6.4.1平面几何中的向量方法 课后·训练提升 基础巩固 1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3).(2,4)，0,2)，则此四边形为(). A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案A 解析：AE-(3,3),C而=(-2，-2) 丽=而，：丽与而共线 又ABCD,:该四边形为梯形 2.如图，BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，BF-2FO,则FD·FE的值是() D A是 B号 c D号 答案B 解标因为F而=F0+而，FE-F0+正，且0而-正，所以FD.FE=(F0+)(F0+ 0正)-F02-0而2=1-号 3.在四边形ABCD中，若AC=(1,2),BD-(-4,2),则该四边形的面积为(). A.V5 B.2V5 C.5 D.10 答案 解析：AC·BD=-0,:AC⊥BD :四边形ABCD的面积S|ACBD-2×V5×2V5=5 4.己知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时，AD=() A.1 B.2 C.3 D.4 客案A 解析建立平面直角坐标系，如图所示 设AD=1(1>0),则A(0,0),C1,),B2,0),故AC=(1,),BC=(-1,0 由AC⊥BC,知AC.BC-1+2=0, 解得1=1，故AD=1
6.4.1 平面几何中的向量方法 课后· 基础巩固 1.已知 A,B,C,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( ). A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3,3),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-2,-2), ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ =- 3 2 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐶𝐷⃗⃗⃗ 共线. 又|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≠|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |,∴该四边形为梯形. 2.如图,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,𝐵𝐹⃗⃗⃗ =2𝐹𝑂⃗⃗⃗ ,则𝐹𝐷⃗⃗⃗ · 𝐹𝐸⃗⃗ 的值是( ). A.- 3 4 B.- 8 9 C.- 1 4 D.- 4 9 答案 B 解析因为𝐹𝐷⃗⃗⃗ = 𝐹𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ , 𝐹𝐸⃗⃗ = 𝐹𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗ ,且𝑂𝐷⃗⃗ =-𝑂𝐸⃗⃗⃗ ,所以𝐹𝐷⃗⃗⃗ · 𝐹𝐸⃗⃗ =(𝐹𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ )·(𝐹𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗ )=𝐹𝑂⃗⃗⃗ 2 − 𝑂𝐷⃗⃗ 2 = 1 9 -1=- 8 9 . 3.在四边形 ABCD 中,若𝐴𝐶⃗⃗ =(1,2),𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ). A.√5 B.2√5 C.5 D.10 答案 C 解析∵𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0,∴AC⊥BD. ∴四边形 ABCD 的面积 S=1 2 |𝐴𝐶⃗⃗ ||𝐵𝐷⃗ ⃗ |=1 2 × √5×2√5=5. 4.已知在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当 AC⊥BC 时,AD=( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析建立平面直角坐标系,如图所示. 设 AD=t(t>0),则 A(0,0),C(1,t),B(2,0),故𝐴𝐶⃗⃗ =(1,t),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(-1,t). 由 AC⊥BC,知𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =-1+t2=0, 解得 t=1,故 AD=1
5.在四边形ABCD中，AB-C而，AC·BD=O,则四边形ABCD为()， A平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 答案D 懈析：AE=CD,即AE=DC :AB与DC平行且相等， ,:四边形ABCD是平行四边形 又AC.BD=0,:AC⊥BD,即AC⊥BD .:四边形ABCD是菱形. 6.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点，则(AE+ AF)BD= 含案 解标如图，以A为坐标原点，以A正，AD的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 则A0,0),B(2,0),D(0,1),C2,1) :点E,F分别为BC,CD的中点， E(2,F1,) 正+F=(3)B而-(2,1)， (4正+AF)BD-3×-2)+2×1=号 7.已知直线ar+by+c=0(a,b,c∈R,且a,b不同时为0)与圆x2+y2=1相交于A,B两点，若 AB=V3,则OA.0E= 含系} 解标如图，作ODLAB于点D, 则在Rt△40D中，01=1，AD=竖所以∠40D=60°，∠40B=120°，所以O.0丽=0丽1cos 120°=1x1×()-号 8.已知点A(-1,2),B0,-2),且2AD1=3引BD1,若点D在线段AB上，求点D的坐标. 解设D(x,由题意知，24D1-3到BD列 且点D在线段AB上，所以2AD=3DB 即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y)
5.在四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =-𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0,则四边形 ABCD 为( ). A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 答案 D 解析∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =-𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,即𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ , ∴AB 与 DC 平行且相等, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0,∴𝐴𝐶⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,即 AC⊥BD, ∴四边形 ABCD 是菱形. 6.已知在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E,F 分别为 BC,CD 的中点,则(𝐴𝐸⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗ )·𝐵𝐷⃗ ⃗ = . 答案- 9 2 解析如图,以 A 为坐标原点,以𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1). ∵点 E,F 分别为 BC,CD 的中点, ∴E(2, 1 2 ),F(1,1), ∴𝐴𝐸⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗ = (3, 3 2 ) ,𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-2,1), ∴(𝐴𝐸⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗ )·𝐵𝐷⃗ ⃗ =3×(-2)+ 3 2 ×1=- 9 2 . 7.已知直线 ax+by+c=0(a,b,c∈R,且 a,b 不同时为 0)与圆 x 2+y2=1 相交于 A,B 两点,若 |AB|=√3,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = . 答案- 1 2 解析如图,作 OD⊥AB 于点 D, 则在 Rt△AOD 中,OA=1,AD=√3 2 ,所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =|𝑂𝐴⃗⃗⃗ ||𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=1×1×(- 1 2 )=- 1 2 . 8.已知点 A(-1,2),B(0,-2),且 2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=3|𝐵𝐷⃗ ⃗ |,若点 D 在线段 AB 上,求点 D 的坐标. 解设 D(x,y),由题意知,2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=3|𝐵𝐷⃗ ⃗ |, 且点 D 在线段 AB 上,所以 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =3𝐷𝐵⃗ ⃗ , 即 2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y)
所以x2=3解得 x=- 2y-4=-6-3y, 故点D的坐标为（号引 9.己知在正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中点，BE,CF交于点P 求证：(I)BE⊥CF,(2)AP=AB. 证明建立平面直角坐标系如图所示，设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E1,2),F0,1) A0) (1):BE-(-1,2),CF-(-2,-1 :BE.CF-(-1)×(-2)+2×(-I)=0,:BE1CF,即BE⊥CF (2)设点P坐标为(xy),则F严-(y-l), FC=(2,1),:FP∥FC .x=201),即x=22, 同理，由BP‖B配，得y=-2x+4, 6-244 x=5 y= 点P的坐标为() P-自+（倡°-2-，即AP=AB 拓展提高 1.在△ABC中，D为BC边的中点，已知AE=a,AC=b,则下列向量中与AD同向的是(). A贵 B+ c喘 D哈奇 答案A 解机而=亚+号C=a+b),而的是与a+b同方向的单位向量.故选A 2.在△ABC中，AB=3,4C=2,D=2配，则AD.BD的值为( A月 B明 c月 D 答案 解粉国为丽=B配，所以点D是BC的中点，则而=（丽+C),B丽=C=(AC-E, 所以而.丽=2A正+AC)2(4C-AB)4C-A)×22-32-
所以{ 2𝑥 + 2 = -3𝑥, 2𝑦-4 = -6-3𝑦, 解得{ 𝑥 = - 2 5 , 𝑦 = - 2 5 . 故点 D 的坐标为(- 2 5 ,- 2 5 ). 9.已知在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AD 的中点,BE,CF 交于点 P. 求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB. 证明建立平面直角坐标系如图所示,设 AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). (1)∵𝐵𝐸⃗⃗⃗ =(-1,2),𝐶𝐹⃗⃗ =(-2,-1), ∴𝐵𝐸⃗⃗⃗ · 𝐶𝐹⃗⃗ =(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴𝐵𝐸⃗⃗⃗ ⊥ 𝐶𝐹⃗⃗ ,即 BE⊥CF. (2)设点 P 坐标为(x,y),则𝐹𝑃⃗⃗ =(x,y-1), 𝐹𝐶⃗⃗ =(2,1),∵𝐹𝑃⃗⃗ ∥ 𝐹𝐶⃗⃗ , ∴x=2(y-1),即 x=2y-2, 同理,由𝐵𝑃⃗⃗⃗ ∥ 𝐵𝐸⃗⃗⃗ ,得 y=-2x+4, 由{ 𝑥 = 2𝑦-2, 𝑦 = -2𝑥 + 4, 得 { 𝑥 = 6 5 , 𝑦 = 8 5 , ∴点 P 的坐标为( 6 5 , 8 5 ). ∴|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |=√( 6 5 ) 2 + ( 8 5 ) 2 =2=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,即 AP=AB. 拓展提高 1.在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b,则下列向量中与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 同向的是( ). A. 𝑎+𝑏 |𝑎+𝑏| B. 𝑎 |𝑎| + 𝑏 |𝑏| C. 𝑎-𝑏 |𝑎-𝑏| D. 𝑎 |𝑎| − 𝑎 |𝑏| 答案 A 解析𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗ = 1 2 (a+b),而 𝑎+𝑏 |𝑎+𝑏| 是与 a+b 同方向的单位向量.故选 A. 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ 的值为( ). A.- 5 2 B. 5 2 C.- 5 4 D. 5 4 答案 C 解析因为𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,所以点 D 是 BC 的中点,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ ),𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 1 2 (𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ), 所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ )· 1 2 (𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ )= 1 4 (|𝐴𝐶⃗⃗ | 2 -|𝐴𝐵⃗⃗⃗ | 2 )= 1 4 ×(22 -3 2 )=- 5 4
3.如图，在矩形ABCD中，AB=VZ,BC=2,E为BC的中点，点F在边CD上，若AB,AF=√Z,则 A正.BF的值是( ) A.V2 B.2 c.0 D.1 答案A 懈析：AF=AD+DF .:AB AF=AB-(AD +DF)=V2 DF=V2. :DF=1,CF=V2-1, .:AE.BF=(AB+BE)(BC +CF)=AB.CF +BE.BC=-V2x(2-1)+1x2=V2. 4如图，设点P为△4BC内一点，且2P7+2丽+元-0则△4 SAABC A写 B c D时 答案A 解析设点D为AB的中点，连接PD(图略) :p+PB-2而-元， P而=P元，：点P为CD的五等分点， :△ABP的面积为△ABC的面积的号 5.(多选题)点O在△4BC所在的平面内，则以下说法正确的有(） A.若OA+O元+0C-0,则点O为△4BC的重心 B.若0i· (需)=丽-（赁）-0，则点0为△MBC的垂心 C.若(O+E)AB=(OE+OC)BC-0,则点O为△ABC的外心 D.若0A.0元=0B.0C=0元.0A,则点O为△4BC的内心 答案AC 解析选项A,设点D为BC的中点，由于OA=-(O丽+O元)=-2O而，所以点O为BC边上中线的 三等分点（靠近点D),所以点O为△ABC的重心 选项B,向量需需分别表示在边4C和AB上取单位向量汇和丽，记它们的差是向量配， 则当0A· (二）-0，即OALBC时，点0在∠BAC的平分线上，同理由0丽 知，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心
3.如图,在矩形 ABCD 中,AB=√2,BC=2,E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐹⃗⃗⃗ = √2,则 𝐴𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐹⃗⃗⃗ 的值是( ). A.√2 B.2 C.0 D.1 答案 A 解析∵𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗ , ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗ )=√2|𝐷𝐹⃗⃗⃗ |=√2, ∴|𝐷𝐹⃗⃗⃗ |=1,|𝐶𝐹⃗⃗ |=√2-1, ∴𝐴𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐹⃗⃗⃗ =(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ )·(𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗ )=𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐶𝐹⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =-√2×(√2-1)+1×2=√2. 4.如图,设点 P 为△ABC 内一点,且 2𝑃𝐴⃗⃗⃗ +2𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ =0,则 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 =( ). A. 1 5 B. 2 5 C. 1 4 D. 1 3 答案 A 解析设点 D 为 AB 的中点,连接 PD(图略). ∵𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ =2𝑃𝐷⃗⃗⃗ =- 1 2 𝑃𝐶⃗⃗ , ∴𝑃𝐷⃗⃗⃗ =- 1 4 𝑃𝐶⃗⃗ ,∴点 P 为 CD 的五等分点, ∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1 5 . 5.(多选题)点 O 在△ABC 所在的平面内,则以下说法正确的有( ). A.若𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ =0,则点 O 为△ABC 的重心 B.若𝑂𝐴⃗⃗⃗ · ( 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | - 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | ) = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ( 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | - 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | )=0,则点 O 为△ABC 的垂心 C.若(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ )·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ )·𝐵𝐶⃗⃗⃗ =0,则点 O 为△ABC 的外心 D.若𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ · 𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,则点 O 为△ABC 的内心 答案 AC 解析选项 A,设点 D 为 BC 的中点,由于𝑂𝐴⃗⃗⃗ =-(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝑂𝐶⃗⃗ )=-2𝑂𝐷⃗⃗ ,所以点 O 为 BC 边上中线的 三等分点(靠近点 D),所以点 O 为△ABC 的重心. 选项 B,向量 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | 分别表示在边 AC 和 AB 上取单位向量𝐴𝐶⃗⃗ ⃗ '和𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ',记它们的差是向量𝐵⃗⃗'⃗𝐶⃗ ', 则当𝑂𝐴⃗⃗⃗ · ( 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | - 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | )=0,即 OA⊥B'C'时,点 O 在∠BAC 的平分线上,同理由𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ( 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | - 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | )=0, 知点 O 在∠ABC 的平分线上,故点 O 为△ABC 的内心
选项C,(OA+0丽)AB=0,表示以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直，则这个 平行四边形是菱形，即OA=OB1,同理有OE1=OC,于是，点O为△4BC的外心. 选项D,由0A·0元=0元.0C,得0A.0元-0元.0C-0, .0元(0A-0)=0,即0元.CA=0, .:0元1CA 同理可证OA⊥CB,O元⊥AB. .:OB⊥CA,OA⊥CB,OCLAB,即点O是△ABC的垂心.故选AC. 6.在等腰直角三角形ABC中，∠ABC-90°，AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点（点M,N不 与点A,C重合)，且满足M1=√Z,则BM.B的取值范围为 靥刻服2) 解桐不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,分别以等腰直角三角形ABC的直角边所在的直线 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y 2-0(0≤x≤2) B(O) 设Ma,2-a),N(a+1,1-a0<a<1),所以BM=(a,2-a,BN=(a+1,1-a),所以BM·BN=a(a+1)+(2- o1-a)-2r-2a+2=2(a》+2又0<a<1,所以由二次函数的知识可得B丽.丽∈层2 7.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2DC2,求证：AD⊥BC 证明设A正=a,AC=b,A而=e,DB=c,DC=d,则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2,又已知a2-b2=c2-dP,所以ec=ed, 即e(c-d)=0,得AD.CB=0, 所以AD⊥BC 挑战创新 在Rt△ABC中，∠C-90°，BC=4,AC=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值. D (1) 解方法一：如图(I),在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别是BC,4C边的中点，BC=4,4AC=6 则CD=2,CE=3,所以AD1=VAC2+CD2-2V10,BE=VBC2+CE2=5,AD.EB=(AC+ C)(EC+CE)=AC.EC+AC.CB+C而.EC+CD.CB=6×3+0+0+2×4-26
选项 C,(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ )·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0,表示以 OA,OB 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直,则这个 平行四边形是菱形,即|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |,同理有|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=|⃗𝑂𝐶⃗⃗ |,于是点 O 为△ABC 的外心. 选项 D,由𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,得𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ =0, ∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ·(𝑂𝐴⃗⃗⃗ − ⃗𝑂𝐶⃗⃗ )=0,即𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · 𝐶𝐴⃗⃗ =0, ∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐶𝐴⃗⃗ . 同理可证𝑂𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝐶𝐵⃗⃗⃗ , ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ . ∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点 O 是△ABC 的垂心.故选 AC. 6.在等腰直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N 为 AC 边上的两个动点(点 M,N 不 与点 A,C 重合),且满足|𝑀𝑁⃗⃗⃗ |=√2,则𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ 的取值范围为____________. 答案[ 3 2 ,2) 解析不妨设点 M 靠近点 A,点 N 靠近点 C,分别以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在的直线 为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段 AC 的方程为 x+y- 2=0(0≤x≤2). 设 M(a,2-a),N(a+1,1-a)(0<a<1),所以𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ =(a,2-a),𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ =(a+1,1-a),所以𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ =a(a+1)+(2- a)(1-a)=2a 2 -2a+2=2(𝑎- 1 2 ) 2 + 3 2 ,又 0<a<1,所以由二次函数的知识可得𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ ∈ [ 3 2 ,2). 7.如图所示,若 D 是△ABC 内的一点,且 AB2 -AC2=DB2 -DC2 ,求证:AD⊥BC. 证明设𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =e,𝐷𝐵⃗ ⃗ =c,𝐷𝐶⃗⃗⃗ =d,则 a=e+c,b=e+d, 所以 a 2 -b 2=(e+c) 2 -(e+d) 2=c2+2e·c-2e·d-d 2 ,又已知 a 2 -b 2=c 2 -d 2 ,所以 e·c=e·d, 即 e·(c-d)=0,得𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐶𝐵⃗⃗⃗ =0, 所以 AD⊥BC. 挑战创新 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值. (1) 解方法一:如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D,E 分别是 BC,AC 边的中点,BC=4,AC=6. 则 CD=2,CE=3,所以|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=√𝐴𝐶2 + 𝐶𝐷2=2√10,|𝐵𝐸⃗⃗⃗ |=√𝐵𝐶2 + 𝐶𝐸2=5,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐸𝐵⃗⃗⃗ =(𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ )·(𝐸𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ )=𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐸𝐶⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐶𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ · 𝐸𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ · 𝐶𝐵⃗⃗⃗ =6×3+0+0+2×4=26
设AD与EB的夹角为O, 则s需-流西 50 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为13画 50 (2) 方法二：如图(2)所示，以点C为坐标原点，CB,C石的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直 角坐标系 其中点A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则AD=(2,-6),EB=(4,-3),所以AD.EE=2×4+(-6)×( 3)=26,1AD1=22+(-6)2-2V而，EE=42+(-3}=5. 设AD与EB的夹角为0， 则cos0-而亚 9票=总 50 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为13V画 50
设𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 与𝐸𝐵⃗⃗⃗ 的夹角为 θ, 则 cos θ= 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = 26 2√10×5 = 13√10 50 . 故直线 AD 与 BE 所夹的锐角的余弦值为13√10 50 . (2) 方法二:如图(2)所示,以点 C 为坐标原点,𝐶𝐵⃗⃗⃗ , 𝐶𝐴⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴正方向建立平面直 角坐标系. 其中点 A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(2,-6),𝐸𝐵⃗⃗⃗ =(4,-3),所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐸𝐵⃗⃗⃗ =2×4+(-6)×(- 3)=26,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=√2 2 + (-6) 2=2√10,|𝐸𝐵⃗⃗⃗ |=√4 2 + (-3) 2=5. 设𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 与𝐸𝐵⃗⃗⃗ 的夹角为 θ, 则 cos θ= 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = 26 2√10×5 = 13√10 50 . 故直线 AD 与 BE 所夹的锐角的余弦值为13√10 50