第1课时余弦定理 课后·训练提升 基础巩固 1.在△ABC中，己知a=2,则bcos C+ccos B等于(). A.1 B.v2 C.2 D.4 答案c 解折oC+cosB=h心22e正+2-地-2g。 2ab 2ca =2a-0-2 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a-V7,b=3,c=2,则A=(). A.30 B.45 C.60° D.90° 答案C 解析：a=√7，b-3,c-2, 油余弦定理得m4-装品=又0”180”M0~故造C 2bc 3在△1BC中，若a=8b=7,cosC-是则最大角的余弦值是() A月 B名 c月 D 含案 解桐由余弦定理，得2-r+-2abc0sC=82+7-2×8×7×是-9， 所以C=3,故角A为△ABC的最大角 所以4g 4在△4BC中，角AB.C的对边分别为abc若二，0，则△MBC 2ab ） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 答案 解析由2- ->0.得-cosC>0.所以cosC<0.从而C为钝角.因此△ABC一定是钝角三角形 2ab 5.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°，则ab的值为(). A等 B.8-4v3 c.1 D 含案A 解析由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,又由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcos C=2 abcos60°=ab, 故ab+2ab=4,得ab- 6.在锐角三角形ABC中，若b=1,c=2,则a的取值范围是(). A.1<a<3 B.1<a<5 C.V3<a<5 D.不确定
第 1 课时 余弦定理 课后· 基础巩固 1.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于( ). A.1 B.√2 C.2 D.4 答案 C 解析 bcos C+ccos B=b· 𝑎 2+𝑏 2 -𝑐 2 2𝑎𝑏 +c· 𝑐 2+𝑎 2 -𝑏 2 2𝑐𝑎 = 2𝑎 2 2𝑎 =a=2. 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=√7,b=3,c=2,则 A=( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C 解析∵a=√7,b=3,c=2, ∴由余弦定理,得 cos A=𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 = 9+4-7 2×3×2 = 1 2 .又 0°0,则△ABC( ). A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 答案 C 解析由 𝑐 2 -𝑎 2 -𝑏 2 2𝑎𝑏 >0,得-cos C>0,所以 cos C<0,从而 C 为钝角,因此△ABC 一定是钝角三角形. 5.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) 2 -c 2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( ). A. 4 3 B.8-4√3 C.1 D. 2 3 答案 A 解析由(a+b) 2 -c 2=4,得 a 2+b2 -c 2+2ab=4,又由余弦定理得 a 2+b2 -c 2=2abcos C=2abcos 60°=ab, 故 ab+2ab=4,得 ab=4 3 . 6.在锐角三角形 ABC 中,若 b=1,c=2,则 a 的取值范围是( ). A.1<a<3 B.1<a<5 C.√3<a<√5 D.不确定
案c 解析若a为最大边，则b2+c2-a2>0,即a2c2,即a2>3, .:V3<a≤2.故V3<a<V5. 7.己知a,b,c为△4BC的三边，B=120°，则a2+c2+acb2= 答案b 解析：b=d2+c2-2 accos B=2+c2-2 accos120°=a2+c2+ac,:ad2+c2+ac-b2-0. 8在△ABC中，若b=1,c=V3,C-牙则a= 答案1 解杨：C2-d+2-2 abcosC, .(3)-d+1-2ax1xcos 即ad2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去)】 .a=1 9.在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=则b= 含案 解标国为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理，得-2+c2-2acc0sB,即2=4+(7-b2-2×2×(7-b)×( 引)，解得6=4 10.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b. ☒在△ABC中，：A+C-2B,A+B+C=180°， .1B=60° 由余弦定理，得P=a2+c2-2ac0sB-(a+c-2ac2acc0sB=82-2×15-2x15x19, .:b=V19. 11.在△ABC中，己知BC-7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长 圈由余弦定理的粮论，得0s4C--号设所求的中线长为飞由余弦定理 2AB·AC 2×9×8 知-(9)+AB2-2些ABc0sA-4+9-2×4×9×径-49，则x=7所以所求中线长为7 拓展提高 1.在△4BC中，若(ad2+c2-b2)tanB=√3ac,则角B的值为( A号 B c号或号 D或号 答案D 解析：(a2+c2-b2)tanB=V3ac, :+c2h2 mB-号 即cos B-tanB=sinB-图 2
答案 C 解析若 a 为最大边,则 b 2+c2 -a 2>0,即 a 2c2 ,即 a 2>3, ∴√3<a≤2.故√3<a<√5. 7.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120°,则 a 2+c2+ac-b 2= . 答案 0 解析∵b 2=a2+c2 -2accos B=a2+c2 -2accos 120°=a2+c2+ac,∴a 2+c2+ac-b 2=0. 8.在△ABC 中,若 b=1,c=√3,C=2π 3 ,则 a= . 答案 1 解析∵c 2=a2+b2 -2abcos C, ∴(√3) 2=a2+1 2 -2a×1×cos 2π 3 , 即 a 2+a-2=0,解得 a=1 或 a=-2(舍去). ∴a=1. 9.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- 1 4 ,则 b= . 答案 4 解析因为 b+c=7,所以 c=7-b.由余弦定理,得 b 2=a2+c2 -2accos B,即 b 2=4+(7-b) 2 -2×2×(7-b)×(- 1 4 ),解得 b=4. 10.在△ABC 中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b. 解在△ABC 中,∵A+C=2B,A+B+C=180°, ∴B=60°. 由余弦定理,得 b 2=a2+c2 -2accos B=(a+c) 2 -2ac-2accos B=8 2 -2×15-2×15× 1 2 =19. ∴b=√19. 11.在△ABC 中,已知 BC=7,AC=8,AB=9,试求 AC 边上的中线长. 解由余弦定理的推论,得 cos A=𝐴𝐵 2+𝐴𝐶 2 -𝐵𝐶 2 2·𝐴𝐵·𝐴𝐶 = 9 2+8 2 -7 2 2×9×8 = 2 3 ,设所求的中线长为 x,由余弦定理, 知 x 2=( 𝐴𝐶 2 ) 2 +AB2 -2· 𝐴𝐶 2 ·AB·cos A=4 2+9 2 -2×4×9× 2 3 =49,则 x=7.所以所求中线长为 7. 拓展提高 1.在△ABC 中,若(a 2+c2 -b 2 )tan B=√3ac,则角 B 的值为( ). A. π 6 B. π 3 C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 答案 D 解析∵(a 2+c2 -b 2 )tan B=√3ac, ∴ 𝑎 2+𝑐 2 -𝑏 2 2𝑎𝑐 ·tan B=√3 2 , 即 cos B·tan B=sin B=√3 2
:B∈(0，：角B的值为号或号 2在△MBC中，sin学=尝则△ABC的形状为 2 A等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 答案B 解韧：sin9=上94=兰：cos4=长c整理得d心+b2-心2，符合勾股定理， 2 2c' 2bc .:△ABC为直角三角形 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为ah,c若a=2,c=2W3.cosA则b=(） A.2或4 B.2 C.4 D.22 答案A 解析由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccos A, .:4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0, ,:b=2或b=4. 4.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且b2=aC,则B的取值范围是( A(0, B店可 c(o别 D店可 答案A 图团-ac0sB-g-驶+之2克 2ac 2ac 又B是△ABC的内角，：B∈(0，引 5.已知△ABC为钝角三角形，a=3,b=4,c=x,则x的取值范围是 靥案1，V7)U(5,7) 解若4，则角C为轮角，cosC=2+=0,且x3+4=7,54. 2ac 2×3×x :1<x<V7 .x的取值范围是(1，V7U(5,7). 6.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2V3x+2=0的两根，2cos(A+B)=1,则角C的度数 为 ,AB的长为 含案 V10 解韧：cosC-c0s[π-(4+B]=-cos4+B)=2且C∈(0，，：C- :a,b是方程x2-2v3x+2=0的两根， :+b=2v3 (ab 2. ..AB-b+d-2abco-a+b)-ab-10
∵B∈(0,π),∴角 B 的值为π 3 或 2π 3 . 2.在△ABC 中,sin2𝐴 2 = 𝑐-𝑏 2𝑐 ,则△ABC 的形状为( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 答案 B 解析∵sin2𝐴 2 = 1-cos𝐴 2 = 𝑐-𝑏 2𝑐 ,∴cos A=𝑏 𝑐 = 𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 ,整理得 a 2+b2=c2 ,符合勾股定理, ∴△ABC 为直角三角形. 3.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=2√3,cos A=√3 2 ,则 b=( ). A.2 或 4 B.2 C.4 D.2√2 答案 A 解析由余弦定理,得 a 2=b2+c2 -2bccos A, ∴4=b2+12-6b,即 b 2 -6b+8=0, ∴b=2 或 b=4. 4.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 b 2=ac,则 B 的取值范围是( ). A.(0, π 3 ] B.[ π 3 ,π) C.(0, π 6 ] D.[ π 6 ,π) 答案 A 解析∵b 2=ac,∴cos B=𝑎 2+𝑐 2 -𝑏 2 2𝑎𝑐 = (𝑎-𝑐) 2+𝑎𝑐 2𝑎𝑐 = (𝑎-𝑐) 2 2𝑎𝑐 + 1 2 ≥ 1 2 , 又 B 是△ABC 的内角,∴B∈(0, π 3 ]. 5.已知△ABC 为钝角三角形,a=3,b=4,c=x,则 x 的取值范围是 . 答案(1,√7)∪(5,7) 解析若 x>4,则角 C 为钝角,∴cos C=𝑎 2+𝑏 2 -𝑐 2 2𝑎𝑏 = 3 2+4 2 -𝑥 2 2×3×4 4, ∴1<x<√7. ∴x 的取值范围是(1,√7)∪(5,7). 6.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x 2 -2√3x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1,则角 C 的度数 为 ,AB 的长为 . 答案2π 3 √10 解析∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- 1 2 ,且 C∈(0,π),∴C=2π 3 . ∵a,b 是方程 x 2 -2√3x+2=0 的两根, ∴{ 𝑎 + 𝑏 = 2√3, 𝑎𝑏 = 2, ∴AB2=b2+a2 -2abcos 2π 3 =(a+b) 2 -ab=10
:AB-V10. 7在△1BC中，a,b.c分别为角4，B,C的对边，4sim学cos2A号 (1)求角A的度数 (2)若a=V3,b+c=3,求b和c的值 ☒1)由4sin长c0s243及A+B+C-180°，得2[1-0B+C91-2c0s3A+1号 整理得4(1+cosA)-4cos2A=5, 即4c0s2A-4c0sA+1-0,解得c0sA之 :0°<A<180°，：A=60°. (2)由余弦定理，得c0sA b2+c2.a2 2bc os4月 =化简并整理得b+o-r-3bc.3(=6c即6c-2 2bc 6+523懈代二子支化=子 bc=2, 挑战创新 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=2+c2-ac.求： (1)角B的大小： (2)sinA+sinC的取值范围. 解1)：-d2+c2-ac, .:a+c-b2-ac, iosB24=方 2ac 又B∈(0，，：B (2)sin 4+sin C-sin 4+sin(d+B)-sin 4+sin(insin() A∈094+培∈凭，0 .sin(4+9∈(， :v3sinA+3∈停，V sinA+sinC的取值范国是（停.V③
∴AB=√10. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,4sin2𝐵+𝐶 2 -cos 2A=7 2 . (1)求角 A 的度数; (2)若 a=√3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 解(1)由 4sin2𝐵+𝐶 2 -cos 2A=7 2及 A+B+C=180°,得 2[1-cos(B+C)]-2cos2A+1= 7 2 , 整理得 4(1+cos A)-4cos2A=5, 即 4cos2A-4cos A+1=0,解得 cos A=1 2 . ∵0°<A<180°,∴A=60°. (2)由余弦定理,得 cos A=𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 . ∵cos A=1 2 , ∴ 𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 = 1 2 ,化简并整理,得(b+c) 2 -a 2=3bc,∴3 2 -(√3) 2=3bc,即 bc=2. 由{ 𝑏 + 𝑐 = 3, 𝑏𝑐 = 2, 解得{ 𝑏 = 1, 𝑐 = 2 或{ 𝑏 = 2, 𝑐 = 1. 挑战创新 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b 2=a2+c2 -ac.求: (1)角 B 的大小; (2)sin A+sin C 的取值范围. 解(1)∵b 2=a2+c2 -ac, ∴a 2+c2 -b 2=ac, ∴cos B=𝑎 2+𝑐 2 -𝑏 2 2𝑎𝑐 = 1 2 . 又 B∈(0,π),∴B=π 3 . (2)sin A+sin C=sin A+sin(A+B)=sin A+sin(A+π 3 )= 3 2 sin A+√3 2 cos A=√3sin(A+π 6 ). ∵A∈(0,2π 3 ),∴A+π 6 ∈( π 6 , 5π 6 ), ∴sin(A+π 6 )∈( 1 2 ,1], ∴√3sin(A+π 6 )∈( √3 2 ,√3]. ∴sin A+sin C 的取值范围是( √3 2 , √3]