10.1.4概率的基本性质 课后·训练提升 基础巩固 1某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为品响第二声时被接的概率为品响第三声 时被接的概率为形，响第四声时被接的概率为品则电话在响前四声内被接的概率为州人 A月 B品 c品 D 答案B 解析设事件A=“电话响第一声被接”，事件B=“电话响第二声被接”，事件C=“电话响第三声被 接”，事件D=“电话响第四声被接”，则A,B,C,D两两互斥，根据互斥事件的概率加法公式得P4 URUCUD-P0+P(B+PO+PD品+品+号+品=品 9 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察抛掷出骰子的点数，设事件A=“出现偶数点”，事件B-“出现 3点”，已知P(A)PB)后出现偶数点或3点的概率之和为 ). A号 B号 c哈 08 含案D 解桐记事件C-“出现偶数点或3点”，国为事件A与事件B互斥，所以根据互斥事件的概率加 法公式得PO=PA+PB)+后=号 3.围棋盒子中有多粒黑子和白子（除颜色外其余完全相同），已知从中取出2粒都是黑子的概 率为从中取出2粒都是白子的概率是是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 -35 () A月 B号 c号 D.1 答案c 解桐设事件A=“从中取出2粒都是黑子”，事件B=“从中取出2粒都是白子”，事件C=“任意取 出2粒怡好是同一色”则C=4UB,且事件A与B互斥，所以P9=P+P(国号+号=号 即任意取出2粒拾好是同一色的概率为号 4.在3,6,16路公共汽车的一个停靠站（假定这个站一次只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客 需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，己知3路车和6 路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的 车的概率为( A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12 答案
10.1.4 概率的基本性质 课后· 基础巩固 1.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为 1 10,响第二声时被接的概率为 3 10,响第三声 时被接的概率为2 5 ,响第四声时被接的概率为 1 10,则电话在响前四声内被接的概率为( ). A. 1 2 B. 9 10 C. 3 10 D. 4 5 答案 B 解析设事件 A=“电话响第一声被接”,事件 B=“电话响第二声被接”,事件 C=“电话响第三声被 接”,事件 D=“电话响第四声被接”,则 A,B,C,D 两两互斥,根据互斥事件的概率加法公式得 P(A ∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 1 10 + 3 10 + 2 5 + 1 10 = 9 10. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察抛掷出骰子的点数,设事件 A=“出现偶数点”,事件 B=“出现 3 点”,已知 P(A)= 1 2 ,P(B)= 1 6 ,出现偶数点或 3 点的概率之和为( ). A. 1 2 B. 5 6 C. 1 6 D. 2 3 答案 D 解析记事件 C=“出现偶数点或 3 点”,因为事件 A 与事件 B 互斥,所以根据互斥事件的概率加 法公式得 P(C)=P(A)+P(B)= 1 2 + 1 6 = 2 3 . 3.围棋盒子中有多粒黑子和白子(除颜色外其余完全相同),已知从中取出 2 粒都是黑子的概 率为1 7 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 ( ). A. 1 7 B. 12 35 C. 17 35 D.1 答案 C 解析设事件 A=“从中取出 2 粒都是黑子”,事件 B=“从中取出 2 粒都是白子”,事件 C=“任意取 出 2 粒恰好是同一色”,则 C=A∪B,且事件 A 与 B 互斥,所以 P(C)=P(A)+P(B)= 1 7 + 12 35 = 17 35. 即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为17 35. 4.在 3,6,16 路公共汽车的一个停靠站(假定这个站一次只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客 需在 5 分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车和 6 路车在 5 分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的 车的概率为( ). A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12 答案 C
解桐设事件A-“能乘上3路车”，事件B-“能乘上6路车”，事件C-“能乘上所需要的车”，则 C=AUB,且事件A与B互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式得 P(C)=P(A)+P(B)=0.20+0.60=0.80. 5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率为 0.32,那么质量在区间[4.8,4.85)内的概率是() A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 答案B 解析利用对立事件的概率公式可得P=1-(0.3+0.32)=0.38. 6.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A=“不大于4的偶数点出现”，事件B=“小于5 的点出现”，则事件AUB发生的概率为 (B表示B的对立事件) 答刻 解杨由题意可知，事件A与丽是互斥的，故P4U)=P4)+P⑧)专+片=子 7.若事件A与B是对立事件，且P()=0.6,则P(B)等于 含案6.4 解析P(B)=1-P(A)=0.4. 8.为摧毁敌军三个相邻的军火库，我军只有一次机会投射炸弹，其中击中第一个军火库的概率 是0.025，击中另两个军火库的概率都为0.1，并且只要击中其中一个，另两个也爆炸，则敌军军 火库被摧毁的概率为 答案0.225 解析设事件A,B,C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A,B,C彼此互斥，且 P(A)=0.025,P(B)=P(C=0.1.设D表示军火库被摧毁，则 P(D)=P(A)+P(B)+P(C=0.025+0.1+0.1=0.225.因此军火库被摧毁的概率为0.225 9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯， 其颜色完全相同.并且其中3杯为A饮料.另外2杯为B饮料.公司要求此员工一一品尝后，从 5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好： 否则评为合格，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力， 求：(1)此人被评为优秀的概率： (2)此人被评为良好及以上的概率 解將5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号12,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，设试验“从5杯 饮料中选出3杯”则样本空间 2={123),(124),(125),(134),(135).(145),(234),(235),(245),(345)},即n2)=10.令事件D=“此人 被评为优秀”，事件E=“此人被评为良好”，事件F-“此人被评为良好及以上” (1)此人被评为优秀，即D={(123)},得n(D)=1, 故P(D)0 (②)此人被评为良好，即E={(124),.(125).134),(35),(234),(235)》,得E)=6,故PE)因为事件 D,E互斥，且F=DUE,所以P月=-PDHP(E)品 10.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示 血型 A B AB 该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
解析设事件 A=“能乘上 3 路车”,事件 B=“能乘上 6 路车”,事件 C=“能乘上所需要的车”,则 C=A∪B,且事件 A 与 B 互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式得 P(C)=P(A)+P(B)=0.20+0.60=0.80. 5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 的概率为 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率为 0.32,那么质量在区间[4.8,4.85)内的概率是( ). A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 答案 B 解析利用对立事件的概率公式可得 P=1-(0.3+0.32)=0.38. 6.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件 A=“不大于 4 的偶数点出现”,事件 B=“小于 5 的点出现”,则事件 A∪𝐵发生的概率为 (𝐵表示 B 的对立事件). 答案2 3 解析由题意可知,事件 A 与𝐵是互斥的,故 P(A∪𝐵)=P(A)+P(𝐵)= 1 3 + 1 3 = 2 3 . 7.若事件 A 与 B 是对立事件,且 P(A)=0.6,则 P(B)等于 . 答案 0.4 解析 P(B)=1-P(A)=0.4. 8.为摧毁敌军三个相邻的军火库,我军只有一次机会投射炸弹,其中击中第一个军火库的概率 是 0.025,击中另两个军火库的概率都为 0.1,并且只要击中其中一个,另两个也爆炸,则敌军军 火库被摧毁的概率为 . 答案 0.225 解析设事件 A,B,C 分别表示击中第一、二、三个军火库,易知事件 A,B,C 彼此互斥,且 P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1.设 D 表示军火库被摧毁,则 P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.因此军火库被摧毁的概率为 0.225. 9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯, 其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好; 否则评为合格,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. 求:(1)此人被评为优秀的概率; (2)此人被评为良好及以上的概率. 解将 5 杯饮料编号为 1,2,3,4,5,编号 1,2,3 表示 A 饮料,编号 4,5 表示 B 饮料,设试验:“从 5 杯 饮料中选出 3 杯”,则样本空间 Ω={(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345)},即 n(Ω)=10.令事件 D=“此人 被评为优秀”,事件 E=“此人被评为良好”,事件 F=“此人被评为良好及以上”. (1)此人被评为优秀,即 D={(123)},得 n(D)=1, 故 P(D)= 1 10. (2)此人被评为良好,即 E={(124),(125),(134),(135),(234),(235)},得 n(E)=6,故 P(E)= 3 5 ,因为事件 D,E 互斥,且 F=D∪E,所以 P(F)=P(D)+P(E)= 7 10. 10.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示: 血型 A B AB O 该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
己知同种血型的人可以输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若他因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解1)对任一人，其血型为A,B,AB,0型血的事件分别记为A,B,C,D,它们是两两互斥的 由已知，有P(A)=0.28,PB=0.29,PC)=0.08,PD)=0.35 因为B.O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件BUD'根据概率的加 法公式，得P(B'UD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64. (2)由于A,AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A'UC',且PU C)=P(4)+P(C=0.28+0.08=0.36. 拓展提高 1.对一批产品的长度（单位：m)进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标 准，产品长度在区间[20,25)内的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)内的为二等品，在区间[10,15) 内和区间[30,35]上的为三等品现从该批产品抽检的样本中随机抽取一件，则其为二等品的概 率为(). 4频率/组距 0.06 0.04 0.03 0.02 101520253035长度/mm A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 答案D 解析由题意可知，除去一等品和三等品就是二等品，故可用对立事件的概率公式求解.由题图 可知抽得一等品的概率为0.06×5=0.3，抽得三等品的概率为(0.02+0.03)×5=0.25，故抽得二等 品的概率为1-0.3-0.25=0.45. 2.(多选题)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是( ) A抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华 获胜 D.张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 答案ACD 解析选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张 明获胜的概率是而李华获胜的概率是故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌 是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意：选项D中，两人写的数字相同与两人写的数 字不同的概率相等，D符合题意. 3.若随机事件A,B互斥，A,B发生的概率均不为0，且P(A)=2-m,P(B)=4m-5,则实数m的取值范 围是() A(层2 B(引
已知同种血型的人可以输血,O 型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是 B 型血,若他因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解(1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A',B',C',D',它们是两两互斥的. 由已知,有 P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B'∪D',根据概率的加 法公式,得 P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64. (2)由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件 A'∪C',且 P(A'∪ C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36. 拓展提高 1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标 准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,20)和[25,30)内的为二等品,在区间[10,15) 内和区间[30,35]上的为三等品.现从该批产品抽检的样本中随机抽取一件,则其为二等品的概 率为( ). A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 答案 D 解析由题意可知,除去一等品和三等品就是二等品,故可用对立事件的概率公式求解.由题图 可知抽得一等品的概率为 0.06×5=0.3,抽得三等品的概率为(0.02+0.03)×5=0.25,故抽得二等 品的概率为 1-0.3-0.25=0.45. 2.(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( ). A.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华 获胜 D.张明、李华两人各写一个数字 6 或 8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜 答案 ACD 解析选项 A 中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A 符合题意;选项 B 中,张 明获胜的概率是1 2 ,而李华获胜的概率是1 4 ,故游戏规则不公平,B 不符合题意;选项 C 中,扑克牌 是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C 符合题意;选项 D 中,两人写的数字相同与两人写的数 字不同的概率相等,D 符合题意. 3.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不为 0,且 P(A)=2-m,P(B)=4m-5,则实数 m 的取值范 围是( ). A.( 5 4 ,2) B.( 5 4 , 3 2 )
c引 D(刳 答案D 0<P(A)<1, 解标由概率的性质得0<P(B)<1, 0<P(A)+P(B)≤1 (0<2-m<1, 即0<4m-5<1,解不等式组得m≤等 (0<3m-3≤1， 4.在30瓶饮料中，有3瓶已过保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶.已知所取的2瓶全在保质期 内的概率为器则至少取到1瓶已过保质期的概率为】 图翠器 解柯事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事 件，报据对立事件的概率公式得至少取到1瓶已过保质期的概率P-1器=器=器 5.同时抛掷2个质地均匀的正方体玩具（各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），则朝上的一面数 之积为偶数的概率为 答刻 解桐该试验样本空间 2={(1,1),(1,2),(13),1,4),(1,5),(1,6).2,1),22),(2,3).(2,4),25,(2,6).(3,1),3,2),(3,3),(34),3,5)( 3,6).(4,1),(4,2),4,3,(4,4).(4,5).(4,6,(5,1).(5,2),5,3),(5,4),(5,5).(5,6),6,1).6,2).(6,3),(6,4).6,5).(6 ,6)},即(P)=36.事件“朝上一面数之积为偶数”与事件“朝上一面数之积不为偶数”互为对立 事件，则事件A=“朝上一面之积不为偶数”-{(1,1).(1,3).1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}， 即心4)=9.国此“朝上一面数之积为偶数”的概率为1品=手 6.从4男2女中选3人参加志愿者服务，则事件A=“所选3人中既有男生又有女生”的概率 为 答刻 解析设4个男生的编号为1,2,3,4,2个女生的编号为5,6；试验：6人中任选3人的样本空间 2={(1,2,3),1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,34).1,3,5).(1,3,6).1,4,5),(1,4,6,(1,5,6),2,3,4).2,3,5).(2,3,6 ).(2,4,5).(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6).(4,5,6),即n(2)=20.设事件B=“抽取的3人中，男 生有1人，女生有2人”，则(B)=4,事件C-“抽取的3人中，男生有2人，女生有1人”，则 n(C=12. 因为A=BUC,且B与C互斥」 所以PA)=P(BUO=P(B+P(C号 7.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法 从中抽取7人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
C.[ 5 4 , 3 2 ] D.( 5 4 , 4 3 ] 答案 D 解析由概率的性质得{ 0 < 𝑃(𝐴) < 1, 0 < 𝑃(𝐵) < 1, 0 < 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ≤ 1, 即{ 0 < 2-𝑚 < 1, 0 < 4𝑚-5 < 1, 0 < 3𝑚-3 ≤ 1, 解不等式组得5 4 <m≤ 4 3 . 4.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,已知所取的 2 瓶全在保质期 内的概率为351 435,则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 . 答案 28 145 解析事件“至少取到 1 瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事 件,根据对立事件的概率公式得至少取到 1 瓶已过保质期的概率 P=1- 351 435 = 84 435 = 28 145. 5.同时抛掷 2 个质地均匀的正方体玩具(各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6),则朝上的一面数 之积为偶数的概率为 . 答案3 4 解析该试验样本空间 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),( 3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6 ,6)},即 n(Ω)=36.事件“朝上一面数之积为偶数”与事件“朝上一面数之积不为偶数”互为对立 事件,则事件 A=“朝上一面之积不为偶数”={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}, 即 n(A)=9.因此“朝上一面数之积为偶数”的概率为 1- 9 36 = 3 4 . 6.从 4 男 2 女中选 3 人参加志愿者服务,则事件 A=“所选 3 人中既有男生又有女生”的概率 为 . 答案4 5 解析设 4 个男生的编号为 1,2,3,4,2 个女生的编号为 5,6;试验:6 人中任选 3 人的样本空间 Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6 ),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)},即 n(Ω)=20.设事件 B=“抽取的 3 人中,男 生有 1 人,女生有 2 人”,则 n(B)=4,事件 C=“抽取的 3 人中,男生有 2 人,女生有 1 人”,则 n(C)=12. 因为 A=B∪C,且 B 与 C 互斥, 所以 P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)= 4 5 . 7.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层随机抽样的方法 从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身 体检查 设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概 率 解)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2，由于采用分层随机抽样的方法 从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人， (2)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为 “抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BUC,且B与C互斥 故P(A)=P(BUC)=P(B)+P(C号所以事件A发生的概率为号 挑战创新 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100名顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1 至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数/八 30 25 10 结算时间《分钟/人) 1.5 2.5 3 已知这100名顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率） 解1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100名顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样 本平均数估计，其估计值为115+15x30+2x25+25x20+3×10-1.9(分钟)】 100 (2)记A为事件“一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1,2,A3分别表示事件“该顾客 一次购物的结算时间为1分钟“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟“该顾客一次购物的 结算时间为2分钟”将频率视为概率得PA)品=品P)品=品P)品= 因为A=A1UA2UA3,且A1,A2,43是互斥事件， 所以PA)=P(A:UUA)=PA)+P4+PA)品+是+= 故一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为品
(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身 体检查. 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概 率. 解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法 从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为 “抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=B∪C,且 B 与 C 互斥. 故 P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)= 6 7 .所以事件 A 发生的概率为6 7 . 挑战创新 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 名顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 名顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率). 解(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 名顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样 本平均数估计,其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟). (2)记 A 为事件“一名顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客 一次购物的结算时间为 1 分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”“该顾客一次购物的 结算时间为 2 分钟”,将频率视为概率得 P(A1)= 15 100 = 3 20,P(A2)= 30 100 = 3 10,P(A3)= 25 100 = 1 4 . 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 3 20 + 3 10 + 1 4 = 7 10. 故一名顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10