3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 课后·训练提升 1.函数x)=2x2-3x+1的零点是() A21 B C4-1 D 解析：方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,2=所以函数x)=2x2-3x+1的零点是 答案B 2.下列图象表示的函数没有零点的是( 解析：因为B,C,D中的图象均与x轴有交点 所以函数均有零点；A中的图象与x轴没有交点，所以函数没有零点 答案：A 3.若函数y=x2-bx+1只有一个零点，则b的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.3 解析：因为函数只有一个零点，所以=b24=0, 解得b=±2. 答案：C 4.函数x)=x3-2x2+2x的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：令x)=0,得x3-2x2+2x=0, 即xx2-2x+2)=0. ,x2-2x+2=0无解 ∴x=0,∴x)的零点为0 答案B 5.若函数x)=x+a∈R)在区间(1,2)内有零点，则a的值可能是( A.-2 B.-1 C.0 D.3 解析x)=x+在区间(1,2)内有零点，即方程x+=0在区间(1,2)内有实根，则-4<a< 1,故选A
3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第 1 课时 函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 课后· 1.函数 f(x)=2x 2 -3x+1 的零点是( ) A.- 1 2 ,-1 B. 1 2 ,1 C. 1 2 ,-1 D.- 1 2 ,1 解析:方程 2x 2 -3x+1=0 的两根分别为 x1=1,x2= 1 2 ,所以函数 f(x)=2x 2 -3x+1 的零点是 1 2 ,1. 答案:B 2.下列图象表示的函数没有零点的是( ) 解析:因为 B,C,D 中的图象均与 x 轴有交点, 所以函数均有零点;A 中的图象与 x 轴没有交点,所以函数没有零点. 答案:A 3.若函数 y=x2 -bx+1 只有一个零点,则 b 的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.3 解析:因为函数只有一个零点,所以 Δ=b2 -4=0, 解得 b=±2. 答案:C 4.函数 f(x)=x3 -2x 2+2x 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:令 f(x)=0,得 x 3 -2x 2+2x=0, 即 x(x 2 -2x+2)=0. ∵x 2 -2x+2=0 无解, ∴x=0,∴f(x)的零点为 0. 答案:B 5.若函数 f(x)=x+𝑎 𝑥 (a∈R)在区间(1,2)内有零点,则 a 的值可能是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.3 解析:f(x)=x+𝑎 𝑥在区间(1,2)内有零点,即方程 x+𝑎 𝑥 =0 在区间(1,2)内有实根,则-4<a<- 1,故选 A
答案A 6.若二次函数x)=ar2+bx+c满足1)=0，且a>b>c,则该函数的零点个数为() A.1 B.2 C.0 D.不能确定 解析：由1)=0，得a+b+c=0. a>b>c,.a>0,c0 ∴.方程ax2+bx+c=0有两个不等实数根， ∴.函数x)=ax2+bx+c有两个零点 答案B 7.己知x)=(r-a)x-b)2,且aB是函数x)的两个零点，则实数a,b,uB的大小关系 可能是( A.a0,x=V互为函数x)的零点 综上，x)的零点为-3，V瓦. 答案：3，√2 9.若函数x)=2x2-ax+3有一个零点为则1)= 解析：因为函数x)=2x2-ar+3有一个零点为 所以2是方程2x2-r+3=0的一个根 则2×2-2+3=0， 解得a=5,所以x)=2r2-5x+3
答案:A 6.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(1)=0,且 a>b>c,则该函数的零点个数为( ) A.1 B.2 C.0 D.不能确定 解析:由 f(1)=0,得 a+b+c=0. ∵a>b>c,∴a>0,c0. ∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根, ∴函数 f(x)=ax2+bx+c 有两个零点. 答案:B 7.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,且 α,β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a,b,α,β 的大小关系 可能是( ) A.a 0 的零点为 . 解析:令 x 2+2x-3=0,得 x=1 或 x=-3, ∵x≤0,∴x=-3 是函数 f(x)的一个零点. 令-2+x2=0,得 x=±√2. ∵x>0,∴x=√2为函数 f(x)的零点. 综上,f(x)的零点为-3,√2. 答案:-3,√2 9.若函数 f(x)=2x 2 -ax+3 有一个零点为3 2 ,则 f(1)= . 解析:因为函数 f(x)=2x 2 -ax+3 有一个零点为3 2 , 所以3 2 是方程 2x 2 -ax+3=0 的一个根, 则 2× 9 4 − 3 2 a+3=0, 解得 a=5,所以 f(x)=2x 2 -5x+3
则1)=2-5+3=0. 答案0 10.己知函数x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点 是 解析由题意得方程心b=0的两根为23则十30解得66 {2×3=-b, 方程bx2--1=-6r2-5x1=0的根为号即为函数8x)的零点 答案片 11.己知x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，+∞)内的零点有1009个，则函数 x)的零点个数为 解析：因为x)是奇函数，所以0)=0，且在区间(0，+0)内的零点有1009个，所以 x)在区间(-0,0)内的零，点有1009个.故x)的零，点共有1009+1009+1=2 019(个). 答案：2019 12.己知关于x的方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围 是 解析：设x)=mxr2-x-1, ,方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一解，且当m=0时，方程-x-1=0在区间(0,1)内 无解， ∴.m≠0.由01)2. 答案：(2，+0) 13.已知函数x)=x2-br+3 (1)若0)=4)，求函数x)的零点； (2)若函数x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围 解(1)由0)=4)，得3=16-4b+3,解得b=4 所以x)=x2-4x+3.令x)=0, 得x24x+3=0,解得x=1或x=3 所以x)的零点是1和3. (2)因为x)的一个零，点大于1，另一个零点小于1， 所以x)的大致图象如图所示， 则需1)4. 故实数b的取值范围为(4，+∞)
则 f(1)=2-5+3=0. 答案:0 10.已知函数 f(x)=x2 -ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2 -ax-1 的零点 是 . 解析:由题意,得方程 x 2 -ax-b=0 的两根为 2,3,则{ 2 + 3 = 𝑎, 2 × 3 = -𝑏, 解得{ 𝑎 = 5, 𝑏 = -6, ∴方程 bx2 -ax-1=-6x 2 -5x-1=0 的根为- 1 2 ,- 1 3 ,即为函数 g(x)的零点. 答案:- 1 2 ,- 1 3 11.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在区间(0,+∞)内的零点有 1 009 个,则函数 f(x)的零点个数为 . 解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,且在区间(0,+∞)内的零点有 1 009 个,所以 f(x)在区间(-∞,0)内的零点有 1 009 个.故 f(x)的零点共有 1 009+1 009+1=2 019(个). 答案:2 019 12.已知关于 x 的方程 mx2 -x-1=0 在区间(0,1)内恰有一解,则实数 m 的取值范围 是 . 解析:设 f(x)=mx2 -x-1, ∵方程 mx2 -x-1=0 在区间(0,1)内恰有一解,且当 m=0 时,方程-x-1=0 在区间(0,1)内 无解, ∴m≠0.由 f(0)f(1)2. 答案:(2,+∞) 13.已知函数 f(x)=x2 -bx+3. (1)若 f(0)=f(4),求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x) 的一个零点大于 1,另一个零点小于 1,求实数 b 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=f(4),得 3=16-4b+3,解得 b=4, 所以 f(x)=x2 -4x+3.令 f(x)=0, 得 x 2 -4x+3=0,解得 x=1 或 x=3. 所以 f(x)的零点是 1 和 3. (2)因为 f(x)的一个零点大于 1,另一个零点小于 1, 所以 f(x)的大致图象如图所示, 则需 f(1)4. 故实数 b 的取值范围为(4,+∞)
14.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a为何值时： (1)方程的一根大于1，另一根小于1； (2)方程的一个根在区间(-1,1)内，另一个根在区间2,3)内： (3)方程的两个根都大于零？ 解(1)结合对应函数的图象知，当方程的一根大于1，另一根小于1时1)下0.由 1)0,得1-2+a0, (2)由方程一个根在区间(-1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得 f(1)0, /1+2+a>0, 即 1-2+a0, 解得-30, 得{-2>0， 2 f(0)>0, 解得0<a<1. 15.已知y=fx)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+o)时x)=x2-2x (1)求函数y=x)的解析式； (2)若方程x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围， 解(1)当x∈(-o,0)时，x∈(0，+o) y=x)是奇函数 ∴x)=-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x -20。 (2)当x∈[0，+oo)时x)=x2-2x=(x-1)21,最小值为-1； 当x∈(o,0)时x)=-x2-2x=1-(x+12,最大值为1. 据此可作出函数y=x)的图象，如图所示， 23 根据图象得，若方程x)=Q恰有3个不同的解 则a的取值范围是(-1,1)
14.已知关于 x 的方程 x 2 -2x+a=0.求当 a 为何值时: (1)方程的一根大于 1,另一根小于 1; (2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内; (3)方程的两个根都大于零? 解:(1)结合对应函数的图象知,当方程的一根大于 1,另一根小于 1 时,f(1) 0, 𝑓(1) 0, 即 { 1 + 2 + 𝑎 > 0, 1-2 + 𝑎 0, 解得-3 0, - -2 2 > 0, 𝑓(0) > 0, 解得 0<a<1. 15.已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2 -2x. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞). ∵y=f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x) 2 -2(-x)]=-x 2 -2x, ∴f(x)={ 𝑥 2 -2𝑥,𝑥 ≥ 0, -𝑥 2 -2𝑥,𝑥 < 0. (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2 -2x=(x-1)2 -1,最小值为-1; 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x 2 -2x=1-(x+1)2 ,最大值为 1. 据此可作出函数 y=f(x)的图象,如图所示, 根据图象得,若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解, 则 a 的取值范围是(-1,1)