全程设计 2.向量的数量积与三角恒等变换
2.向量的数量积与三角恒等变换
梳理•构建体系 归纳核心突破 高考体验
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导航 梳理•构建体系 知识网络 r定义：a,b为非零向量，ab=abcose8(8为a,b的夹角) 性质a⊥b=ab=0:a.b同向.ab=labl:a,b反向， ab -la b 运算律：ab=ba,(aa)b=a(b).(a+b)c=ac+bc 向量的数量积 向量的模：设a=(xy),则a=√x2+y2 a =(x1.y1).b=(x2.y2).cos a.b > x1x2+yy2 好+号+ 向量的数量积与三角恒等变换 ab =x1x2 +yy2 (两角和差的余弦：cos(a士B)=cosacosB干sinasinB 和差角公式 两角和差的正弦：sin(a±B)=sinacosB±cosasin吗 两角和差的正切tan(a士)= tana士tanf 1干tanatanβ T倍角的正弦、余弦、正切：sin2a=2 sinacosa, cos2a cos2a-sin2a 2cos2a-1 1-2sin2a. 三角恒等变换 倍半角公式 2tana tanZa 1-tan2a 半角的正弦、余弦、正切 和差与积互化 和差化积 积化和差 辅助角公式：asinx+bcosx=a2+bsin(x+p),其中tanp=a
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导航 要点梳理 1两个向量夹角的范围是什么？ 提示：0s≤元 2.两个向量a,b的数量积的几何意义是什么？ 提示：两个非零向量a,b的数量积ab,等于a(或b)在向量b(或a) 上的投影的数量与b(或a)的模的乘积. 3.两向量垂直的坐标表示是怎样的？ 提示：若a=(c1y1),b=(x2y2),则a⊥b白x12+yy2=0
导航 要点梳理 1.两个向量夹角的范围是什么? 提示:0≤≤π. 2.两个向量a,b的数量积的几何意义是什么? 提示:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a(或b)在向量b(或a) 上的投影的数量与b(或a)的模的乘积. 3.两向量垂直的坐标表示是怎样的? 提示:若a=(x1 ,y1),b=(x2 ,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
4.三角变换中的两角和与差的三角函数、二倍角、半角的三 角函数及和积互化公式之间是怎样的关系？请完成下图表， tan 2a= ① a=B tan(a±β)= ② 相除 相除 cos 2a ③ Sa-B 提示：① 2tana ④ a=B ② tana±tanβ 1-tan2a 1千tanatanβ ⑤ ③cos2a-sin2a ④2c0s2a-1 ⑤1-2sin2a sin 2a= ⑥ ⑥2 sin acos a 移项 相加减 ⑦2cos2号®2sin9 积化和差公式 sina 1+cosC=】 ⑦ ⑨ ⑩1-cosa A=a+B 1+c0s0 sina 1-cosa= ⑧ B=a-B 和差化积公式 变形 sin气-± a 1-cosa 1-cosa 2 相除 1+cosa cos 2 =士 1+cosa ⑨ 0 2
导航 4.三角变换中的两角和与差的三角函数、二倍角、半角的三 角函数及和积互化公式之间是怎样的关系?请完成下图表
【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错 误的画“X” (1)a与b的数量积不可能是一个向量.( (2)当ab=0时，a,b中至少有一个是0.( (3)存在与任何向量都平行的向量，也存在与任何向量都垂直 的向量.( (4)a(bc)是一个实数.() (⑤)cos(a+f)=cos acos B+sin asin p.()）
导航 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√” ,错 误的画“×” . (1)a与b的数量积不可能是一个向量.( √ ) (2)当a·b=0时,a,b中至少有一个是0.( × ) (3)存在与任何向量都平行的向量,也存在与任何向量都垂直 的向量.( √ ) (4)a(b·c)是一个实数.( × ) (5)cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β.( × )
导航 1+c0s O (6)cos2a= 2 ()an= ina 1-cosa (8=3sin(2x+)+4cos(2x+)可以取到最大值7.( )
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导航 归纳核心突破 专题整合 专题一向量的数量积 【例1】已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)L(2a+b), 求a,b的夹角的余弦值. 分析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)列出方程组→求出|a2, b2,ab的关系→利用夹角公式可求
导航 归纳•核心突破 专题整合 专题一 向量的数量积 【例1】 已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b), 求a,b的夹角的余弦值. 分析:由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)列出方程组→求出|a|2 , |b|2 ,a·b的关系→利用夹角公式可求
导航 解：由 2la2-lb12+ab=0, 2|a2-2b12-3ab=0, 解得 a=-a-b, 5 b12=-4ab, 所以alb=-V10ab, 设a与b的夹角为0， 则cos0=a-b _V10 1ab10
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导 反思感悟 1.求两个向量的夹角主要利用两个公式： 0cos0 ab 求解的前提是求出这两个向量的数量积和模 os气+A+呢 x2+y12一，求解的前提是求出两个向量的坐标. 2.解决垂直问题，其关键在于将问题转化为向量的数量积为零， 与求夹角一样，若向量能用坐标表示，则将它转化为 “x心2yy2=0”较为简单
导航 反思感悟 1.求两个向量的夹角主要利用两个公式: 2.解决垂直问题,其关键在于将问题转化为向量的数量积为零, 与求夹角一样,若向量能用坐标表示,则将它转化为 “x1x2+y1y2=0”较为简单