6.1平面向量的概念 课后·训练提升 基础巩固 1.下列说法不正确的是() A向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案p 解桐根据向量的有关概念易判断，D项说法错误 2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是 () A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 客案A 解桐平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆， 3如图，在3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形中，若起点和终点都在方格的顶点处，则 与AB平行且模为V2的向量共有( A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 含案 解桐由题意可知，每个小正方形的边长均为1，则其对角线长为√瓦，每个小正方形中存在两个 与AB平行且模为√Z的向量，一共有12个小正方形，故共有24个所求向量. 4.如图所示，在等边三角形ABC中，P,Q,R分别是线段AB,BC,AC的中点，则与向量PQ相等的 向量是(). A.PR与QR B.A与RC C.RA与CR D.PA与丽 答案B 解析向量相等要求模相等且方向相同，因此A丽与RC都是和P灭相等的向量. 5.(多选题)下列条件中，能使a∥b成立的有()
6.1 平面向量的概念 课后· 基础巩固 1.下列说法不正确的是( ). A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案 D 解析根据向量的有关概念易判断,D 项说法错误. 2.在同一平面内,把所有长度为 1 的向量的起点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是 ( ). A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案 A 解析平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆. 3.如图,在 3×4 的格点图(每个小方格都是单位正方形)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则 与𝐴𝐵⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( ). A.12 个 B.18 个 C.24 个 D.36 个 答案 C 解析由题意可知,每个小正方形的边长均为 1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个 与𝐴𝐵⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有 12 个小正方形,故共有 24 个所求向量. 4.如图所示,在等边三角形 ABC 中,P,Q,R 分别是线段 AB,BC,AC 的中点,则与向量𝑃𝑄⃗⃗⃗ 相等的 向量是( ). A.𝑃𝑅⃗⃗⃗ 与𝑄𝑅⃗⃗⃗ B.𝐴𝑅⃗⃗⃗ 与𝑅𝐶⃗⃗ C.𝑅𝐴⃗⃗⃗ 与𝐶𝑅⃗⃗ D.𝑃⃗⃗𝐴⃗ 与𝑄𝑅⃗⃗⃗ 答案 B 解析向量相等要求模相等且方向相同,因此𝐴𝑅⃗⃗⃗ 与𝑅𝐶⃗⃗ 都是和𝑃𝑄⃗⃗⃗ 相等的向量. 5.(多选题)下列条件中,能使 a∥b 成立的有( )
A.a=b B.a=b C.a与b方向相反D.a=0或bl=0 答案ACD 解析若a=b,则a与b长度相等且方向相同，所以a∥b,若la=bl,则a与b的长度相等，方向 不确定，因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a ∥b:零向量与任意向量都平行.所以若|a=0或lb=0,则a∥b 6.下列说法中，正确的是(). A若la=l,则a=士1 B.若la=bl且a∥b,则a=b C.若a=b,则a∥b D.若a∥0，则a=0 答案 解桐选项A中说法显然错误；两个向量的模相等且平行，但这两个向量的方向不一定相同，故 选项B中说法错误；a=b→向量a与b的方向相同→a∥b,故选项C中说法正确；0与任一向量 平行，故a∥0a=0,选项D中说法错误. 7.已知AB=1,AC=2,若∠ABC=90°，则BC1= 答案V3 解析在Rt△ABC中，由勾股定理可知，BC-VAC2-AB= V3,故BC1=3. 8.设ao,bo是两个单位向量，则下列结论正确的是 (填序号). ①ao=bo;②ao=-bo;③ao+bo-=2;④ao∥bo. 含案③ 解析因为o,bo是单位向量，所以a0=1,bo=1. 所以lao+lbol=2 9.将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当M正与EF是平行向量，且M正=2EF=2 时，MF1= 含案3或1 解标当M正与EF同向时，MF-M正+1EF=-3 当M正与EF反向时，MF1=M正-EF-1 10.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,四边形OCFB都是正方形，如图所示，在右 图的向量中： (1)分别找出与A0,B0相等的向量： (2)找出与A0共线的向量： (3)找出与A0模相等的向量； (4)向量A0与C⑦是否相等？ 解1)A0-F,B0=AE (2)与A0共线的向量有BF,C0,D正 (3)与A0模相等的向量有CO,D0,BO,BF,CF,AE,D正 (4)向量A0与C而不相等，因为它们的方向不相同
A.a=b B.|a|=|b| C.a 与 b 方向相反 D.|a|=0 或|b|=0 答案 ACD 解析若 a=b,则 a 与 b 长度相等且方向相同,所以 a∥b;若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等,方向 不确定,因此不一定有 a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若 a 与 b 方向相反,则有 a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0 或|b|=0,则 a∥b. 6.下列说法中,正确的是( ). A.若|a|=1,则 a=±1 B.若|a|=|b|且 a∥b,则 a=b C.若 a=b,则 a∥b D.若 a∥0,则|a|=0 答案 C 解析选项 A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故 选项 B 中说法错误;a=b⇒向量 a 与 b 的方向相同⇒a∥b,故选项 C 中说法正确;0 与任一向量 平行,故 a∥0 |a|=0,选项 D 中说法错误. 7.已知|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=1,|𝐴𝐶⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |= . 答案√3 解析在 Rt△ABC 中,由勾股定理可知,BC=√𝐴𝐶2-𝐴𝐵2= √3,故|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=√3. 8.设 a0,b0 是两个单位向量,则下列结论正确的是 (填序号). ①a0=b0;②a0=-b0;③|a0|+|b0|=2;④a0∥b0. 答案③ 解析因为 a0,b0 是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1. 所以|a0|+|b0|=2. 9.将向量用具有同一起点 M 的有向线段表示,当𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ 与𝐸𝐹⃗⃗ 是平行向量,且|𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐸𝐹⃗⃗ |=2 时,|𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 3 或 1 解析当𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ 与𝐸𝐹⃗⃗ 同向时,|𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ |=|𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ |+|𝐸𝐹⃗⃗ |=3; 当𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ 与𝐸𝐹⃗⃗ 反向时,|𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ |=|𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗ |-|𝐸𝐹⃗⃗ |=1. 10.O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,四边形 OCFB 都是正方形,如图所示,在右 图的向量中: (1)分别找出与𝐴𝑂⃗⃗⃗ ,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与𝐴𝑂⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与𝐴𝑂⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量𝐴𝑂⃗⃗⃗ 与⃗𝐶𝑂⃗⃗ 是否相等? 解(1)𝐴𝑂⃗⃗⃗ = 𝐵𝐹⃗⃗⃗ ,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗ . (2)与𝐴𝑂⃗⃗⃗ 共线的向量有𝐵𝐹⃗⃗⃗ ,⃗𝐶𝑂⃗⃗ ,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ . (3)与𝐴𝑂⃗⃗⃗ 模相等的向量有⃗𝐶𝑂⃗⃗ ,𝐷𝑂⃗⃗ ,𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐹⃗⃗⃗ , 𝐶𝐹⃗⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ ,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ . (4)向量𝐴𝑂⃗⃗⃗ 与⃗𝐶𝑂⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同
11.已知一架飞机从A地沿北偏东30°方向飞行2000km后到达B地，再从B地沿南偏东 30°方向飞行2000km到达C地，再从C地沿西南方向飞行1000W2km到达D地.作出向 量AB,BC,C而，并求出向量AD的模和方向. 解以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系 y北) Cx(东) 据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB,BC,CD如图所示， 由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC=2000km 又∠ACD=45°，CD=1000v2km 所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD=1000v2km,∠CAD=45° 故向量AD的模为1000v2km,方向为东南方向， 拓展提高 1.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①a>bl:②a∥b:③a>0;④bF±1，其中 正确的是( 人 A.①④ B.③ c.①②③ D.②③ 答案B 解桐因为a为任一非零向量，所以a>0. 2.(多选题)已知A={xx是与a共线的向量}，B={yy是与a长度相等的向量}，C={k是与a 长度相等、方向相反的向量；，其中a为非零向量，下列关系中正确的是( ) A.CCA B.A0B=(a) C.CEB D.(A0B)2(a) 答案ACD 解桐因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误 3.如图，在梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上，EF过点P, 且EF∥AB,则下列等式中成立的是( A.AD=BC B.AC=BD C.PE PF D.EP PE 答案D 解杨根据相等向量的定义，分析可得，选项A,B中的等式不成立；选项C中，P呢与P吓方向相反， 故P配=F不成立；选项D中，E丽与F方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故E下= p下成立 4.若四边形ABCD满足AD=BC,且AC1=BD,则四边形ABCD是 (填四边形 ABCD的形状)
11.已知一架飞机从 A 地沿北偏东 30°方向飞行 2 000 km 后到达 B 地,再从 B 地沿南偏东 30°方向飞行 2 000 km 到达 C 地,再从 C 地沿西南方向飞行 1 000√2 km 到达 D 地.作出向 量𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,并求出向量𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 的模和方向. 解以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向建立直角坐标系. 据题设,B 点在第一象限,C 点在 x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三角形,所以 AC=2 000 km. 又∠ACD=45°,CD=1 000√2 km, 所以△ADC 为等腰直角三角形,所以 AD=1 000√2 km,∠CAD=45°. 故向量𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 的模为 1 000√2 km,方向为东南方向. 拓展提高 1.若 a 为任一非零向量,b 为模为 1 的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中 正确的是( ). A.①④ B.③ C.①②③ D.②③ 答案 B 解析因为 a 为任一非零向量,所以|a|>0. 2.(多选题)已知 A={x|x 是与 a 共线的向量},B={y|y 是与 a 长度相等的向量},C={z|z 是与 a 长度相等、方向相反的向量},其中 a 为非零向量,下列关系中正确的是( ). A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a} 答案 ACD 解析因为 A∩B 中包含与 a 长度相等且方向相反的向量,所以 B 中的关系错误. 3.如图,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P,点 E,F 分别在两腰 AD,BC 上,EF 过点 P, 且 EF∥AB,则下列等式中成立的是( ). A.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ B.𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ C.𝑃𝐸⃗⃗⃗ = 𝑃𝐹⃗⃗ D.𝐸𝑃⃗⃗⃗ = 𝑃𝐹⃗⃗ 答案 D 解析根据相等向量的定义,分析可得,选项 A,B 中的等式不成立;选项 C 中,𝑃𝐸⃗⃗⃗ 与𝑃𝐹⃗⃗ 方向相反, 故𝑃𝐸⃗⃗⃗ = 𝑃𝐹⃗⃗ 不成立;选项 D 中,𝐸𝑃⃗⃗⃗ 与𝑃𝐹⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段 EF 长度的一半,故𝐸𝑃⃗⃗⃗ = 𝑃𝐹⃗⃗ 成立. 4.若四边形 ABCD 满足𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,且|𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |,则四边形 ABCD 是 (填四边形 ABCD 的形状)
答案矩形 解析：AD=配 :AD∥BC,且AD1=BCL, ,:四边形ABCD是平行四边形 又由AC=BD,知该平行四边形的对角线相等，故四边形ABCD是矩形 5.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量AE是平行向量，与BC是共线向量，则 m= 答案0 解析平行向量又叫共线向量，因为A,B,C是不共线的三点，所以A正与BC不共线，而与不共线向 量AB,B配都共线的向量只能是零向量 6.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M={O,A,B,C,D, 向量的集合T={PQ1P,Q∈M,且P,Q不重合}，则集合T有 个元素 0 客案12 解桐根据题意知，由点O,A,B,C,D可以构成20个向量，且它们有12个向量各不相等，由元素 的互异性知T中有12个元素， 7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形 (1)与向量ED相等的向量有 (2)若|AE=3,则1EC1= 答案1)AB,D元(2)6 解桐1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量ED相 等的向量有AB,DC (2)因为AB=3,EC1=2AB1,所以E元1=6. 挑战创新 在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD,AB的中点，如图所示 D E (1)写出与向量FC共线的向量： (2)求证：BE=FD. (1)解与向量F元共线的向量有F,A正，EA. (2证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD,且AB=CD.又点E,F分别是CD,AB 的中，点，所以ED∥BF,且ED=BF 所以四边形BFDE是平行四边形，故B配=FD
答案矩形 解析∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , ∴AD∥BC,且|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又由|𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形 ABCD 是矩形. 5.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 是平行向量,与𝐵𝐶⃗⃗⃗ 是共线向量,则 m= . 答案 0 解析平行向量又叫共线向量,因为 A,B,C 是不共线的三点,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向 量𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量. 6.如图所示,已知四边形 ABCD 是矩形,O 为对角线 AC 与 BD 的交点,设点集 M={O,A,B,C,D}, 向量的集合 T={𝑃𝑄⃗⃗⃗ |P,Q∈M,且 P,Q 不重合},则集合 T 有 个元素. 答案 12 解析根据题意知,由点 O,A,B,C,D 可以构成 20 个向量,且它们有 12 个向量各不相等,由元素 的互异性知 T 中有 12 个元素. 7.如图,四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形. (1)与向量𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=3,则|𝐸𝐶⃗⃗ |= . 答案(1)𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ (2)6 解析(1)根据向量相等的定义以及四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形,可知与向量𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ 相 等的向量有𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐷𝐶⃗⃗⃗ . (2)因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=3,|𝐸𝐶⃗⃗ |=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,所以|𝐸𝐶⃗⃗ |=6. 挑战创新 在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AB 的中点,如图所示. (1)写出与向量𝐹𝐶⃗⃗ 共线的向量; (2)求证:𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 𝐹𝐷⃗⃗⃗ . (1)解与向量𝐹𝐶⃗⃗ 共线的向量有𝐶𝐹⃗⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ ,𝐸𝐴⃗⃗⃗ . (2)证明因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB∥CD,且 AB=CD.又点 E,F 分别是 CD,AB 的中点,所以 ED∥BF,且 ED=BF. 所以四边形 BFDE 是平行四边形,故𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 𝐹𝐷⃗⃗⃗