志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 课后·训练提升 基础巩固 1点(1，-1)到直线y=1的距离是() A.V2 品 C.3 D.2 答案D 解析.d兴-2，故选D 2.己知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于() A.3 B.4 C.5 D.6 答案C 解析：设AB边上的高为h, 则S&ABC-之AB卧-h 由已知得4B1=(3-1)2+(1-3)2=2V2 AB边上的高h就是点C到直线AB的距离， AB边所在的直线方程为器=器，即x4-0, 由点到直钱的距高公式得点C到直钱x40的距离为9= √2 因此，Saac2V2×月5. 3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线1ar+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于() A号 B号 c或 D号或 答案：C 1
1 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 课后· 基础巩固 1.点(1,-1)到直线 y=1 的距离是( ) A.√2 B. √2 2 C.3 D.2 答案:D 解析:d=|-1-1| √1+0 =2,故选 D. 2.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC 的面积等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:设 AB 边上的高为 h, 则 S△ABC= 1 2 |AB|·h. 由已知得|AB|=√(3-1) 2 + (1-3) 2=2√2, AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离, AB 边所在的直线方程为𝑦-3 1-3 = 𝑥-1 3-1 ,即 x+y-4=0. 由点到直线的距离公式得点 C 到直线 x+y-4=0 的距离为|-1+0-4| √2 = 5 √2 , 因此,S△ABC= 1 2 ×2√2 × 5 √2 =5. 3.已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值等于( ) A. 7 9 B.- 1 3 C.- 7 9或- 1 3 D.- 7 9 或 1 3 答案:C
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析由点到直线的距离公式可得3-告=a3豐，化简得3a+3到-6@+4，解得a=号或号故选C √a2+1 Va2+1 4到直线2x+1-0的距离等于的直线方程为 A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y-0或2x+y-2=0 D.2x+y=0或2x+y+2=0 答案D 解析：根据题意可设所求直线方程为2x+y+C=0, 因为两条直线间的距高等于得 所以由两条直线间的距离公式得d=G1L=5解得C=0或C=-2, √22+12 5 故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 5.(多选题)若点P在直线3x+5=0上，且点P到直线xy1=0的距离为V2,则点P的坐标可以为 () A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) 答案：AC 解析：设点P的坐标为(x,5-3x) 则由点到直线的距离公式，得5+3x=V2, 12+1)2 即14x-6=2,∴.4x-6=±2， x=1或x=2, ∴.点P的坐标为(1,2)或(2，-1) 6.过两条直线x-y+1=0和x+y1=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案：B 解桥解方程长Y1二8母二 x+y-1=0, 2
2 解析:由点到直线的距离公式可得|-3𝑎-4+1| √𝑎2+1 = |6𝑎+3+1| √𝑎2+1 ,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得 a=- 7 9或- 1 3 .故选 C. 4.到直线 2x+y+1=0 的距离等于√5 5 的直线方程为( ) A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y=0 或 2x+y-2=0 D.2x+y=0 或 2x+y+2=0 答案:D 解析:根据题意可设所求直线方程为 2x+y+C=0, 因为两条直线间的距离等于√5 5 , 所以由两条直线间的距离公式得 d= |𝐶-1| √2 2+1 2 = √5 5 ,解得 C=0 或 C=2, 故所求直线方程为 2x+y=0 或 2x+y+2=0. 5.(多选题)若点 P 在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为√2,则点 P 的坐标可以为 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) 答案:AC 解析:设点 P 的坐标为(x,5-3x), 则由点到直线的距离公式,得 |𝑥-5+3𝑥-1| √1 2+(-1) 2 = √2, 即|4x-6|=2,∴4x-6=±2, ∴x=1 或 x=2, ∴点 P 的坐标为(1,2)或(2,-1). 6.过两条直线 x-y+1=0 和 x+y-1=0 的交点,并与原点的距离等于 1 的直线共有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 答案:B 解析:解方程组{ 𝑥-𝑦 + 1 = 0, 𝑥 + 𝑦-1 = 0, 得{ 𝑥 = 0, 𝑦 = 1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 即两条直线的交点坐标为(0,1) 由交点到原点的距离为1，可知只有1条直线符合条件 7.若直线h:x+ay+6=0与2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则直线1h,2间的距离是() A B吗 C.4v2 D.2V2 答案：B 解折hk÷侣a230期得a-1 直线h的方程为xy+6=0,h的方程为-3x+3少2=0，即xy叶子0. 由两条直线间的距离公式得直线h1,2间的距离是 6引-8 12+-1)2 3 8.设点P在直线x+3y=0上，且点P到原点的距离与点P到直线x+3y2=0的距离相等，则点P的坐标 是 答案()或() 解析：设P(-3a,a), 由题意得，(-3a2+a2=上3a+3a-2 √10 即10如2号解得a-±号 即P()戌P(作) 9.已知点P(x,y)在直线x+4=0上，则x2+y2的最小值是 答案：8 解析：由x2+y2的实际意义，可知它代表直线x+y4=0上的点到原，点的距离的平方，它的最小值即为原 点到该直线的距离的平方， 所以由点到直线的距离公式得+-(0X0)-8 10.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B-3,1)的距离相等的直线1的方程 解法一点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等， ,直线1的斜率存在，设为k 又直线I在y轴上的截距为2，则直线1的方程为y=+2,即-y+2=0
3 即两条直线的交点坐标为(0,1). 由交点到原点的距离为 1,可知只有 1 条直线符合条件. 7.若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则直线 l1,l2 间的距离是( ) A. 4√2 3 B. 8√2 3 C.4√2 D.2√2 答案:B 解析:∵l1∥l2,∴{ 𝑎(𝑎-2)-3 = 0, 2𝑎-6(𝑎-2) ≠ 0, 解得 a=-1. ∴直线 l1 的方程为 x-y+6=0,l2 的方程为-3x+3y-2=0,即 x-y+2 3 =0. 由两条直线间的距离公式得直线 l1,l2 间的距离是 |6- 2 3 | √1 2+(-1) 2 = 8√2 3 . 8.设点 P 在直线 x+3y=0 上,且点 P 到原点的距离与点 P 到直线 x+3y-2=0 的距离相等,则点 P 的坐标 是 . 答案:(- 3 5 , 1 5 ) 或( 3 5 ,- 1 5 ) 解析:设 P(-3a,a), 由题意得√(-3𝑎) 2 + 𝑎 2 = |-3𝑎+3𝑎-2| √10 , 即 10a 2= 2 5 ,解得 a=± 1 5 , 即 P(- 3 5 , 1 5 )或 P( 3 5 ,- 1 5 ). 9.已知点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x 2+y2 的最小值是 . 答案:8 解析:由 x 2+y2 的实际意义,可知它代表直线 x+y-4=0 上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原 点到该直线的距离的平方, 所以由点到直线的距离公式得(x 2+y2 )min=( |1×0+1×0-4| √2 ) 2 =8. 10.求过点 P(0,2)且与点 A(1,1),B(-3,1)的距离相等的直线 l 的方程. 解:法一∵点 A(1,1)与 B(-3,1)到 y 轴的距离不相等, ∴直线 l 的斜率存在,设为 k. 又直线 l 在 y 轴上的截距为 2,则直线 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线1的距离相等， 得1+2=上31+解得k=0或k=1 √k2+1k2+1 .直线1的方程是y=2或xy+2=0. 解法二当直线I过线段AB的中点时，直线1与点A,B的距离相等 AB的中点是(-1,1)，又直线1过点P0,2) .直线1的方程是xy+2=0; 当直线I∥AB时，直线I与点A,B的距离相等 ,直线AB的斜率为0， 直线1的斜率为0， .直线1的方程为y=2 综上所述，满足条件的直线I的方程是x-y叶2=0或y=2 拓展提高 1.已知两条平行直线2x+y4=0与y=-2x-k-2的距离不大于√5，则k的取值范围是() A11,-1] B.[-11,0] C.[-11,-6)U(-6,-1] D.[-1,+o） 答案：C 解析：y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0. 由两条平行直线间的距离公式，得+2+4=担≤V5,且+2≠4，即付-6， √22+12 得-5≤k+6≤5.即-11≤k≤-1.且注-6 2.如果点P到点A侣，0)，B(经，3)及直线x=的距离都相等，那么满足条件的点P有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 答案B 4
4 由点 A(1,1)与 B(-3,1)到直线 l 的距离相等, 得 |𝑘-1+2| √𝑘 2+1 = |-3𝑘-1+2| √𝑘 2+1 ,解得 k=0 或 k=1. ∴直线 l 的方程是 y=2 或 x-y+2=0. 解:法二当直线 l 过线段 AB 的中点时,直线 l与点 A,B 的距离相等. ∵AB 的中点是(-1,1),又直线 l 过点 P(0,2), ∴直线 l 的方程是 x-y+2=0; 当直线 l∥AB 时,直线 l 与点 A,B 的距离相等. ∵直线 AB 的斜率为 0, ∴直线 l 的斜率为 0, ∴直线 l 的方程为 y=2. 综上所述,满足条件的直线 l 的方程是 x-y+2=0 或 y=2. 拓展提高 1.已知两条平行直线 2x+y-4=0 与 y=-2x-k-2 的距离不大于√5,则 k 的取值范围是( ) A.[-11,-1] B.[-11,0] C.[-11,-6)∪(-6,-1] D.[-1,+∞) 答案:C 解析:y=-2x-k-2 可化为 2x+y+k+2=0. 由两条平行直线间的距离公式,得 |𝑘+2+4| √2 2+1 2 = |𝑘+6| √5 ≤ √5,且 k+2≠-4,即 k≠-6, 得-5≤k+6≤5,即-11≤k≤-1,且 k≠-6. 2.如果点 P 到点 A( 1 2 ,0),B( 1 2 ,3)及直线 x=- 1 2的距离都相等,那么满足条件的点 P 有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 答案:B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：因为点P到点4行，0），B(行3)的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线)土直线AB与 直线x=平行，且两条平行线间的距离为1 又1<9=是所以满足条件的点P有1个 3.已知定点P(-2,0)和直线1(1+3)x+(1+2)y=2+5(1∈R),则点P到直线I的距离的最大值为() A.2W3 B.V10 C.V14 D.215 答案B 解析：将(1+3)x+(1+2)y=2+51变形整理得(x+y2)+(3x+25)=0,所以直线1是经过两直线x+2-0 和3江+25-0的交点的直钱系.设两条直钱的交点为Q解方程组化x25.0得交点Q1,,所以 直线1恒过定点Q(1,1),于是点P到直线1的距离d≤PQ1=V1⑩，即点P到直线I的距离的最大值为 10. 4.已知5x+12y=60,则√x2+y2的最小值是 答案号 解析：√x2+y2表示直线5x+12y=60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点的距离中，过原点且 60 垂直于直线5x+12y=60的垂线段的长最小，故最小值为d212=百 5.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有」 条 答案2 解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行， ,.可设直线为y=r+b,即kx-y+b=0 1坠2两式联立解得化：=0，= 故所求直线共有两条 k2+1 Vk2+1 fb=3,2= 6.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线1的方程为 答案：x=-3或7x+24y-75-0 解析：当直线I的斜率不存在时，原点到直线1：x=-3的距离等于3，满足题意， 当直线1的斜率存在时， 设直线1的方程为y-4=kx+3)
5 解析:因为点 P 到点 A( 1 2 ,0),B( 1 2 ,3)的距离相等,所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线 y= 3 2 上.直线 AB 与 直线 x=- 1 2平行,且两条平行线间的距离为 1. 又 1< |𝐴𝐵| 2 = 3 2 ,所以满足条件的点 P 有 1 个. 3.已知定点 P(-2,0)和直线 l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点 P 到直线 l 的距离的最大值为( ) A.2√3 B.√10 C.√14 D.2√15 答案:B 解析:将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ 变形整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以直线 l 是经过两直线 x+y-2=0 和 3x+2y-5=0 的交点的直线系.设两条直线的交点为 Q,解方程组{ 𝑥 + 𝑦-2 = 0, 3𝑥 + 2𝑦-5 = 0, 得交点 Q(1,1),所以 直线 l 恒过定点 Q(1,1),于是点 P 到直线 l的距离 d≤|PQ|=√10,即点 P 到直线 l的距离的最大值为 √10. 4.已知 5x+12y=60,则√𝑥 2 + 𝑦 2的最小值是 . 答案: 60 13 解析:√𝑥 2 + 𝑦 2表示直线 5x+12y=60 上的点到原点的距离,在所有这些点到原点的距离中,过原点且 垂直于直线 5x+12y=60 的垂线段的长最小,故最小值为 d= 60 √5 2+12 2 = 60 13. 5.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 条. 答案:2 解析:由题可知所求直线显然不与 y 轴平行, ∴可设直线为 y=kx+b,即 kx-y+b=0. ∴d1= |𝑘-2+𝑏| √𝑘 2+1 =1,d2= |3𝑘-1+𝑏| √𝑘 2+1 =2,两式联立,解得{ 𝑘1 = 0, 𝑏1 = 3, { 𝑘2 = - 4 3 , 𝑏2 = 5 3 , 故所求直线共有两条. 6.经过点 P(-3,4),且与原点的距离等于 3 的直线 l 的方程为 . 答案:x=-3 或 7x+24y-75=0 解析:当直线 l 的斜率不存在时,原点到直线 l:x=-3 的距离等于 3,满足题意; 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y-4=k(x+3)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 即kc-y+3k+4=0. 则原点到直线1的距离d=Bk+=3, k2+1)2 解得仁品 即直线1的方程为7x+24-75=0, 综上可知，直线1的方程为x=-3或7x+24y-75=0 挑战创新 已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程. 解：设P(x,y)为角A的平分线上任一点， 则点P到直线AB与到直线AC的距离相等， 由已知条件可得直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0, 故由点到直线的距离公式， 有43y13=x+4少16 √42+3月 32+42 即14x-3y-13引=|3x+4少161， 即4x-3y-13=±(3x+4y16), 整理得x-7y+3=0或7x+29=0. 易知x7y+3=0是角A的外角平分线的方程，7x+y-29=0是角A的平分线的方程 6
6 即 kx-y+3k+4=0. 则原点到直线 l 的距离 d= |3𝑘 +4| √𝑘 2+(-1) 2 =3, 解得 k=- 7 24. 即直线 l 的方程为 7x+24y-75=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x=-3 或 7x+24y-75=0. 挑战创新 已知三角形的三个顶点分别是 A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角 A 的平分线的方程. 解:设 P(x,y)为角 A 的平分线上任一点, 则点 P 到直线 AB 与到直线 AC 的距离相等. 由已知条件可得直线 AB,AC 的方程分别是 4x-3y-13=0 和 3x+4y-16=0, 故由点到直线的距离公式, 有 |4𝑥-3𝑦-13| √4 2+(-3) 2 = |3𝑥+4𝑦-16| √3 2+4 2 , 即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|, 即 4x-3y-13=±(3x+4y-16), 整理得 x-7y+3=0 或 7x+y-29=0. 易知 x-7y+3=0 是角 A 的外角平分线的方程,7x+y-29=0 是角 A 的平分线的方程