10.3.1频率的稳定性 课后·训练提升 基础巩固 1.(多选题)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四名同学各自发表了以下见解，其中正确的是 (). A出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率 B.只要连掷6次，一定会“出现1点” C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大 D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19 答案AD 解析脚一枚觳子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是故A中同学发表的见解正确，“出现 1点”是随机事件，故B中同学发表的见解错误：概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故 C中同学发表的见解错误：连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和才为18，不可能 为19，故D中同学发表的见解正确. 2随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某 公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果 如下表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 2100 1000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者中对网上购物比较满意”或“满意”的概率是( A名 B明 15 D1 15 答案 解析由题意得，n=4500-200-2100-1000=1200,所以随机调查的消费者中对网上购物比较满 意”或“满意”的总人数为1200+2100=3300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满 意”或“满意”的频率为30=二由此估计在网上购物的消费者中对网上购物比较满意”或 4500=15 “清意”的概率为号 3.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布如下表： 分组 T90,100) [100,110) 110,120) T120,130) T130,140) [140,150] 频数 3 10 3 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 % 答案70 解桐计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的 苹果所占的比例，实质上也是用频率估算概率 由题意知10+3+1-0.7=70%. 20
10.3.1 频率的稳定性 课后· 基础巩固 1.(多选题)投掷一枚质地均匀的正方体骰子,四名同学各自发表了以下见解,其中正确的是 ( ). A.出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率 B.只要连掷 6 次,一定会“出现 1 点” C.投掷前默念几次“出现 6 点”,投掷结果“出现 6 点”的可能性就会加大 D.连续投掷 3 次,出现的点数之和不可能等于 19 答案 AD 解析掷一枚骰子,出现奇数点和出现偶数点的概率都是1 2 ,故 A 中同学发表的见解正确;“出现 1 点”是随机事件,故 B 中同学发表的见解错误;概率是客观存在的,不因为人的意念而改变,故 C 中同学发表的见解错误;连续掷 3 次,若每次都出现最大点数 6,则三次之和才为 18,不可能 为 19,故 D 中同学发表的见解正确. 2.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某 公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果 如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( ). A. 7 15 B. 2 5 C. 11 15 D. 13 15 答案 C 解析由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满 意”或“满意”的总人数为 1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满 意”或“满意”的频率为3 300 4 500 = 11 15.由此估计在网上购物的消费者中对网上购物“比较满意”或 “满意”的概率为11 15. 3.从一堆苹果中任取了 20 个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表: 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的 %. 答案 70 解析计算出样本中质量不小于 120 克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于 120 克的 苹果所占的比例,实质上也是用频率估算概率. 由题意知10+3+1 20 =0.7=70%
4.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群 中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼 答案750 解析设池塘约有n条鱼，则含有标记的鱼的概率为0，由题意得0×50=2，解得n=750. 5.对一批U盘进行抽检，结果如下表 抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 5 5 次品频率 (1)计算表中次品的频率（结果保留三位小数）： (2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？ (③)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？ 解1)题表中次品的频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，因此从这批U盘中任意抽取 一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1-0.02)≥2000，因为x是正整 数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘 6某险种的基本保费为α，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上 年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 2 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 1 2 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A=“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(4)的估计值： (2)记事件B=“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的 估计值； (3)求续保人本年度的平均保费的估计值. 解1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2由题中所给数据知，调查的续保人中一年 内出险次数小于2的频率为0+5=0.55，故P4)的估计值为0.5. 200 (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由题中所给数据知，调查的续保人中 一年内出险次数大于1且小于4的频率为0+30-0.3，故P(B)的估计值为0.3 200 (3)由题所求分布列为 保费 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a a 频率 0.30 0.25 h.15 0.15 0.10 0.05
4.管理人员从一池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群 中.10 天后,再捕上 50 条,发现其中带标记的鱼有 2 条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼. 答案 750 解析设池塘约有 n 条鱼,则含有标记的鱼的概率为30 𝑛 ,由题意得30 𝑛 ×50=2,解得 n=750. 5.对一批 U 盘进行抽检,结果如下表: 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 次品频率b a (1)计算表中次品的频率(结果保留三位小数); (2)从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少? (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售 2 000 个 U 盘,至少需进货多少个 U 盘? 解(1)题表中次品的频率从左到右依次为 0.060,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018. (2)当抽取件数 a 越来越大时,出现次品的频率在 0.02 附近摆动,因此从这批 U 盘中任意抽取 一个是次品的概率约是 0.02. (3)设需要进货 x 个 U 盘,为保证其中有 2 000 个正品 U 盘,则 x(1-0.02)≥2 000,因为 x 是正整 数,所以 x≥2 041,即至少需进货 2 041 个 U 盘. 6.某险种的基本保费为 a,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上 年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件 A=“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; (2)记事件 B=“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”,求 P(B)的 估计值; (3)求续保人本年度的平均保费的估计值. 解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由题中所给数据知,调查的续保人中一年 内出险次数小于 2 的频率为60+50 200 =0.55,故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由题中所给数据知,调查的续保人中 一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30+30 200 =0.3,故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由题所求分布列为: 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a,因此，续保人本 年度的平均保费的估计值为1.1925a. 拓展提高 1.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为严当n很大时，P4)与严的大小关系是 () APA贺 B.P(A)< “n C.P(4)- D.P(4) 答案A 解杨在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为咒当n很大时兴越来越接近P代A),因此 我们可以用严近似地代替P(4) 2.从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下 号码，统计结果如下表所示，则取到号码为奇数的频率是( 卡片号码 1 2 3 5 6 7 8 10 取到的次数 13 5 7 6 13 18 10 A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 客案A 3.在调查运动员是否服用过兴奋剂时，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号 码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬 币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题， 由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题 如果我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过 兴奋剂的百分率大约为( A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44% 客案B 解标国为掷硬币出现正面向上的概率为大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾 数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了 “是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过 兴奋剂 4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1,2,3,4,5,6），若前3次连续抛到6点朝 上”，则对于第4次抛掷的结果的预测，下列说法正确的是() A.一定出现6点朝上” B.出现“6点朝上”的概率大于君 C出现“6点朝上的概率等于君
调查 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a,因此,续保人本 年度的平均保费的估计值为 1.192 5a. 拓展提高 1.在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为𝑚 𝑛 ,当 n 很大时,P(A)与 𝑚 𝑛 的大小关系是 ( ). A.P(A)≈ 𝑚 𝑛 B.P(A) 𝑚 𝑛 D.P(A)= 𝑚 𝑛 答案 A 解析在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为𝑚 𝑛 ,当 n 很大时, 𝑚 𝑛 越来越接近 P(A),因此 我们可以用𝑚 𝑛 近似地代替 P(A). 2.从存放号码分别为 1,2,…,10 的卡片的盒子里,有放回地取 100 次,每次取一张卡片,并记下 号码,统计结果如下表所示,则取到号码为奇数的频率是( ). 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 答案 A 3.在调查运动员是否服用过兴奋剂时,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号 码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗?”然后要求被调查的运动员掷一枚硬 币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题. 由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题. 如果我们把这种方法用于 300 个被调查的运动员,得到 80 个“是”的回答,则这群人中服用过 兴奋剂的百分率大约为( ). A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44% 答案 B 解析因为掷硬币出现正面向上的概率为1 2 ,大约有 150 人回答第一个问题,又身份证号码的尾 数是奇数或偶数是等可能的,在回答第一个问题的 150 人中大约有一半人,即 75 人回答了 “是”,另外 5 个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有 3.33%的人服用过 兴奋剂. 4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有 1,2,3,4,5,6),若前 3 次连续抛到“6 点朝 上”,则对于第 4 次抛掷的结果的预测,下列说法正确的是( ). A.一定出现“6 点朝上” B.出现“6 点朝上”的概率大于1 6 C.出现“6 点朝上”的概率等于1 6
D.无法预测6点朝上”的概率 答案c 解析随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关.因为正方体骰子的质地是均匀的，所以 它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的，概率都为号行 5.一袋中有红球3个，白球5个，还有黄球若干个，这些球除颜色外其余完全相同.某人有放回 地随意摸100次，每次摸一球，已知其摸到红球的频数为30，那么袋中的黄球约有」 个 答案上 解祠设x为聚中黄球的个数，根据题意可得3品解得2 6.某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000千瓦时，按照上个月的用电记录，在30 天中有12天的用电量超过指标，若这个月（按30天计）仍没有具体的节电措施，则该月的第一 天用电量超过指标的概率约是」 答案b.4 解标由频率的定义可知用电量超过指标的频率为二-0.4，由频率估计概率知第一天用电量超 30 过指标的概率约是0.4 7某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示（单位：人）： 时间范围 1 年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 男婴数 2716 4899 6812 8590 男婴出生频率 (1)填写表中的男婴出生频率（结果保留两位小数）： (2)这一地区男婴出生的概率约是」 案1)0.490.540.500.50(2)0.50 解标1)男婴出生频率 男婴数 故从左到右各频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50 新生婴儿数 (2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为0.50 挑战创新 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》科目，下表是李老师统计的这门课3 年来学生的考试成绩分布： 成绩 人数 90分以上 43 80分-89分 182 70分-79分 260 60分-69分 190 50分~59分 62 50分以下 8
D.无法预测“6 点朝上”的概率 答案 C 解析随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.因为正方体骰子的质地是均匀的,所以 它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的,概率都为1 6 . 5.一袋中有红球 3 个,白球 5 个,还有黄球若干个,这些球除颜色外其余完全相同.某人有放回 地随意摸 100 次,每次摸一球,已知其摸到红球的频数为 30,那么袋中的黄球约有 个. 答案 2 解析设 x 为袋中黄球的个数,根据题意可得 3 5+3+𝑥 ≈ 30 100,解得 x≈2. 6.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为 1 000 千瓦时,按照上个月的用电记录,在 30 天中有 12 天的用电量超过指标,若这个月(按 30 天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一 天用电量超过指标的概率约是 . 答案 0.4 解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为12 30=0.4,由频率估计概率知第一天用电量超 过指标的概率约是 0.4. 7.某个地区从某年起 n 年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:人): 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191 男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590 男婴出生频率 (1)填写表中的男婴出生频率(结果保留两位小数); (2)这一地区男婴出生的概率约是 . 答案(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50 解析(1)男婴出生频率= 男婴数 新生婴儿数 ,故从左到右各频率依次为 0.49,0.54,0.50,0.50. (2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为 0.50. 挑战创新 李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的《高等数学》科目,下表是李老师统计的这门课 3 年来学生的考试成绩分布: 成绩 人数 90 分以上 43 80 分~89 分 182 70 分~79 分 260 60 分~69 分 90 50 分~59 分 62 50 分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》科目，用已有的信息估计 她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位） (1)90分以上： (2)60分-69分； (3)60分以上 解总人数为43+182+260+90+62+8=645，根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》科 目的人的考试成绩在各个段上的频率依次为 需0067器0282架0403器0140需096品012用已有的估息，可以估计出王 小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下： (1)将90分以上”记为事件A,则P(4)0.067. (2)将“60分-69分”记为事件B,则P(B)0.140 (3)将60分以上”记为事件C,则P(C)0.067+0.282+0.403+0.140=0.892
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》科目,用已有的信息估计 她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90 分以上; (2)60 分~69 分; (3)60 分以上. 解总人数为 43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》科 目的人的考试成绩在各个段上的频率依次为 43 645≈0.067,182 645≈0.282,260 645≈0.403, 90 645≈0.140, 62 645≈0.096, 8 645≈0.012.用已有的信息,可以估计出王 小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下: (1)将“90 分以上”记为事件 A,则 P(A)≈0.067. (2)将“60 分~69 分”记为事件 B,则 P(B)≈0.140. (3)将“60 分以上”记为事件 C,则 P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892