3.3 函数的应用（一） 课后·训练提升 基础巩固 1某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象 如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是() ↑收入元 1300 800 0 12销售量x万件 A.3100元 B.3000元 C.2900元 D.2800元 解析：由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y=ar+b,将(1,8000)，(2,13000) 代入得 a=5000,b=3000 当销售量x=0时，y=3000 答案B 2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车3元 辆，普通自行车2元辆若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y 与x的函数解析式为( A.y=2x(0≤x≤4000) B.y=5x0≤x≤4000) C.y=-x+12000(0≤x≤4000) Dy=x+12000(0≤x≤4000) 解析：由题意，得y=3(4000-x)+2x=-x+12000. 答案：C 3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 4x,1≤x≤10，x∈N+ y= 2x+10,1010,不合题意；若2x+10=60,则x=25,满足题意；若1.5x=60, 则x=40<100,不合题意.故该公司拟录用25人. 答案C
3.3 函数的应用(一) 课后· 基础巩固 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象 如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( ) A.3 100 元 B.3 000 元 C.2 900 元 D.2 800 元 解析:由题意可知,收入 y 是销售量 x 的一次函数,设 y=ax+b,将(1,8 000),(2,13 000) 代入得 a=5 000,b=3 000. 当销售量 x=0 时,y=3 000. 答案:B 2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次,存车费为:电动自行车 3 元/ 辆,普通自行车 2 元/辆.若该天普通自行车存车 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 与 x 的函数解析式为( ) A.y=2x(0≤x≤4 000) B.y=5x(0≤x≤4 000) C.y=-x+12 000(0≤x≤4 000) D.y=x+12 000(0≤x≤4 000) 解析:由题意,得 y=3(4 000-x)+2x=-x+12 000. 答案:C 3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y={ 4𝑥,1 ≤ 𝑥 ≤ 10,𝑥∈N+, 2𝑥 + 10,10 10,不合题意;若 2x+10=60,则 x=25,满足题意;若 1.5x=60, 则 x=40<100,不合题意.故该公司拟录用 25 人. 答案:C
4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元饮，一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x= 解析：总运费与总存储费用之和为 fx)=4x+400x4=4r+1600≥2 4x1600-160 当且仅当4x=即x=20时)最小 答案20 5.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位，成本 就增加1万元又知总收入R(单位：万元)是单位产量Q的函数RQ)=40Q2,则 总利润L(Q)的最大值是 万元，这时产品的生产数量为 (总 利润=总收入-成本) 解析：L(@)=40Q2200+Q)=aQ-300P+250, 当Q=300时，总利润L(Q)取最大值250万元， 答案250300 6.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票数x(0≤x≤600)张之间的关系如图所 示，试问当盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？ 元 2000 1750 1500 1000 500 0100200300400500600x/张 解：根据题意，得每天的盈利额y与售出的门票张数x之间的函数解析式是 -日25466400<x≤60 ①当0≤x≤400时，由3.75x=750,得x=200 ②当400<x≤600时，由1.25x+1000=750, 得x=-200(舍去) 综合①和②，当盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张 7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示 销售单 10 12 价元 日均销售 量桶 480 440 400 360 320 280 240
4.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总 存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x= . 解析:总运费与总存储费用之和为 f(x)=4x+400 𝑥 ×4=4x+1 600 𝑥 ≥2 √4𝑥· 1 600 𝑥 =160, 当且仅当 4x= 1 600 𝑥 ,即 x=20 时,f(x)最小. 答案:20 5.某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,并且生产量每增加一个单位,成本 就增加 1 万元.又知总收入 R(单位:万元)是单位产量 Q 的函数:R(Q)=4Q- 1 200 Q2 ,则 总利润 L(Q)的最大值是 万元,这时产品的生产数量为 .(总 利润=总收入-成本) 解析:L(Q)=4Q- 1 200 Q2 -(200+Q)=- 1 200 (Q-300)2+250, 当 Q=300 时,总利润 L(Q)取最大值 250 万元. 答案:250 300 6.某游乐场每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x(0≤x≤600)张之间的关系如图所 示,试问当盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为多少? 解:根据题意,得每天的盈利额 y 与售出的门票张数 x 之间的函数解析式是 y={ 3.75𝑥,0 ≤ 𝑥 ≤ 400, 1.25𝑥 + 1 000,400 < 𝑥 ≤ 600. ①当 0≤x≤400 时,由 3.75x=750,得 x=200. ②当 400<x≤600 时,由 1.25x+1 000=750, 得 x=-200(舍去). 综合①和②,当盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为 200 张. 7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单 价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售 量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加 x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=520 40x(桶). 由x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得y=(520-40x)x-200=-40x2+520x 200,0<x<13. 易知，当x=6.5时y有最大值. 故这个经营部在进价的基础上增加65元才能获得最大利润. 拓展提高 1.某种电热水器的水箱盛满水是200L,加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分 钟放水34L,在放水的同时注水，tmin注水22L,当水箱内水量达到最小值时，放 水自动停止现假定每人洗浴用水5L,则该热水器一次至多可供洗澡的人数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 解析：水箱内的水量 y=200+22-341, 当=巴时y有最小值， 此时共放水34×=289L),可供4人洗澡 答案B 2.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m,两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m,如图所示，则大门的高约为 (水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( 6im A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m 解析：如图所示，建立平面直角坐标系，由题设条件知抛物线的方程为y=a2 设大门的高为hm,则点A的坐标为(4，h), 则C(3,3-h), 将这两点的坐标分别代入y=ax2, 可代他2 a=影 解 (h=号≈69 所以大门的高约为6.9m
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解:根据上表,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶.设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,而在此情况下的日均销售量为 480-40(x-1)=520- 40x(桶). 由 x>0,且 520-40x>0,即 0<x<13,于是可得 y=(520-40x)x-200=-40x 2 +520x- 200,0<x<13. 易知,当 x=6.5 时,y 有最大值. 故这个经营部在进价的基础上增加 6.5 元才能获得最大利润. 拓展提高 1.某种电热水器的水箱盛满水是 200 L,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分 钟放水 34 L,在放水的同时注水,t min 注水 2t 2 L,当水箱内水量达到最小值时,放 水自动停止.现假定每人洗浴用水 65 L,则该热水器一次至多可供洗澡的人数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:水箱内的水量 y=200+2t 2 -34t, 当 t=17 2 时,y 有最小值, 此时共放水 34× 17 2 =289(L),可供 4 人洗澡. 答案:B 2.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度为 8 m,两侧距地面 3 m 高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为 6 m,如图所示,则大门的高约为 (水泥建筑物厚度忽略不计,精确到 0.1 m)( ) A.6.9 m B.7.0 m C.7.1 m D.6.8 m 解析:如图所示,建立平面直角坐标系,由题设条件知抛物线的方程为 y=ax2 . 设大门的高为 h m,则点 A 的坐标为(4,-h), 则 C(3,3-h). 将这两点的坐标分别代入 y=ax2 , 可得{ -ℎ = 𝑎·4 2 , 3-ℎ = 𝑎·3 2 , 解得{ 𝑎 = - 3 7 , ℎ = 48 7 ≈ 6.9, 所以大门的高约为 6.9 m
答案A 3.用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙.要使矩形场地的 面积最大，则隔墙的长度为( A.3m B.4m C.6m D.12m 解析：如图所示，设隔墙长为xm, 则矩形的长为24虹=12-2xm 2 ∴.S移=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18. .当x=3时，矩形场地的面积最大 答案A 4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定 为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40 瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为 元瓶 解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元， 则y=(-3400+×40 =80(x-3)(9-x) =-80x-6)2+720(x≥3)， 所以当x=6时y取得最大值 答案：6 5.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架.已知矩形的一边长 为2x,则此框架围成的面积y与x的函数解析式为 2x 解析：AB=2x,∴.C=x,AD=2 -2x2严+学-（传+22+k 2x>0, 2严>0，解得0< 2
答案:A 3. 用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙.要使矩形场地的 面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m 解析:如图所示,设隔墙长为 x m, 则矩形的长为24-4𝑥 2 =12-2x(m). ∴S 矩形=x(12-2x)=-2x 2+12x=-2(x-3)2+18. ∴当 x=3 时,矩形场地的面积最大. 答案:A 4.某商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定 为每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若零售价每降低(升高)0.5 元,则可多(少)销售 40 瓶,在每月的进货当月销售完的前提下,为获得最大利润,销售价应定为 元/瓶. 解析:设销售价每瓶定为 x 元,利润为 y 元, 则 y=(x-3)(400 + 4-𝑥 0.5 × 40) =80(x-3)(9-x) =-80(x-6)2+720(x≥3), 所以当 x=6 时,y 取得最大值. 答案:6 5.如图,用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架.已知矩形的一边长 为 2x,则此框架围成的面积 y 与 x 的函数解析式为 . 解析:∵AB=2x,∴𝐶𝐷⏜ =πx,AD=𝑙-2𝑥-π𝑥 2 . ∴y=2x· 𝑙-2𝑥-π𝑥 2 + π𝑥 2 2 =-( π 2 + 2)x 2+lx. 由{ 2𝑥 > 0, 𝑙-2𝑥-π𝑥 2 > 0, 解得 0<x< 𝑙 π+2
故=-（任+22+k(0<x<本） 答案y=-(度+2)r2+(0<x<2) 6.某省每年损失耕地20万平方千米，每平方千米耕地价值24000元.为了减少耕 地损失，决定按耕地价格的%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少三万 平方千米.为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则1的 取值范围是 解析：由题意列不等式 24000×(20-)×%≥900， 即(20)≥9， 所以2-81+15≤0， 解得3≤≤5， 故当耕地占用税的税率为3%一5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年 不少于9000万元， 答案[3,5] 挑战创新 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是α m(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细.现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩 形的花圃ABCD,并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上.设BC=xm,此矩 形花圃的面积为ym2.写出y关于x的函数解析式，并求当BC为何值时，花圃面积 最大 m 解：由已知得AB=16-x, 则y=x(16-x)=-x2+16x 又x≥a,16-x≥4，∴.a≤x≤12 即y=-x2+16x,x∈[a,12] 由y=-(x-8)2+64的图象的对称轴为x=8, 又0<a<12 .当0<a≤8，x=8,即BC=8(m)时 max=64(m2); 当8<a<12时，y在区间[a,12]上单调递减， 当x=a, 即BC=a(m)时max=-a2+16a(m2)
故 y=-( π 2 + 2)x 2+lx(0 < 𝑥 < 𝑙 π+2 ). 答案:y=-( π 2 + 2)x 2+lx(0 < 𝑥 < 𝑙 π+2 ) 6.某省每年损失耕地 20 万平方千米,每平方千米耕地价值 24 000 元.为了减少耕 地损失,决定按耕地价格的 t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少5 2 t 万 平方千米.为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于 9 000 万元,则 t 的 取值范围是 . 解析:由题意列不等式 24 000×(20- 5 2 𝑡)×t%≥9 000, 即 24 100 (20- 5 2 𝑡)t≥9, 所以 t 2 -8t+15≤0, 解得 3≤t≤5, 故当耕地占用税的税率为 3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证此项税收一年 不少于 9 000 万元. 答案:[3,5] 挑战创新 如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12)、4 m,不考虑树的粗细.现在想用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩 形的花圃 ABCD,并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上.设 BC=x m,此矩 形花圃的面积为 y m2 .写出 y 关于 x 的函数解析式,并求当 BC 为何值时,花圃面积 最大. 解:由已知得 AB=16-x, 则 y=x(16-x)=-x 2+16x. 又 x≥a,16-x≥4,∴a≤x≤12, 即 y=-x 2+16x,x∈[a,12]. 由 y=-(x-8)2+64 的图象的对称轴为 x=8, 又 0<a<12, ∴当 0<a≤8,x=8,即 BC=8(m)时, ymax=64(m2 ); 当 8<a<12 时,y 在区间[a,12]上单调递减, 当 x=a, 即 BC=a(m)时,ymax=-a 2+16a(m2 )