2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数 的关系 课后·训练提升 1.方程x(x+3)=x+3的解是( ) A.x=0 B.x1=0,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=1X2=-3 解析：原方程可化为x2+2x-3=0,即(x+3)x-1)=0,解得x1=1,x2=-3. 答案D 2.一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析：，=(4)2-4×1×4=0， ∴.一元二次方程x24x+4=0有两个相等的实数根 答案B 3.若(a+b)(a+b+2)-8=0,则a+b的值为( A.4或2 B3或号 C.-2或4 D.3或-2 解析：设a+b=1,则由原方程，得(1+2)8=0，即(t+4)(-2)=0,解得t=-4或=2. 故a+b的值为-4或2. 答案：A 4.下列方程中解集为1-√2,1+√2的是() A.x2-1=3 B.(x+1)2=2 C.(x-1)2=2 D.(x-22=1 解析：方程x21=3变形，得x2=4,解得x=±2，故A错误； 开方，得x+1=±√2，解得x=-1±√2，故B错误； 开方，得x-1=±v2,解得x=1士v2,故C正确： 开方，得x-2=士1，解得x1=3,2=1,故D错误 答案C 5.若2是关于x的方程x2-c=0的一个根，则常数c等于() A.4 B.-4 C.±2 D.±4 解析：把x=2代入x2-c=0,得4-c=0,解得c=4
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数 的关系 课后· 1.方程 x(x+3)=x+3 的解是( ) A.x=0 B.x1=0,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=1,x2=-3 解析:原方程可化为 x 2+2x-3=0,即(x+3)(x-1)=0,解得 x1=1,x2=-3. 答案:D 2.一元二次方程 x 2 -4x+4=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析:∵Δ=(-4)2 -4×1×4=0, ∴一元二次方程 x 2 -4x+4=0 有两个相等的实数根. 答案:B 3.若(a+b)(a+b+2)-8=0,则 a+b 的值为( ) A.-4 或 2 B.3 或- 3 2 C.-2 或 4 D.3 或-2 解析:设 a+b=t,则由原方程,得 t(t+2)-8=0,即(t+4)(t-2)=0,解得 t=-4 或 t=2. 故 a+b 的值为-4 或 2. 答案:A 4.下列方程中,解集为{1-√2,1+√2}的是( ) A.x 2 -1=3 B.(x+1)2=2 C.(x-1)2=2 D.(x-2)2=1 解析:方程 x 2 -1=3 变形,得 x 2=4,解得 x=±2,故 A 错误; 开方,得 x+1=±√2,解得 x=-1±√2,故 B 错误; 开方,得 x-1=±√2,解得 x=1±√2,故 C 正确; 开方,得 x-2=±1,解得 x1=3,x2=1,故 D 错误. 答案:C 5.若 2 是关于 x 的方程 x 2 -c=0 的一个根,则常数 c 等于( ) A.4 B.-4 C.±2 D.±4 解析:把 x=2 代入 x 2 -c=0,得 4-c=0,解得 c=4
答案：A 6.已知x=3是关于x的方程3x2+2ax-3a=0的一个根，则关于y的方程y2-12=a的 解是( A.V3 B.-3 C.±3 D以上都不对 解析：将x=3代入方程3x2+2ax-3a=0, 得27+6a-3a=0,解得a=-9. 将a=-9代入关于y的方程，得y212=-9,解得y=±V3 答案C 7.方程(x-1)x+5)=3的解集是 若x1,x2是该方程的两根，则 x2+x2= 解析：由(x-1)x+5)=3,得x2+4x-8=0,=424×1×(-8)=48, 则x=4丽=2士2√3， 2 即方程的解集为{-2-2V3,-2+2V3} .x1+x2=-4,x1x2=-8, .x+x2=(x1+x2)2-2x1x2=(-4)2-2×(-8)=32 答案：{-2-2√3，-2+2V3}32 8.若关于x的一元二次方程(m+2)x2-mx+m2-4=0有一个根是0，则m的值 为 解析：把x=0代入方程，得m2-4=0,解得m=士2. 又m+2≠0，即m≠-2，故m=2. 答案2 9.我国南宋数学家杨辉提出过一个问题：直田积（矩形的面积）八百六十四步（平方 步)，只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔几步.则阔为 步.（步”不是国际通用单位） 解析：设阔为x步，则x(x+12)=864, 即x2+12x-864=0,(x-24)(x+36)=0, 解得x=24或x=-36(舍去). 故阔为24步 答案：24 10.已知关于x的方程x2-2x+m+4=0有两个根，一个根大于1，另一个根小于1，则 实数m的取值范围是 解析：由题意，得22-4m+4)>0, 解得m<-3 12-2×1+m+4<0, 答案(-0，-3) 11.下面是小刚同学在一次测验中解答的数学题： ①若x2=4,则x=2:
答案:A 6.已知 x=3 是关于 x 的方程 3x 2+2ax-3a=0 的一个根,则关于 y 的方程 y 2 -12=a 的 解是( ) A.√3 B.-√3 C.±√3 D.以上都不对 解析:将 x=3 代入方程 3x 2+2ax-3a=0, 得 27+6a-3a=0,解得 a=-9. 将 a=-9 代入关于 y 的方程,得 y 2 -12=-9,解得 y=±√3. 答案:C 7.方程(x-1)(x+5)=3 的解集是 ;若 x1,x2 是该方程的两根,则 𝑥1 2 + 𝑥2 2= . 解析:由(x-1)(x+5)=3,得 x 2+4x-8=0,Δ=4 2 -4×1×(-8)=48, 则 x= -4±√48 2 =-2±2√3, 即方程的解集为{-2-2√3,-2+2√3}. ∵x1+x2=-4,x1x2=-8, ∴𝑥1 2 + 𝑥2 2=(x1+x2) 2 -2x1x2=(-4)2 -2×(-8)=32. 答案:{-2-2√3,-2+2√3} 32 8.若关于 x 的一元二次方程(m+2)x 2 -mx+m2 -4=0 有一个根是 0,则 m 的值 为 . 解析:把 x=0 代入方程,得 m2 -4=0,解得 m=±2. 又 m+2≠0,即 m≠-2,故 m=2. 答案:2 9.我国南宋数学家杨辉提出过一个问题:直田积(矩形的面积)八百六十四步(平方 步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔几步.则阔为 步.(“步”不是国际通用单位) 解析:设阔为 x 步,则 x(x+12)=864, 即 x 2+12x-864=0,(x-24)(x+36)=0, 解得 x=24 或 x=-36(舍去). 故阔为 24 步. 答案:24 10.已知关于 x 的方程 x 2 -2x+m+4=0 有两个根,一个根大于 1,另一个根小于 1,则 实数 m 的取值范围是 . 解析:由题意,得{ (-2) 2 -4(𝑚 + 4) > 0, 1 2 -2 × 1 + 𝑚 + 4 < 0, 解得 m<-3. 答案:(-∞,-3) 11.下面是小刚同学在一次测验中解答的数学题: ①若 x 2=4,则 x=2;
②方程x(x-1)=2(x-1)的解为x=2; ③若关于x的方程2+2x+k=0的两根的倒数和等于4，则k= ④若x=0是方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解，则m=2或m=-4 其中他答对的是 .(填序号) 解析：若x2=4,则x=士2，故①错误 方程x(x-1)=2(x-1)的解为x=2或x=1,故②错误； :x2+2x+k=0的两根的倒数和等于4， ∴.x1+x2=-2,x1x2=k “宁+安=授-子4解得=故③正确， 若x=0是方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解，则m=2或m=-4,故④正确 故他答对的是③④】 答案：③④ 12.已知方程x2+3x-1=0的两根分别为x1和x2,求下列各式的值 (I)x42+x1x2: 2呢+号 解：由题意知，x1+x2=-3,x1x2=-1 ∴.(1)x4x2+x1x4=x1x2(x3+x) =x1x2[(x+x2)(x子-x1x2+x2)] =x1x2(x1+x2)[x1+x2)2-3x12] =-1×(-3)×[(-3)2-3×(-1] =3×(9+3) =36. 呢+号--9 .1 13.已知关于x的一元二次方程x24x+k=0有实数根 (1)求k的最大整数值： (2)当k取最大整数值时，方程的根满足x2+mx-1=0,求m的值 解(1)根据题意，得4=b2-4ac≥0. a=1,b=-4,c=k, ..b2-4ac=(-4)2-4×1×k≥0 解得k≤4 k的最大整数值为4 (2).k=4 .∴.原方程为x2-4x+4=0 ,4=(-4)24×4=0 ∴.方程的根为x1=x2=2 把x=2代入方程2+m1=0,得4+2m-1=0,解得m=子
②方程 x(x-1)=2(x-1)的解为 x=2; ③若关于 x 的方程 x 2+2x+k=0 的两根的倒数和等于 4,则 k=- 1 2 ; ④若 x=0 是方程(m-2)x 2+3x+m2+2m-8=0 的解,则 m=2 或 m=-4. 其中他答对的是 .(填序号) 解析:若 x 2=4,则 x=±2,故①错误; 方程 x(x-1)=2(x-1)的解为 x=2 或 x=1,故②错误; ∵x 2+2x+k=0 的两根的倒数和等于 4, ∴x1+x2=-2,x1x2=k, ∴ 1 𝑥1 + 1 𝑥2 = 𝑥1 +𝑥2 𝑥1 𝑥2 =- 2 𝑘 =4,解得 k=- 1 2 ,故③正确; 若 x=0 是方程(m-2)x 2+3x+m2+2m-8=0 的解,则 m=2 或 m=-4,故④正确. 故他答对的是③④. 答案:③④ 12.已知方程 x 2+3x-1=0 的两根分别为 x1 和 x2,求下列各式的值. (1)𝑥1 4 x2+x1𝑥2 4 ; (2) 3 𝑥1 + 3 𝑥2 . 解:由题意知,x1+x2=-3,x1x2=-1. ∴(1)𝑥1 4 x2+x1𝑥2 4=x1x2(𝑥1 3 + 𝑥2 3 ) =x1x2[(x1+x2)(𝑥1 2 -x1x2+𝑥2 2 )] =x1x2·(x1+x2)[(x1+x2) 2 -3x1x2] =-1×(-3)×[(-3)2 -3×(-1)] =3×(9+3) =36. (2) 3 𝑥1 + 3 𝑥2 = 3(𝑥1 +𝑥2 ) 𝑥1 𝑥2 = 3×(-3) -1 =9. 13.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+k=0 有实数根. (1)求 k 的最大整数值; (2)当 k 取最大整数值时,方程的根满足 x 2+mx-1=0,求 m 的值. 解:(1)根据题意,得 Δ=b2 -4ac≥0. ∵a=1,b=-4,c=k, ∴b 2 -4ac=(-4)2 -4×1×k≥0, 解得 k≤4, ∴k 的最大整数值为 4. (2)∵k=4, ∴原方程为 x 2 -4x+4=0. ∵Δ=(-4)2 -4×4=0, ∴方程的根为 x1=x2=2. 把 x=2 代入方程 x 2+mx-1=0,得 4+2m-1=0,解得 m=- 3 2