志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课后·训练提升 基础巩固 1.已知双曲线x2+m2=1的虚轴长为实轴长的4倍，则m的值等于() A.-4 B号 C.-16 D品 答案：D 解析：双曲钱方程化为r兰1，因比，公-六尖轴长2a-2,虚轴长2b2乐依题意有2「月-8解 元 得m=16 1 2一个焦点为0,6)且与双曲线号 少2=1有相同渐近线的双曲线的方程为() A若-若 c号-到 D院-1 答案：A 解析：由题意设双曲线方程为号少=10)的右焦点0为坐标原点设P是双曲线C上一点则∠ POF的大小可能是() A.15 B.25° C.60 D.165° 1
1 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课后· 基础巩固 1.已知双曲线 x 2+my2=1 的虚轴长为实轴长的 4 倍,则 m 的值等于( ) A.-4 B.- 1 4 C.-16 D.- 1 16 答案:D 解析:双曲线方程化为 x 2 - 𝑦 2 - 1 𝑚 =1,因此 a 2=1,b 2=- 1 𝑚 ,实轴长 2a=2,虚轴长 2b=2√- 1 𝑚 ,依题意有 2√- 1 𝑚 =8,解 得 m=- 1 16. 2.一个焦点为(0,6)且与双曲线𝑥 2 2 -y 2=1 有相同渐近线的双曲线的方程为( ) A. 𝑦 2 12 − 𝑥 2 24=1 B. 𝑥 2 12 − 𝑦 2 24=1 C. 𝑦 2 24 − 𝑥 2 12=1 D. 𝑥 2 24 − 𝑦 2 12=1 答案:A 解析:由题意设双曲线方程为𝑥 2 2 -y 2=t(t0)的右焦点,O 为坐标原点,设 P 是双曲线 C 上一点,则∠ POF 的大小可能是( ) A.15° B.25° C.60° D.165°
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：ABD 解析：，两条渐近线y=士 的顿斜角分别为30°，150°，∴0≤∠P0F0,b>0)的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距商 的比值为1：6，则双曲线的渐近线方程为() A.2VZx±y=0 B.x±2VZy=0 C.x±3v2y=0 D.3V2x±y=0 P
2 答案:ABD 解析:∵两条渐近线 y=± √3 3 x 的倾斜角分别为 30°,150°,∴0°≤∠POF0,b>0)的离心率 e= 2√3 3 ,对称中心为 O,右焦点为 F,点 A 是双曲线 C 的一 条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△OAF 的面积为 3√3,则双曲线 C 的方程为( ) A. 𝑥 2 36 − 𝑦 2 12=1 B. 𝑥 2 3 -y 2=1 C. 𝑥 2 9 − 𝑦 2 3 =1 D. 𝑥 2 12 − 𝑦 2 4 =1 答案:C 解析:依题意 e 2= 𝑐 2 𝑎2=1+ 𝑏 2 𝑎2 = ( 2√3 3 ) 2 ,所以𝑏 2 𝑎2 = 1 3 . 由点 F 向渐近线 OA 作垂线,设垂足为 M, 则|FM|=b,|OM|=a,于是 S△OAF= 1 2 ·|OA|·|FM|=1 2 ·2a·b=3√3,因而 a=3,b=√3, 故双曲线 C 的方程为𝑥 2 9 − 𝑦 2 3 =1. 7.设点 F 是双曲线 C: 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的右焦点,点 F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离 的比值为 1∶6,则双曲线的渐近线方程为( ) A.2√2x±y=0 B.x±2√2y=0 C.x±3√2y=0 D.3√2x±y=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案B 解析：双曲线C的右焦点F(c,0)到渐近线y名即bxw=0的距离d@L=些-（同理可得，右焦点 Va2+b2 F到渐近线)一会的距离也为)，国为点F到渐近线的距离与双曲钱的两焦点间的距离的比值为1： 6,所以号=言即c=36,则2=+=96，即a2=8B,于是a=-226,故双由线的渐近线方程为 b -±经=±2N2=±2厅x,即x士2VZy-0. b 8.若直线1经过点(2,0)，且与双曲线x2y2=1只有一个公共点，则符合要求的直线1的条数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析：依题意，直线1的斜率必存在，设其为k则直线1的方程为y=x-2). 联主K2消去整理得1-kr+4x4+1)0, 9x2-y2=1, 当1-2-0，即k=士1时，该方程只有一个解，直线与双曲线只有一个公共点 当1-20时，由=(42)2+41-2(42+1)=0，得k无解，所以特合要求的直线只有2条。 9已知直线)x+1与双曲线号-三-1(a>0b>0交于A,B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1则 该双曲线的离心率等于() A.2 B.v3 C.2 D.5 答案B 解析：向已知得M12设4m风0闪哈-手导-手L两式相或得钙-乎变彩类理得 a2 62 二=设直线AB、直线OM的斜率分别为k4BoM则kaw kow-而k1B=l,k 所以2 63 2,故e=1+-3 10.过点0,1)且斜率为1的直线1交双曲线C兰1于4B两点，0为坐标原点，则△4OB的面积 为一 答案 y=x+1, 解析：由题意可得直线1的方程为y=x+1,联立 2兰-1消去以得325-0解得-1号 分别代入=+1，得n-1+1-0,n+1号不坊令A1,0),B(怎》
3 答案:B 解析:双曲线 C 的右焦点 F(c,0)到渐近线 y= 𝑏 𝑎 x 即 bx-ay=0 的距离 d= |𝑏𝑐| √𝑎2+𝑏 2 = 𝑏𝑐 𝑐 =b(同理可得,右焦点 F 到渐近线 y=- 𝑏 𝑎 x 的距离也为 b),因为点 F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 1∶ 6,所以𝑏 2𝑐 = 1 6 ,即 c=3b,则 c 2=a2+b2=9b 2 ,即 a 2=8b 2 ,于是 a=2√2b,故双曲线的渐近线方程为 y=± 𝑏 𝑎 x=± 𝑏 2√2𝑏 x=± 1 2√2 x,即 x±2√2y=0. 8.若直线 l 经过点(2,0),且与双曲线 x 2 -y 2=1 只有一个公共点,则符合要求的直线 l 的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:依题意,直线 l 的斜率必存在,设其为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-2). 联立{ 𝑦 = 𝑘(𝑥-2), 𝑥 2 -𝑦 2 = 1, 消去 y,整理得(1-k 2 )x 2+4k 2 x-(4k 2+1)=0, 当 1-k 2=0,即 k=±1 时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点. 当 1-k 2≠0 时,由 Δ=(4k 2 ) 2+4(1-k 2 )(4k 2+1)=0,得 k 无解,所以符合要求的直线只有 2 条. 9.已知直线 y=x+1 与双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 的横坐标为 1,则 该双曲线的离心率等于( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 答案:B 解析:由已知得 M(1,2),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 𝑥1 2 𝑎2 − 𝑦 1 2 𝑏 2=1,𝑥2 2 𝑎2 − 𝑦 2 2 𝑏 2=1,两式相减得𝑥1 2 -𝑥2 2 𝑎2 = 𝑦 1 2 -𝑦 2 2 𝑏 2 ,变形整理得 𝑏 2 𝑎2 = 𝑦 1 2 -𝑦 2 2 𝑥1 2 -𝑥2 2 ,设直线 AB、直线 OM 的斜率分别为 kAB,kOM,则 kAB·kOM= 𝑏 2 𝑎2 ,而 kAB=1,kOM=2, 所以𝑏 2 𝑎2=2,故 e=√1 + 𝑏 2 𝑎2 = √3. 10.过点(0,1)且斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C:x 2 - 𝑦 2 4 =1 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△AOB 的面积 为 . 答案: 4 3 解析:由题意可得直线 l 的方程为 y=x+1,联立{ 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 2 - 𝑦 2 4 = 1, 消去 y,得 3x 2 -2x-5=0,解得 x1=-1,x2= 5 3 . 分别代入 y=x+1,得 y1=-1+1=0,y2= 5 3 +1= 8 3 ,不妨令 A(-1,0),B( 5 3 , 8 3 )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则△A0B的面积S0Ab之1×号=美 拓展提高 1已知左、右焦点分别为户的双曲线号-片-1(o>06>0)的一条渐近线与直线1：2-0相互垂直 点P在双曲线上，且PF-PF-3,则双曲线的焦距为() A.6V5 B.6 C.35 D.3 答案：C 解析：双南线号-片-10>0，b>0)的渐近线为一士总气由于一条渐近线与直线任2)0相互垂直，可得 -2,即6=2a由双尚钱的定义可得2a=PF-PFI3,可得a是于是b3,国而cVa2+F= 层+9=乎故焦距为20-35 7 2已知双曲线C号- 片-1(a>0,b>0)的离心率为2，则点(-2V30)到渐近线的距离等于() A.3 B.3 C.2 D.6 答案：A 解析：不妨设浙近线方程为乌，即bx-=0,则点(-2V3.0)到渐近线的距离d-上23弘=2 b2+a2 义因为e--2,所以24 则F=3G-,即b- 所以d-3 3已知椭圆形+分 =1a>b0)与双曲线号-三=00,60)的焦点相同，则双曲线的南近线方程为 () A± By=±V3x C Dy=士VZx 答案：A A
4 则△AOB 的面积 S=1 2 |OA|·|y2|=1 2 ×1× 8 3 = 4 3 . 拓展提高 1.已知左、右焦点分别为 F1,F2 的双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x-2y=0 相互垂直, 点 P 在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为( ) A.6√5 B.6 C.3√5 D.3 答案:C 解析:双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的渐近线为 y=± 𝑏 𝑎 x,由于一条渐近线与直线 l:x-2y=0 相互垂直,可得 𝑏 𝑎 =2,即 b=2a,由双曲线的定义可得 2a=|PF1|-|PF2|=3,可得 a= 3 2 ,于是 b=3,因而 c=√𝑎 2 + 𝑏 2 = √ 9 4 + 9 = 3√5 2 ,故焦距为 2c=3√5. 2.已知双曲线 C: 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,则点(-2√3,0)到渐近线的距离等于( ) A.3 B.√3 C.2 D.6 答案:A 解析:不妨设渐近线方程为 y= 𝑏 𝑎 x,即 bx-ay=0,则点(-2√3,0)到渐近线的距离 d= |-2√3𝑏| √𝑏 2+𝑎2 = 2√3𝑏 𝑐 . 又因为 e= 𝑐 𝑎 =2,所以𝑎 2+𝑏 2 𝑎2 =4, 则 b 2=3a 2= 3 4 c 2 ,即 b=√3 2 c, 所以 d=3. 3.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)与双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1 2 (a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=± √3 3 x B.y=±√3x C.y=± √2 2 x D.y=±√2x 答案:A
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：依题意，椭圆号 若=1a>b>0)与双南线号- 7=a>0,b>0)即号 21 y2 62 1(a>0,b>0)的焦点相 同，可得a2-b女+，即心=3，所以2=马 号故双曲线的渐近钱方程为)一士喜-士票。 3 31 4已知双曲线后-三-1(o>06>0)过点（反V③，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三 角形，则双曲线的方程为( A号-号-1 B号-号- c号yr-1 Dr号-1 答案D 解析：国为实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，所以哈tan60°=V3,即b=V3a因 为双曲钱过点(2，V3),所以导-寻1，所以㎡=1,6=3，故双曲线的方程是兮1 5若直线)-2x与双曲线号-三-o>0b0有公共点则双曲线的离心率的取值范用为 ) A.(1,5) B.(5,+o) c.(1,5⑤] D.[V5,+o) 答案B 解析：依题意应有2，所以二4，所以e>5,即离心率的取值范围是(V5,+0) a2 6已知双曲线R片-1的左、右焦点分别为F,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使e,则 P.E的值为 答案2 解析：因为e,所以由正弦定理得2，又P丽-P丽-2，于是P吓=4，P丽1=2，而 singPF1F2 PESI E1-2c-4,所以根据余弦定理可得cos∠PFF1-2故P.F-FFlcos/PF22F1=2×4x好-2. 挑战剑创新 已知双线c景-卡-1o>0,b0)的两个焦点分别为F(2,0F20,点R3V7在双曲线C上 (1)求双曲线C的方程； 5
5 解析:依题意,椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)与双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1 2 (a>0,b>0)即 𝑥 2 𝑎2 2 − 𝑦 2 𝑏 2 2 =1(a>0,b>0)的焦点相 同,可得 a 2 -b 2= 1 2 a 2+ 1 2 b 2 ,即 a 2=3b 2 ,所以𝑏 𝑎 = √3 3 ,则 𝑏 √2 𝑎 √2 = √3 3 ,故双曲线的渐近线方程为 y=± 𝑏 √2 𝑎 √2 x=± √3 3 x. 4.已知双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三 角形,则双曲线的方程为( ) A. 𝑥 2 9 − 𝑦 2 3 =1 B. 𝑥 2 3 − 𝑦 2 9 =1 C. 𝑥 2 3 -y 2=1 D.x 2 - 𝑦 2 3 =1 答案:D 解析:因为实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,所以𝑏 𝑎 =tan 60°=√3,即 b=√3a.因 为双曲线过点(√2,√3),所以 2 𝑎2 − 3 𝑏 2=1,所以 a 2=1,b 2=3,故双曲线的方程是 x 2 - 𝑦 2 3 =1. 5.若直线 y=2x 与双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1,√5) B.(√5,+∞) C.(1,√5] D.[√5,+∞) 答案:B 解析:依题意应有𝑏 𝑎 >2,所以𝑐 2 -𝑎 2 𝑎2 >4,所以 e>√5,即离心率的取值范围是(√5,+∞). 6.已知双曲线 x 2 - 𝑦 2 3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,若双曲线上一点 P,使 sin∠𝑃𝐹2𝐹1 sin∠𝑃𝐹1𝐹2 =e,则 𝐹⃗⃗ 2 ⃗𝑃 · 𝐹2𝐹1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 答案:2 解析:因为sin∠𝑃𝐹2𝐹1 sin∠𝑃𝐹1𝐹2 =e,所以由正弦定理得|𝑃𝐹1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =2,又|𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ |-|𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ |=2,于是|𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ |=4,|𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ |=2,而 |𝐹1𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c=4,所以根据余弦定理可得 cos∠PF2F1= 1 4 ,故𝐹⃗⃗ 2 ⃗𝑃 · 𝐹2𝐹1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|𝐹⃗⃗ 2 ⃗𝑃 |·|𝐹2 𝐹1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos∠PF2F1=2×4× 1 4 =2. 挑战创新 已知双曲线 C: 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),点 P(3,√7)在双曲线 C 上. (1)求双曲线 C 的方程;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线1与双曲线C相交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为2VZ, 求直线1的方程 解(1)由已知c=2及点P(3,√7)在双曲线C上， (a2+b2=4, 得号.=1 解得a2-2,b2-2, 故双由线C的方程为号-兰-1 (2)由题意，知直线I的斜率存在，设直线1的方程为y=kx+2, (y=kx+2, -1 得(1-k2)rx2-4x-6=0.() 设E(x1,n),Fr2,2,则x1,x2是方程()的两个不等实根 于是1-2≠0，且4=16k2+241-2)>0,得2<3，且2≠1.① 此时+货=品 又Saos=2l00x1-x-2×2×1-l=lx-l-2VZ, 即(x1+2)2.4x12=8, 所以（偿}+益8 解得k=±√Z,适合①式 故直线1的方程为y=VZx+2或y=-V瓦x+2. 6
6 (2)记 O 为坐标原点,过点 Q(0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F,若△OEF 的面积为 2√2, 求直线 l 的方程. 解:(1)由已知 c=2 及点 P(3,√7)在双曲线 C 上, 得{ 𝑎 2 + 𝑏 2 = 4, 3 2 𝑎2 - (√7) 2 𝑏 2 = 1, 解得 a 2=2,b 2=2, 故双曲线 C 的方程为𝑥 2 2 − 𝑦 2 2 =1. (2)由题意,知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+2, 由{ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2, 𝑥 2 2 - 𝑦 2 2 = 1, 得(1-k 2 )x 2 -4kx-6=0.(*) 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1,x2是方程(*)的两个不等实根, 于是 1-k 2≠0,且 Δ=16k 2+24(1-k 2 )>0,得 k 2<3,且 k 2≠1.① 此时 x1+x2= 4𝑘 1-𝑘 2 ,x1x2=- 6 1-𝑘 2 . 又 S△OEF= 1 2 |OQ|·|x1-x2|=1 2 ×2×|x1-x2|=|x1-x2|=2√2, 即(x1+x2) 2 -4x1x2=8, 所以( 4𝑘 1-𝑘 2) 2 + 24 1-𝑘 2=8, 解得 k=±√2,适合①式, 故直线 l 的方程为 y=√2x+2 或 y=-√2x+2