 2 = √𝑎 2 + 4𝑏 2, ∴a 2 -4b 2=√𝑎 2 + 4𝑏 2 × √𝑎 2 + 4𝑏 2×cos 120°, 化简得3 2 a 2 -2b 2=0, ∴ |𝑎| |𝑏| = 2√3 3 . 7.已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)= 3 4 . (1)求|b|; (2)当 a·b=- 1 4时,求向量 a 与 a+2b 的夹角 θ 的值. 解(1)因为(a-b)·(a+b)= 3 4 , 即|a|2 -|b|2= 3 4 ,又|a|=1, 所以|b|2=|a|2 - 3 4 =1- 3 4 = 1 4 , 故|b|=1 2 . (2)由题意可知|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1, 故|a+2b|=1. 又因为 a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1- 1 2 = 1 2 , 所以 cos θ= 𝑎·(𝑎+2𝑏) |𝑎|·|𝑎+2𝑏| = 1 2 , 又 θ∈[0,π],故 θ= π 3 . 拓展提高 1.若非零向量 a,b 满足|a|=2√2 3 |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( ). A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D.π 答案 A 解析设 a 与 b 的夹角为 θ, 因为(a-b)⊥(3a+2b), 所以(a-b)·(3a+2b)=0, 即 3|a|2 -|a||b|cos θ-2|b| 2=0, 再由|a|=2√2 3 |b|,得 8 3 |b| 2 - 2√2 3 |b| 2 cos θ-2|b| 2=0,得 cos θ= √2 2 , 又 θ∈[0,π],所以 θ= π 4
2.已知la=bl=c=1,且满足3a+mb+7c-0,其中a,b的夹角为60°，则实数m= 答案5或8 解析因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c 所以(3a+mb)2=(-7c)2,即9+m2+6mab=49, 又arb-abcos60°克 所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8. 3.已知a=2bl=2,e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b上的投影向量为-e (1)a与b的夹角0= (2)若向量1a+b与向量a-3b互相垂直，则1= 含案1分(2月 解标1)由题意知a=2,1bl=1 又国为向量a在向量b上的投影向量为acos6e=-e,所以cos0=2 又0∈[0，，所以0=2 (2)(1)可知，0号 故ab-albo号-l 又因为1a+b与a-3b互相垂直，所以(0a+b)(a-3b)=1a2-31ab+ba-3b2=41+31-1-3=71-4=0,所 以月 4.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若a=l,则a2+bP+lc2的值是」 答案4 解桐方法一：由a+b+c0,得c=-a-b. 又：(a-b)⊥c .(a-b)c=0, .(a-b)(-a-b)=0, 即a2=b2,la=b=1. :a⊥b,ab=0, .lc2=c2=(-a-b)2=(a+b)2=a2+b2+2a-b=a2+b2=2,la2+lb2+lc2=4. 方法二：如图，作AB=BD=a BC=b,则CA=c :'a⊥b,AB⊥BC, a-b=BD -BC CD,(a-b)Lc,.:CD LCA, ,:△ABC是等腰直角三角形. :1a=1, .:lbl=1,lcl=V2
2.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足 3a+mb+7c=0,其中 a,b 的夹角为 60°,则实数 m= . 答案 5 或-8 解析因为 3a+mb+7c=0,所以 3a+mb=-7c, 所以(3a+mb) 2=(-7c) 2 ,即 9+m2+6ma·b=49, 又 a·b=|a||b|cos 60°= 1 2 , 所以 m2+3m-40=0,解得 m=5 或 m=-8. 3.已知|a|=2|b|=2,e 是与 b 方向相同的单位向量,且向量 a 在向量 b 上的投影向量为-e. (1)a 与 b 的夹角 θ= ; (2)若向量 λa+b 与向量 a-3b 互相垂直,则 λ= . 答案(1)2π 3 (2)4 7 解析(1)由题意知|a|=2,|b|=1. 又因为向量 a 在向量 b 上的投影向量为|a|cos θe=-e,所以 cos θ=- 1 2 , 又 θ∈[0,π],所以 θ= 2π 3 . (2)由(1)可知,θ= 2π 3 , 故 a·b=|a||b|cos 2π 3 =-1. 又因为 λa+b 与 a-3b 互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa 2 -3λa·b+b·a-3b 2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所 以 λ= 4 7 . 4.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c| 2 的值是 . 答案 4 解析方法一:由 a+b+c=0,得 c=-a-b. 又∵(a-b)⊥c, ∴(a-b)·c=0, ∴(a-b)·(-a-b)=0, 即 a 2=b2 ,|a|=|b|=1. ∵a⊥b,∴a·b=0, ∴|c|2=c2=(-a-b) 2=(a+b) 2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 方法二:如图,作𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ =a. 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =b,则𝐶𝐴⃗⃗ =c. ∵a⊥b,∴AB⊥BC, 又 a-b=𝐵𝐷⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,(a-b)⊥c,∴CD⊥CA, ∴△ABC 是等腰直角三角形. ∵|a|=1, ∴|b|=1,|c|=√2
.a2+b2+lc2=4. 5.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若ka+b+c>1(k∈R), 则k的取值范围为 答案k2； 解析因为ka+b+cpl, 所以(ka+b+c)(ka+b+c)>l, EpRa2+b2+c2+2ka:b+2ka c+2b.c>1. 国为ab=a-bc-c0s120°=2 所以尽-20所以您.之8。支货，2Q0解得回或2脚长的取值花国无0支2 挑战创新 在四边形ABCD中，已知AB=9,BC=6,CP=2PD (I)若四边形ABCD是矩形，求AP.B乎的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且A亚.BP-6,求AE与AD夹角的余弦值 解1)因为四边形ABCD是矩形，所以D.元-0，由币-2P元，得D丽=元，C丽=C而-沉 所以亚.B丽-（而+DP(B配+P)-(而+DC)(4而DC)=D2-D·DC- 号DC2-36号×81-18. (2)由题意，A亚=A而+D丽=A而+DC=A而+A正，B丽 =BC+C币=配+而=A而-A正， 所以丽.丽=（而+正）（而号丽=而2-丽.而-号丽2 =362丽.而-18=18-丽.而 又A丽.B丽=6，所以183A丽.A而=6，所以A丽.而-36， 设AB与AD的夹角为0，又AB·AD=ABAD1cos0=9×6×cos0=54cos0, 所以54c0s0-36,即c0s0号 所以A正与AD夹角的余弦值为
∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 5.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角为 120°.若|ka+b+c|>1(k∈R), 则 k 的取值范围为 . 答案{k|k2} 解析因为|ka+b+c|>1, 所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1, 即 k 2a 2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为 a·b=a·c=b·c=cos 120°=- 1 2 , 所以 k 2 -2k>0,所以{ 𝑘 > 0, 𝑘-2 > 0 或{ 𝑘 2,即 k 的取值范围是{k|k2}. 挑战创新 在四边形 ABCD 中,已知 AB=9,BC=6,𝐶𝑃⃗⃗ =2𝑃𝐷⃗⃗⃗ . (1)若四边形 ABCD 是矩形,求𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,且𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ =6,求𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值. 解(1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,由𝐶𝑃⃗⃗ =2𝑃𝐷⃗⃗⃗ ,得𝐷𝑃⃗⃗⃗ = 1 3 𝐷𝐶⃗⃗⃗ , 𝐶𝑃⃗⃗ = 2 3 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =- 2 3 𝐷𝐶⃗⃗⃗ . 所以𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ =(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑃⃗⃗⃗ )·(𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝑃⃗⃗ )=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐷𝐶⃗⃗⃗ )·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ - 2 3 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 2 − 1 3 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ − 2 9 𝐷𝐶⃗⃗⃗ 2=36- 2 9 ×81=18. (2)由题意,𝐴𝑃⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑃⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐵𝑃⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝑃⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 2 3 𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 所以𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ = (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ) · (𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ - 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 2 − 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 2 9 𝐴𝐵⃗⃗⃗ 2 =36- 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ -18=18- 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ =6,所以 18- 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =6,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =36. 设𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 θ,又𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |·|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |cos θ=9×6×cos θ=54cos θ, 所以 54cos θ=36,即 cos θ= 2 3 . 所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为2 3