《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章平面向量及其应用_6.3.1 平面向量基本定理.docx_大学文库

5.已知 A,B,D 三点共线,且对任一点 C,有𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 4 3 𝐶𝐴⃗⃗ +λ𝐶𝐵⃗⃗⃗ ,则实数 λ 等于( ). A. 2 3 B. 1 3 C.- 1 3 D.- 2 3 答案 C 解析因为 A,B,D 三点共线,所以存在实数 t,使𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =t𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,则𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗ =t(𝐶𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗ ). 所以𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗ +t(𝐶𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗ )=(1-t)𝐶𝐴⃗⃗ +t𝐶𝐵⃗⃗⃗ . 又𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 4 3 𝐶𝐴⃗⃗ +λ𝐶𝐵⃗⃗⃗ , 所以{ 1-𝑡 = 4 3 , 𝑡 = 𝜆, 解得 t=λ=- 1 3 . 6.设 D 为△ABC 中 BC 边上的中点,O 为 AD 边上靠近点 A 的三等分点,则( ). A.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ =- 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗ B.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ = 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 1 2 𝐴𝐶⃗⃗ C.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ = 5 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 1 6 𝐴𝐶⃗⃗ D.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ =- 5 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐶⃗⃗ 答案 D 解析依题意,得𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 1 3 × 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ )-𝐴𝐵⃗⃗⃗ =- 5 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴⃗⃗𝐶 .故选 D. 7.若向量 a=4e1+2e2 与 b=ke1+e2(k∈R)共线,其中 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,则 k 的值为 . 答案 2 解析∵向量 a 与 b 共线,且 a 为非零向量, ∴存在实数 λ,使得 b=λa, 即 ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2. ∵e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量, ∴{ 𝑘 = 4𝜆, 1 = 2𝜆, ∴k=2. 8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=1 2 AB,BE=2 3 BC,若𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ =λ1𝐴𝐵⃗⃗⃗ +λ2𝐴𝐶⃗⃗ (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为 . 答案1 2 解析如图,由题意知,D 为 AB 的中点,𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 所以𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 2 3 (𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ )=- 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗ , 所以 λ1=- 1 6 ,λ2= 2 3 ,所以 λ1+λ2=- 1 6 + 2 3 = 1 2

9.向量 a 在基底{e1,e2}下可以表示为 a=2e1+3e2,若 a 在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为 a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则 λ= ,μ= . 答案5 2 - 1 2 解析由条件,可知{ 𝜆 + 𝜇 = 2, 𝜆-𝜇 = 3, 解得{ 𝜆 = 5 2 , 𝜇 = - 1 2 . 10.如图,在△OAB 中,延长 BA 到点 C,使 AC=BA,在 OB 上取一点 D,使 DB=1 3 OB,设 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,用 a,b 表示向量⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ . 解⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =2a-b,𝐷𝐶⃗⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐷⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 2 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =2a-b- 2 3 b=2a- 5 3 b. 11.已知单位圆 O 上的两点 A,B 及单位圆所在平面上的一点 P,𝑂𝐴⃗⃗⃗ 与𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 不共线. (1)在△OAB 中,若点 P 在 AB 上,且𝐴𝑃⃗⃗⃗ =2𝑃𝐵⃗⃗⃗ ,若𝐴𝑃⃗⃗⃗ =r𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +s𝑂𝐴⃗⃗⃗ (r,s∈R),求 r+s 的值; (2)点 P 满足𝑂𝑃⃗⃗⃗ =m𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ (m∈R),若四边形 OABP 为平行四边形,求 m 的值. 解(1)∵𝐴𝑃⃗⃗⃗ =2𝑃𝐵⃗⃗⃗ ,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 2 3 (𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ )= 2 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 2 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,又𝐴𝑃⃗⃗⃗ =r𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +s𝑂𝐴⃗⃗⃗ , ∴r= 2 3 ,s=- 2 3 ,∴r+s 的值为 0. (2)如图,∵四边形 OABP 为平行四边形,∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,又𝑂𝑃⃗⃗⃗ =m𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +(m+1)𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,依题意𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 是非零向量且不共线,∴m+1=0,解得 m=-1. 拓展提高 1.(多选题)若 e1,e2 是平面 α 内两个不共线的向量,则下列说法正确的是( ). A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B.对于平面 α 中的任一向量 a,使 a=λe1+μe2 的实数 λ,μ 有无数多对 C.若 λ1,μ1,λ2,μ2 均为实数,且向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则有且只有一个实数 λ,使 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数 λ,μ,使 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0 答案 AD 解析由平面向量基本定理,可知 AD 说法正确,B 说法不正确.对于 C,当 λ1=λ2=μ1=μ2=0 时,这样的 λ 有无数个,故 C 说法不正确

2.已知 O 是平面内一定点,A,B,C 是平面内不共线的三个点,动点 P 满足𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | (λ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案 B 解析∵ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | 为𝐴𝐵⃗⃗⃗ 上的单位向量, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | 为𝐴𝐶⃗⃗ 上的单位向量,∴ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | 的方向为∠BAC 的角平分线的方向. 又 λ∈[0,+∞),∴λ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | )的方向与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | 的方向相同. ∵𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | ), ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗ =λ( 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | ), ∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线的方向相同, ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 3.如图所示,|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=1,|⃗𝑂𝐶⃗⃗ |=√3,∠AOB=60°,OB⊥OC,设⃗𝑂𝐶⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=1 C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1 答案 B 解析过点 C 作 CD∥OB 交 AO 的延长线于点 D,连接 BC(图略).由∠AOB=60°,OB⊥OC,知 ∠COD=30°,∠OCD=90°.在 Rt△OCD 中,可得 CD=√3tan 30°=1,OD=2CD=2,则四边形 OBCD 为平行四边形,⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =-2𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,即 x=-2,y=1. 4.若𝑂𝑃1 ⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ =b,𝑃⃗⃗ 1 ⃗𝑃 =λ𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1),则𝑂𝑃⃗⃗⃗ 等于( ). A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D. 1 1+𝜆 a+ 𝜆 1+𝜆 b 答案 D 解析∵𝑃⃗⃗ 1 ⃗𝑃 =λ𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃1 ⃗⃗⃗⃗ =λ(𝑂𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗ ),即(1+λ)𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃1 ⃗⃗⃗⃗ +λ𝑂𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1), ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 1 1+𝜆 𝑂𝑃1 ⃗⃗⃗⃗ + 𝜆 1+𝜆 𝑂𝑃2 ⃗⃗⃗⃗ = 1 1+𝜆 a+ 𝜆 1+𝜆 b(λ≠-1). 5.若 M 是△ABC 所在平面内一点,且满足𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 3 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 4 𝐴𝐶⃗⃗ ,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 . 答案 1∶4 解析如图,由𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 3 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 4 𝐴𝐶⃗⃗ ,可知 M,B,C 三点共线

《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章 平面向量及其应用_6.3.1 平面向量基本定理

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