《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章平面向量及其应用_6.2.1 向量的加法运算.docx_大学文库

6.2.1 向量的加法运算课后· 基础巩固 1.(多选题)下列各式中一定成立的是( ). A.a+b=b+a B.0+a=a C.𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ D.|a+b|=|a|+|b| 答案 ABC 解析因为 A,B,C 项满足运算律及运算法则,所以一定成立.而 D 项不一定成立,因为 |a+b|≤|a|+|b|,只有当 a,b 同向时等号才成立. 2.对于任意一个四边形 ABCD,下列式子不能化简为𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的是( ). A.𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ B.𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ C.𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ D.𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 答案 C 解析在 A 中,𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ;在 B 中,𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ;在 C 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ ;在 D 中,𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ . 3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗ 等于( ). A.0 B.𝐵𝐸⃗⃗⃗ C.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ D.𝐶𝐹⃗⃗ 答案 D 解析𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗ = 𝐶𝐹⃗⃗ . 4.(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ )+(𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A.𝐵𝐶⃗⃗⃗ B.𝐴𝐵⃗⃗⃗ C.𝐴𝐶⃗⃗ D.𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ 答案 C 解析原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ =(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ )+(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ )=𝐴𝐶⃗⃗ +0=𝐴𝐶⃗⃗ . 5.已知平行四边形 ABCD,设𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =a,且 b 是一非零向量,则下列结论:①a∥b; ②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( ). A.①③ B.②③ C.②④ D.①② 答案 A 解析∵在平行四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =0,𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =0,∴a 为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③中的结论正确,②④中的结论错误. 6.在平行四边形 ABCD 中,若|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,则四边形 ABCD 是 . 答案矩形解析∵|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |,|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ |,且|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,∴|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ |. 又四边形 ABCD 是平行四边形, ∴四边形 ABCD 是矩形

7.如图所示,若点 P 为△ABC 的外心,且𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗ ,则∠ACB= . 答案 120° 解析因为𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗ ,所以四边形 APBC 是平行四边形.因为点 P 为△ABC 的外心,所以 PA=PB=PC.所以四边形 PACB 是菱形,且△PAC 与△PBC 是全等的等边三角形.所以∠ ACB=120°. 8.已知在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=1,则|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |= . 答案 1 解析在△ABD 中,AD=AB=1,∠DAB=60°, 则 BD=1,则|𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=1. 9.已知正方形 ABCD 的边长为 1,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =c,则|a+b+c|= . 答案 2√2 解析因为正方形 ABCD 的边长为 1,所以 AC=√2,所以|a+b+c|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ |=2|𝐴𝐶⃗⃗ |=2√2. 10.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,P 为平面内任意一点. 求证:𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗ =4𝑃𝑂⃗⃗⃗ . 证明∵𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗ = 𝑃𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑂⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ + 𝑃𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ =4𝑃𝑂⃗⃗⃗ +(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝑂𝐶⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ )=4𝑃𝑂⃗⃗⃗ +(𝑂𝐴⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ )+(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ )=4𝑃𝑂⃗⃗⃗ +0+0=4𝑃𝑂⃗⃗⃗ , ∴𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗ =4𝑃𝑂⃗⃗⃗ . 11.如图(1)(2),已知向量 a,b,c,求作向量 a+b 和 a+b+c. 解(1)作法:在平面内任取一点 O,作𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =b,则𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =a+b. (2)在平面内任意取一点 O,作𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =c,𝐶𝐴⃗⃗ =a,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a+b+c

拓展提高 1.(多选题)向量 a,b 均为非零向量,下列说法中正确的是( ). A.若向量 a 与 b 反向,且|a|>|b|,则向量 a+b 的方向与 a 的方向相同 B.若向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|,则向量 a+b 的方向与 a 的方向相同 C.若向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 的方向与 a 的方向相同 D.若向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 的方向与 b 的方向相同答案 ACD 解析当向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|时,向量 a+b 的方向与 b 的方向相同,只有 B 项说法错误,A,C,D 项中的说法都正确. 2.(多选题)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则下列等式成立的是( ). A.𝐹𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ =0 B.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗ =0 C.𝐹⃗⃗⃗𝐷 + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ D.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐶⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ 答案 ABC 解析𝐹𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ =0,故 A 中等式成立;𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗ + 𝐹𝐴⃗⃗⃗ =0,故 B 中等式成立;𝐹𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐸⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,故 C 中等式成立;𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐶⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ +0=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ ≠ 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,故 D 中等式不成立. 3.若在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是( ). A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形答案 D 解析因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|a|=1,|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|b|=1,|𝐴𝐶⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.故选 D. 4.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,满足𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗ ,则下列结论正确的是 ( ). A.点 P 在△ABC 的内部 B.点 P 在△ABC 的边 AB 上 C.点 P 在 AB 边所在的直线上 D.点 P 在△ABC 的外部答案 D 解析𝑃𝐴⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗ ,根据平行四边形法则,如图所示,可知点 P 在△ABC 的外部. 5.已知点 G 是△ABC 的重心,则𝐺𝐴⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗ = . 答案 0 解析如图,延长 AG 交 BC 于点 E,则点 E 为 BC 的中点,延长 GE 到点 D,使 GE=ED,则𝐺𝐵⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗ = 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ ,𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗ =0,故𝐺𝐴⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗ =0

《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章 平面向量及其应用_6.2.1 向量的加法运算

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