9.1.2分层随机抽样 9.1.3获取数据的途径 课后·训练提升 基础巩固 1.为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关 数据.他获取这些数据的途径最好是() A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案D 解析因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最 好是通过查询获得数据 2.某工厂有甲、乙、丙三个车间，加工同一产品，同一批次产量分别为140件、100件和80 件.为了解不同车间产品的质量是否存在差异，采用分层抽样的方法进行调查，其中从丙车间 的产品中抽取4件，则总样本量为() A.12 B.14 C.16 D.18 答案 解初抽样比为高=六则从甲车间的产品中抽取140×分-7件，从乙车间的产品中抽取 100×分-5件，总样本量为16 3.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，结果如下表所示 观众 不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众 30 50 现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢 跨年晚会的男性青年观众”的人中抽取了6人，则=(). A.12 B.16 C.24 D.32 答案 解析依题意，总人数为30+30+10+50-120，其中“不喜欢跨年晚会的男性青年观众”有30人， 故品-总解得n-24故选C 4.己知数据x1,2,3,…,20的平均数是6，数据12,3，…y00的平均数是20，则 200300 昌+宫坐 =( 500 A.13 B.14.4 C.15 D.15.4 答案B 200300 解桐由已知得含+名y=200x5+300x20-14.4, 500 500 500
9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径 课后· 基础巩固 1.为了研究近年来我国高等教育发展状况,小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关 数据,他获取这些数据的途径最好是( ). A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案 D 解析因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储,所以小明获取这些数据的途径最 好是通过查询获得数据. 2.某工厂有甲、乙、丙三个车间,加工同一产品,同一批次产量分别为 140 件、100 件和 80 件.为了解不同车间产品的质量是否存在差异,采用分层抽样的方法进行调查,其中从丙车间 的产品中抽取 4 件,则总样本量为( ). A.12 B.14 C.16 D.18 答案 C 解析抽样比为 4 80 = 1 20,则从甲车间的产品中抽取 140× 1 20=7 件,从乙车间的产品中抽取 100× 1 20=5 件,总样本量为 16. 3.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查,结果如下表所示. 观众 不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众 30 50 现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研,若在“不喜欢 跨年晚会的男性青年观众”的人中抽取了 6 人,则 n=( ). A.12 B.16 C.24 D.32 答案 C 解析依题意,总人数为 30+30+10+50=120,其中“不喜欢跨年晚会的男性青年观众”有 30 人, 故 30 120 = 6 𝑛 ,解得 n=24.故选 C. 4.已知数据 x1,x2,x3,…,x200 的平均数是 6,数据 y1,y2,y3,…,y300 的平均数是 20,则 ∑ 𝑖=1 200 xi+ ∑ i=1 300 𝑦 𝑖 500 =( ). A.13 B.14.4 C.15 D.15.4 答案 B 解析由已知得 ∑ 𝑖=1 200 xi+ ∑ i=1 300 𝑦 𝑖 500 = 200×6 500 + 300×20 500 =14.4
5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集378人，问从各乡征集多少人在上述问题中，需从南 乡征集的人数大约是() A112 B.130 C.145 D.167 含案B 解桐由题意，从南乡征集的人数应为 8356 378×8758+7236+8356130. 6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近 视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视 人数分别为( 4近视率/% 小学生 3500名 高中生 2000名 50------ 初中生 30 4500名 10 0小学初中高中年级 ① ② A.200,20 B.100,20 C.200.10 D.100.10 答案A 解析该地区中小学生总人数为3500+2000+4500-10000，则样本量为10000×2%=200，抽样 比为品高中生抽取的学生数为40，则抽取的高中生近视人数为40×50%-20. 7.(多选题)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公 司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(). A.应采用分层随机抽样抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆 D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 答案ACD 解桐因为总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确： 因为总体量较大，所以不宜采用抽签法，所以B错误； 设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆， 则有10=60=20=120+600+200 y 46 (x=6, 解得y=30, z=10 所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确：由分层随机抽样的意义可知D 也正确」 8.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分 层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两个年级的竞赛平均成绩分别为80分和90分， 则： (1)高一、高二抽取的样本量分别为 (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为分
5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:北乡有 8 758 人,西乡有 7 236 人,南乡有 8 356 人,现要按人数多少从三个乡共征集 378 人,问从各乡征集多少人.在上述问题中,需从南 乡征集的人数大约是( ). A.112 B.130 C.145 D.167 答案 B 解析由题意,从南乡征集的人数应为 378× 8 356 8 758+7 236+8 356≈130. 6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近 视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本量和抽取的高中生近视 人数分别为( ). A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 答案 A 解析该地区中小学生总人数为 3 500+2 000+4 500=10 000,则样本量为 10 000×2%=200,抽样 比为 1 50,高中生抽取的学生数为 40,则抽取的高中生近视人数为 40×50%=20. 7.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1 200 辆,6 000 辆和 2 000 辆.为检验该公 司的产品质量,公司质监部门要抽取 46 辆进行检验,则下列说法正确的是( ). A.应采用分层随机抽样抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次抽取 6 辆,30 辆,10 辆 D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的 答案 ACD 解析因为总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层随机抽样抽取,A 正确; 因为总体量较大,所以不宜采用抽签法,所以 B 错误; 设三种型号的轿车依次抽取 x 辆、y 辆、z 辆, 则有 𝑥 1 200 = 𝑦 6 000 = 𝑧 2 000 = 46 1 200+6 000+2 000, 解得{ 𝑥 = 6, 𝑦 = 30, 𝑧 = 10. 所以三种型号的轿车依次抽取 6 辆、30 辆、10 辆,故 C 正确;由分层随机抽样的意义可知 D 也正确. 8.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有 450 人,高二年级有 350 人,通过分 层随机抽样的方法抽取了 160 个样本,得到两个年级的竞赛平均成绩分别为 80 分和 90 分, 则: (1)高一、高二抽取的样本量分别为 ; (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为 分
答案(1)90,70(2)84.375 450 解标1)由题意可得高一年级抽取的样本量为450+350×160=90，高二年级抽取的样本量为 350 450+350×160=70. (2)高一和高二鼓学竞赛的平均分约为如=0即×80+那元90=-84375（分》 9.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组. 在参加活动的职工中青年人占42.5%.中年人占47.5%.老年人占10%.登山组的职工占参加 活动总人数的且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了解各组不同的年 龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽 取一个容量为200的样本.试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例： (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数 解1)设参加活动的总人数为x,游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,则 42.5%x×50% 40%.b-47.5%x字x40% 50%,c-10%xx10% =10%，故游泳组中青年人、中年 (1-3x (1-∂x (1-x 人、老年人所占的比例分别为40%50%，10% (2)因为是分层随机抽样，所以游泳组中，抽取的青年人人数为200×2x40%-60,抽取的中年人 人数为200×2×50%=75，抽取的老年人人数为200×3×10%=15. 即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15. 拓展提高 1.某店有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食类及果蔬类分别有40种、10种、30种、 20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取 样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(). A.4 B.5 C.6 D.7 答案c 20 20 解闭抽样比k0+030+20=品=专国此抽取的植物油美与果蔬美食品种数之和是 10x号+20×号2+4=6 2.某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层随机抽样的 方法共抽取10亩进行调查.若所抽山地的亩数是平地亩数的2倍还多1亩则这个橘子园的 平地与山地的亩数分别为() A.45,75 B.40.80 C.36,84 D.30.90 答案c 解韧根据条件知所抽山地的亩数为7，所抽平地的亩数为3，抽样比为立则橘子国中山地的亩 数为84，平地的亩数为36
答案(1)90,70 (2)84.375 解析(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为 450 450+350×160=90,高二年级抽取的样本量为 350 450+350×160=70. (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为𝑤 = 90 90+70×80+ 70 90+70×90=84.375(分). 9.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组. 在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%,登山组的职工占参加 活动总人数的1 4 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%.为了解各组不同的年 龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽 取一个容量为 200 的样本.试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 解(1)设参加活动的总人数为 x,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为 a,b,c,则 a= 42.5%𝑥- 𝑥 4 ×50% (1- 1 4 )𝑥 =40%,b= 47.5%𝑥- 𝑥 4 ×40% (1- 1 4 )𝑥 =50%,c= 10%𝑥- 𝑥 4 ×10% (1- 1 4 )𝑥 =10%,故游泳组中青年人、中年 人、老年人所占的比例分别为 40%,50%,10%. (2)因为是分层随机抽样,所以游泳组中,抽取的青年人人数为 200× 3 4 ×40%=60;抽取的中年人 人数为 200× 3 4 ×50%=75;抽取的老年人人数为 200× 3 4 ×10%=15. 即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为 60,75,15. 拓展提高 1.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、肉食类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取 样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ). A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 解析抽样比 k= 20 40+10+30+20 = 20 100 = 1 5 ,因此抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 10× 1 5 +20× 1 5 =2+4=6. 2.某橘子园有平地和山地共 120 亩,现在要估计平均亩产量,按一定的比例用分层随机抽样的 方法共抽取 10 亩进行调查.若所抽山地的亩数是平地亩数的 2 倍还多 1 亩,则这个橘子园的 平地与山地的亩数分别为( ). A.45,75 B.40,80 C.36,84 D.30,90 答案 C 解析根据条件知所抽山地的亩数为 7,所抽平地的亩数为 3,抽样比为 1 12,则橘子园中山地的亩 数为 84,平地的亩数为 36
3.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数比为15：3：2为了解该单位职员的某种 情况，采用分层随机抽样方法抽出一个容量为的样本.若样本中业务人员人数为30，则此样 本的容量n为( A20 B.30 C.40 D.80 答案 解桐：业务人员、管理人员、后勤人员人数之比为15：3：2，又样本中业务人员人数为30， 0 =523=贵解得n40 15 4.某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品，产量之比为2：3：4.为检验该厂家产品质量 用分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为() A.16 B.24 C.32 D.48 答案B 解桐由题意可得样本中乙类型饮品的数量为72×2+3+424， 3 5.《九章算术·衰分》中有如下问题：今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十 凡三人俱出关关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？翻译为：假设甲有钱560，乙有钱350， 丙有钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要依所带钱数的多少按比例交税， 问三人各应付多少税钱？下列说法中错误的是( A乙付的税钱应占总税钱的高 B.乙、丙两人付的税钱不超过甲 C.丙应付的税钱约为32 D.甲、乙、丙三人付税钱的比例为56,35：18 答案c 解利乙付的税钱应占总税钱的0+0+10=器可知A正确：乙、丙两人付的税钱占总税 350 钱的350+180 560+350+180=品 =器<号不超过甲，可知B正确：丙应出的税钱为100×60+30+10 180 1800≈17，可知C错误；甲、乙、丙三人出税钱的比例为560：350：180=56：35：18，可知D 109 正确 6.古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛.明代会试分南卷、北卷、中 卷，按11：7：2的比例录取若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为 答案0 解标由题意知，会试录取人数为100，则中卷录取人数为100× 1+74210 7.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示.己知在全校学生中随机抽取1名， 抽到高二年级女生的可能性是0.19.现在用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应 在高三年级抽取的女学生人数为 年级 高 一 年级 高二年级 高三年级 女生 373 男生 377 370 250 答案s
3.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数比为 15∶3∶2.为了解该单位职员的某种 情况,采用分层随机抽样方法抽出一个容量为 n 的样本.若样本中业务人员人数为 30,则此样 本的容量 n 为( ). A.20 B.30 C.40 D.80 答案 C 解析∵业务人员、管理人员、后勤人员人数之比为 15∶3∶2,又样本中业务人员人数为 30, ∴ 30 𝑛 = 15 15+2+3 = 15 20,解得 n=40. 4.某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品,产量之比为 2∶3∶4.为检验该厂家产品质量, 用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 72 的样本,则样本中乙类型饮品的数量为( ). A.16 B.24 C.32 D.48 答案 B 解析由题意可得样本中乙类型饮品的数量为 72× 3 2+3+4 =24. 5.《九章算术·衰分》中有如下问题:今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十, 凡三人俱出关.关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问各几何?翻译为:假设甲有钱 560,乙有钱 350, 丙有钱 180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计 100 钱,要依所带钱数的多少按比例交税, 问三人各应付多少税钱?下列说法中错误的是( ). A.乙付的税钱应占总税钱的 35 109 B.乙、丙两人付的税钱不超过甲 C.丙应付的税钱约为 32 D.甲、乙、丙三人付税钱的比例为 56∶35∶18 答案 C 解析乙付的税钱应占总税钱的 350 560+350+180 = 35 109,可知 A 正确;乙、丙两人付的税钱占总税 钱的 350+180 560+350+180 = 53 109 < 1 2 ,不超过甲,可知 B 正确;丙应出的税钱为 100× 180 560+350+180 = 1 800 109 ≈17,可知 C 错误;甲、乙、丙三人出税钱的比例为 560∶350∶180=56∶35∶18,可知 D 正确. 6.古代科举制度始于隋而成于唐,后不断发展,明清时达到鼎盛.明代会试分南卷、北卷、中 卷,按 11∶7∶2 的比例录取.若某年会试录取人数为 100,则中卷录取人数为 . 答案 10 解析由题意知,会试录取人数为 100,则中卷录取人数为 100× 2 11+7+2 =10. 7.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表所示.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到高二年级女生的可能性是 0.19.现在用分层随机抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应 在高三年级抽取的女学生人数为 . 年级 高一年级 高二年级 高三年级 女生 373 x y 男生 377 370 250 答案 8
解桐因为抽到高二年级女生的可能性是0.19， 所以高二年级的女生人数为x=2000×0.19=380, 所以高三年级女生的人数为y=2000-373-377-370-380-250=250 现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级抽取的女学生人数为 250x×64=8. 2000 挑战创新 为了对某课题进行讨论研究，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从三所高校A,B,C的 相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）： 高校 相关人数 抽取人数 B 36 2 54 3 (1)求x (2)若从高校B相关人员中选2人做专题发言，则应采用何种抽样法，请写出合理的抽样过程 圆1)比例分配的分层随机抽样是接各层样本量与层的大小成比例选行的，所以有}=是 名解上式可得x=18,-2 (2)总体中的个体数和样本量较小，故应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1,2,3，…，36， 第二步，将所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签； 第三步，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，搅拌均匀： 第四步，从盒中不放回地逐个抽取2个号签，并记录上面的编号； 第五步，选出与号签上的编号对应的人员，即可得到所需要的样本】
解析因为抽到高二年级女生的可能性是 0.19, 所以高二年级的女生人数为 x=2 000×0.19=380, 所以高三年级女生的人数为 y=2 000-373-377-370-380-250=250, 现用分层随机抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则在高三年级抽取的女学生人数为 250 2 000×64=8. 挑战创新 为了对某课题进行讨论研究,用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从三所高校 A,B,C 的 相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人): 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 (1)求 x,y; (2)若从高校 B 相关人员中选 2 人做专题发言,则应采用何种抽样法,请写出合理的抽样过程. 解(1)比例分配的分层随机抽样是按各层样本量与层的大小成比例进行的,所以有1 𝑥 = 3 54 = 𝑦 36,解上式可得 x=18,y=2. (2)总体中的个体数和样本量较小,故应采用抽签法,过程如下: 第一步,将 36 人随机编号,号码为 1,2,3,…,36; 第二步,将所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签; 第三步,将这些小纸片放在一个不透明的盒里,搅拌均匀; 第四步,从盒中不放回地逐个抽取 2 个号签,并记录上面的编号; 第五步,选出与号签上的编号对应的人员,即可得到所需要的样本