6.2.3向量的数乘运算 课后·训练提升 基础巩固 1.若点0为平行四边形ABCD的中心，A丽-2e,BC-32,则号c2-e1=(1 A.BO B.A0 c.to D.DO 客案A 解标BD-D-AE-BC-B-3e2-2e,B0=2BD=2e2-e1. 2.(多选题)已知m,n是实数，a,b是向量，则下列结论中正确的为(). A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n 答案AB 解析A中结论正确，B中结论正确，C中结论错误，由ma=mb,得m(a-b)=0,当m=0时也成立， 推不出a=b.D中结论错误，由ma=na,得(m-n)a-0,当a=0时也成立，推不出m=n. 3.在四边形ABCD中，若AB-3a,C⑦=-5a,且AD1=B乙1，则四边形ABCD是(). A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.矩形 答案 解标由条件可知，A正-CD,故AB∥CD,且+CD1.又国为D1=BC1,所以四边形ABCD为 等腰梯形 4.在△4ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EE=(). A2A丽-AC BA丽-2AC C丽+AC D.丽+34沉 答案A 解韧如图所示，死=D+D丽-而+丽=2×丽+C)+片丽-C-丽-C 5.(多选题)下列非零向量a,b中，一定共线的是( A.a=2e,b=-2e B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 Ca=4e1-2e2,b=e1-02 D.a=e1+e2,b=2e1-2e2 答案ABC
6.2.3 向量的数乘运算 课后· 基础巩固 1.若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2e1,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =3e2,则 3 2 e2-e1=( ). A.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ B.𝐴𝑂⃗⃗⃗ C.⃗𝐶𝑂⃗⃗ D.𝐷𝑂⃗⃗ 答案 A 解析𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =3e2-2e1,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 3 2 e2-e1. 2.(多选题)已知 m,n 是实数,a,b 是向量,则下列结论中正确的为( ). A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若 ma=mb,则 a=b D.若 ma=na,则 m=n 答案 AB 解析 A 中结论正确,B 中结论正确,C 中结论错误,由 ma=mb,得 m(a-b)=0,当 m=0 时也成立, 推不出 a=b.D 中结论错误,由 ma=na,得(m-n)a=0,当 a=0 时也成立,推不出 m=n. 3.在四边形 ABCD 中,若𝐴𝐵⃗⃗⃗ =3a,𝐶𝐷⃗⃗⃗ =-5a,且|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |,则四边形 ABCD 是( ). A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.矩形 答案 C 解析由条件可知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =- 3 5 𝐶⃗⃗𝐷⃗ ,故 AB∥CD,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≠|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |.又因为|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |,所以四边形 ABCD 为 等腰梯形. 4.在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则𝐸𝐵⃗⃗⃗ =( ). A. 3 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 1 4 𝐴𝐶⃗⃗ B. 1 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 3 4 𝐴𝐶⃗⃗ C. 3 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 4 𝐴𝐶⃗⃗ D. 1 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐶⃗⃗ 答案 A 解析如图所示,𝐸𝐵⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗ ⃗ = 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 1 2 × 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ )+ 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ )= 3 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 1 4 𝐴𝐶⃗⃗ . 5.(多选题)下列非零向量 a,b 中,一定共线的是( ). A.a=2e,b=-2e B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 C.a=4e1- 2 5 e2,b=e1- 1 10e2 D.a=e1+e2,b=2e1-2e2 答案 ABC
解标对于A,有b=-a,则a与b共线；对于B,有b=-2a,则a与b共线， 对于C,有a=4b,则a与b共线；对于D,不存在实数，使b=λa,故a与b不共线。 6.设a,b不共线，AB=a+b,AC=ma+b(k,m∈R),则A,B,C三点共线时有(） A.k=m B.am-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 含案B 解标若A,B,C三点共线，则A正与AC共线， 所以存在唯一实数人，使AB=A配 即a+kh=(ma+b),即a+h=ma+b, 所以太所以m-l甲m10 7.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+仙b(k∈R)的方向相反，则 k= 答案4 解析因为向量ka+2b与8a+仙的方向相反， 所以a2-8a+共中0-民=设一怎子 (k=-4 8已知平面上不共线的四点0,4，B,C,若-30丽+20元-0，则四 含案 懈析：0A-30元+20C=0, .:0i-0A-2(0沉-0B),.:AB-2BC -2 BCI 9.己知在△ABC中，点M满足MA+MB+M元0，若存在实数m,使得AB+AC=mAM成立，则 m= 含案 解析由MA+ME+MC0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM= 子而-子×（丽+AC)正+AC),所以有正+AC=3 又AB+AC=mAM,故m=3 10.计算： (1)6(3a-2b)+9(-2a+b)月 23a+2b号-b]-名+h+1 (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 解1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. (2)原式(3a-3a+2b-b)-名a++h)(Ga+b)-(a+b)=a+b2b0 (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b. 11.设两个非零向量e1,e2不共线，己知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.问：是否存在实数k 使得A,B,D三点共线？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由 解设存在k∈R使得A,B,D三点共线， :DE=CB-CT=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,AB=2e1+ke2
解析对于 A,有 b=-a,则 a 与 b 共线;对于 B,有 b=-2a,则 a 与 b 共线; 对于 C,有 a=4b,则 a 与 b 共线;对于 D,不存在实数 λ,使 b=λa,故 a 与 b 不共线. 6.设 a,b 不共线,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a+kb,𝐴𝐶⃗⃗ =ma+b(k,m∈R),则 A,B,C 三点共线时有( ). A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 答案 B 解析若 A,B,C 三点共线,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗ 共线, 所以存在唯一实数 λ,使𝐴𝐵⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗ , 即 a+kb=λ(ma+b),即 a+kb=λma+λb, 所以{ 𝜆𝑚 = 1, 𝜆 = 𝑘, 所以 km=1,即 km-1=0. 7.设 a,b 是两个不共线的向量.若向量 ka+2b 与 8a+kb(k∈R)的方向相反,则 k= . 答案-4 解析因为向量 ka+2b 与 8a+kb 的方向相反, 所以 ka+2b=λ(8a+kb)(其中 λ<0)⇒{ 2 = 𝜆𝑘, 𝑘 = 8𝜆 ⇒ { 𝜆 = - 1 2 , 𝑘 = -4. 8.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若𝑂𝐴⃗⃗⃗ -3𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +2⃗𝑂𝐶⃗⃗ =0,则 |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = . 答案 2 解析∵𝑂𝐴⃗⃗⃗ -3𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +2⃗𝑂𝐶⃗⃗ =0, ∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =2(⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2𝐵𝐶⃗⃗⃗ , ∴ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | =2. 9.已知在△ABC 中,点 M 满足𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ =0,若存在实数 m,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ =m𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ 成立,则 m= . 答案 3 解析由𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ =0 知,点 M 为△ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 2 3 × 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ )= 1 3 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ ),所以有𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ =3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ =m𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ,故 m=3. 10.计算: (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2)1 2 [(3𝑎 + 2𝑏)- 2 3 𝑎-𝑏]− 7 6 [ 1 2 a+ 3 7 (b+7 6 a)]; (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. (2)原式= 1 2 (3𝑎- 2 3 𝑎 + 2𝑏-𝑏) − 7 6 ( 1 2 a+1 2 a+3 7 b)= 1 2 ( 7 3 𝑎 + 𝑏) − 7 6 (𝑎 + 3 7 𝑏) = 7 6 a+1 2 b- 7 6 a- 1 2 b=0. (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b. 11.设两个非零向量 e1,e2 不共线,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2e1+ke2,𝐶𝐵⃗⃗⃗ =e1+3e2,𝐶𝐷⃗⃗⃗ =2e1-e2.问:是否存在实数 k, 使得 A,B,D 三点共线?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解设存在 k∈R,使得 A,B,D 三点共线, ∵𝐷𝐵⃗ ⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2e1+ke2
又A,B,D三点共线，：AB=DB(1∈R) 2+-0e+4e报--8 故存在k=-8,使得A,B,D三点共线 拓展提高 1设ab都是非零向量下列四个条件中，能使号=合成立的是() A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且la=lbl 靥案 爵团号号分别表示与ab同向的单位向量对于A,当ab时号*命对于B,当a/b时，可能 有a=-b,此时号+会对于C当a2b时号=岛=备对于D,当a/b且a时，可能有a=b 此时号≠命综上所述，只有2b能俊后=岛成立 2.如图，在△4BC中，AB=a,AC=b,D元=3BD,A正=2E,则D正等于() A.a+动 B品a动 C.a+b D子+ 答案p 解橱=D元+正-C+(AC)=C-AB)C-丽+是AC-a+, 3.如图，AB是⊙O的直径，C,D是半圆弧AB上的两个三等分点，A丽=a,AC=b,则AD等于() A.a-b B.a-b C.a+b D.za+b 答案D
又 A,B,D 三点共线,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ =λ𝐷𝐵⃗ ⃗ (λ∈R), ∴2e1+ke2=λ(-e1+4e2),∴{ 2 = -𝜆, 𝑘 = 4𝜆, ∴k=-8, 故存在 k=-8,使得 A,B,D 三点共线. 拓展提高 1.设 a,b 都是非零向量.下列四个条件中,能使𝑎 |𝑎| = 𝑏 |𝑏|成立的是( ). A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| 答案 C 解析 𝑎 |𝑎| , 𝑏 |𝑏|分别表示与 a,b 同向的单位向量.对于 A,当 a=-b 时, 𝑎 |𝑎| ≠ 𝑏 |𝑏| ;对于 B,当 a∥b 时,可能 有 a=-b,此时𝑎 |𝑎| ≠ 𝑏 |𝑏| ;对于 C,当 a=2b 时, 𝑎 |𝑎| = 2𝑏 |2𝑏| = 𝑏 |𝑏| ;对于 D,当 a∥b 且|a|=|b|时,可能有 a=-b, 此时𝑎 |𝑎| ≠ 𝑏 |𝑏| .综上所述,只有 a=2b 能使𝑎 |𝑎| = 𝑏 |𝑏| 成立. 2.如图,在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b,𝐷𝐶⃗⃗⃗ =3𝐵𝐷⃗ ⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ =2𝐸𝐶⃗⃗ ,则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A.- 1 3 a+ 3 4 b B. 5 12a- 3 4 b C. 3 4 a+ 1 3 b D.- 3 4 a+ 5 12b 答案 D 解析𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗ = 3 4 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + (- 1 3 𝐴𝐶⃗⃗ ) = 3 4 (𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ )- 1 3 𝐴𝐶⃗⃗ =- 3 4 𝐴⃗⃗⃗𝐵 + 5 12𝐴𝐶⃗⃗ =- 3 4 a+ 5 12b. 3.如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A.a- 1 2 b B. 1 2 a-b C.a+ 1 2 b D. 1 2 a+b 答案 D
解标连接CD,OD,如图。 “点C,D是半圆孤AB上的两个三等分点， AC=CD,∠CAD=∠DABx90°=30 :OA=OD,.:∠ADO=∠DAO-30° .:∠CAD=∠ADO,.:AC∥DO 由AC-CD,得∠CDA=∠CAD=30°， .:∠CDA=∠DAO,.:CD∥AO. .:四边形ACDO为平行四边形， :而=0+C=丽+C=+b 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于( A.ia+ib 8字品 C.zatib D.atb 含案D 解扬：DEFn△BEA器=器=号 DFAB,:F=而+D示=而+E AC=AB +AD=a,BD AD-AB=b, :丽=2a-b),4而=a+b)。 :F=a+b)+a-b)子2动 5.如图，四边形ABCD是一个梯形，AB‖CD且AB=2CD,点M,N分别是DC,AB的中点，己知 AE=e1,AD=e2,试用1，e2表示下列向量： (1)AC= (2)MN= 含案1)e+21(221-e2
解析连接 CD,OD,如图. ∵点 C,D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点, ∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=1 3 ×90°=30°. ∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°, ∴∠CAD=∠ADO,∴AC∥DO. 由 AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°, ∴∠CDA=∠DAO,∴CD∥AO. ∴四边形 ACDO 为平行四边形, ∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ = 1 2 a+b. 4.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F,若𝐴𝐶⃗⃗ =a,𝐵𝐷⃗ ⃗ =b,则𝐴𝐹⃗⃗⃗ 等于( ). A. 1 4 a+1 2 b B. 1 3 a+2 3 b C. 1 2 a+1 4 b D. 2 3 a+1 3 b 答案 D 解析∵△DEF∽△BEA,∴ 𝐷𝐹 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 𝐸𝐵 = 1 3 , ∴DF=1 3 AB,∴𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ . ∵𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =b, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 1 2 (a-b),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (a+b), ∴𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 1 2 (a+b)+ 1 6 (a-b)= 2 3 a+ 1 3 b. 5.如图,四边形 ABCD 是一个梯形,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 且|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=2|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |,点 M,N 分别是 DC,AB 的中点,已知 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =e1,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =e2,试用 e1,e2 表示下列向量: (1)𝐴𝐶⃗⃗ = ; (2)𝑀𝑁⃗⃗⃗ = . 答案(1)e2+ 1 2 e1 (2)1 4 e1-e2
解标国为A店1C而，A-21C而1，所以AB-2DC,即DC=2A正. ()cC=而+D元-e+! (2)M=而+D+-D元-而+2AB-1-e2+211-2. 6.设向量a,b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实数=一 含刻 解桐：向量a,b不平行，：a+2b时0，又向量a+b与a+2b平行，则存在唯一的实数以，使 a-7认a2b成立，即2ab-a+2b,则合二经解件片 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN-BD, 求证：M,N,C三点共线 证明设B☑=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知C=B-B配=BA-B元=-b. 又点N在BD上，且BN-BD, :B丽-丽-（武+A)a+b), .:Cm-丽-元=a+b)-b子b(经a-b】 :C不=Cm,又直线CN与CM有公共点C, :M,N,C三点共线 挑战创新 在△ABC中，点D和E分别在BC,AC上，且B而=C,E=C,AD与BE相交于点R,求 证而=而. 证明设A承=mAD(m∈R). :而-+B而-A丽+B武-丽+C-A子丽+号AC
解析因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=2|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,即𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ . (1)𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =e2+ 1 2 e1. (2)𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑁⃗ ⃗ =- 1 2 𝐷𝐶⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =- 1 4 e1-e2+ 1 2 e1= 1 4 e1-e2. 6.设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ= . 答案1 2 解析∵向量 a,b 不平行,∴a+2b≠0,又向量 λa+b 与 a+2b 平行,则存在唯一的实数 μ,使 λa+b=μ(a+2b)成立,即 λa+b=μa+2μb,则{ 𝜆 = 𝜇, 1 = 2𝜇, 解得 λ=μ= 1 2 . 7.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN=1 3 BD. 求证:M,N,C 三点共线. 证明设𝐵𝐴⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =b,则由向量减法的三角形法则可知𝐶𝑀⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 1 2 𝐵𝐴⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 1 2 a-b. 又点 N 在 BD 上,且 BN=1 3 BD, ∴𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ = 1 3 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 3 (𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ )= 1 3 (a+b), ∴𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 1 3 (a+b)-b= 1 3 a- 2 3 b= 2 3 ( 1 2 𝑎-𝑏), ∴𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐶𝑀⃗⃗⃗ ,又直线 CN 与 CM 有公共点 C, ∴M,N,C 三点共线. 挑战创新 在△ABC 中,点 D 和 E 分别在 BC,AC 上,且𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 𝐶𝐸⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐴⃗⃗ ,AD 与 BE 相交于点 R,求 证:𝑅𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 7 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 证明设𝐴𝑅⃗⃗⃗ =m𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ (m∈R). ∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 (𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ )= 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐶⃗⃗
.:AR=子mA正+3mAC :℃E-Cm, :正-子元， :死-A正-A正-C-A正，丽-A-丽=m-1A丽+mC. :B,R,E三点共线 :B歌=nBE(n∈R) 即(m-1)AE+3mAC-子nC-nAE, ,:m-1+mA丽-(n-m)aC :B与AC不共线， {层m-1+n=0 m=f. 得 m-m=0,解n :A派=AD,丽=AD
∴𝐴𝑅⃗⃗⃗ = 2 3 𝑚𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 𝑚𝐴𝐶⃗⃗ . ∵𝐶𝐸⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐴⃗⃗ , ∴𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗ , ∴𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐵𝑅⃗⃗⃗ = 𝐴𝑅⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =( 2 3 m-1)𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 𝑚𝐴𝐶⃗⃗ . ∵B,R,E 三点共线, ∴𝐵𝑅⃗⃗⃗ =n𝐵𝐸⃗⃗⃗ (n∈R), 即( 2 3 m-1)𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 3 𝑚𝐴𝐶⃗⃗ = 2 3 𝑛𝐴𝐶⃗⃗ -n𝐴𝐵⃗⃗⃗ , ∴( 2 3 m-1+n)𝐴𝐵⃗⃗⃗ =( 2 3 n- 1 3 m)𝐴𝐶⃗⃗ . ∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗ 不共线, ∴{ 2 3 𝑚-1 + 𝑛 = 0, 2 3 𝑛- 1 3 𝑚 = 0, 解得{ 𝑚 = 6 7 , 𝑛 = 3 7 . ∴𝐴𝑅⃗⃗⃗ = 6 7 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,𝑅𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 7 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗