第2课时 全概率公式与贝叶斯公式 1.已知P(B)=0.7,P4B)=0.5,P4B)=0.4,则P(A)=() A.0.25 B.0.37 C.0.33 D.0.47 答案D 解析已知P(B)=0.7, 则P(E)=1-P(B)=0.3, 则由全概率公式，得P(A)=P(B)P(4B)+P(E)P4E)=0.7×0.5+0.3×0.4=0.47. 2.己知P(B)=0.3,PBL4)=0.9,PBA)=0.2,则P(4)=(） A号 B月 C.0.33 D.0.1 答案A 解析由全概率公式，得P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(B卧A) 即由题知0.3=P(4)×0.9+(1-P(4)×0.2, 解得PA)月 3.书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两名同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文 书的概率是( A号 B 唱 答案B 解析用B表示乙取到语文书，A表示甲取到语文书，则由全概率公式得 PB-PAP(BLA)+P(x2+x是=是 4.从集合{1,2,3,4,5}中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数字，第二次 取到的数作为个位数字，则所得的两位数是偶数的概率是() B.3 0 c 7 案☐A 解析☐用B表示所得的两位数是偶数，A表示第一次取到的数是偶数， 由全概率公式可知P(B)=P(A)R(BA)+PAP万号x+号×子=号 5.某公司老、中、青三类员工的人数和性别比例如下表所示 员工 人数比例 男性人数比例 老年员工 1 5 中年员工 3 1-2 青年员工 五 在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是( A器 B品 c品 吃 答案☐ 解析利月全概率公式可得该员工为男性的概率对×+品×+x号=品
第 2 课时 全概率公式与贝叶斯公式 1.已知 P(B)=0.7,P(A|B)=0.5,P(A|𝐵)=0.4,则 P(A)=( ) A.0.25 B.0.37 C.0.33 D.0.47 答案 D 解析 已知 P(B)=0.7, 则 P(𝐵)=1-P(B)=0.3, 则由全概率公式,得 P(A)=P(B)P(A|B)+P(𝐵)P(A|𝐵)=0.7×0.5+0.3×0.4=0.47. 2.已知 P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|𝐴)=0.2,则 P(A)=( ) A.1 7 B.3 7 C.0.33 D.0.1 答案 A 解析 由全概率公式,得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴), 即由题知 0.3=P(A)×0.9+(1-P(A))×0.2, 解得 P(A)= 1 7 . 3.书架上有 3 本语文书,2 本数学书,甲、乙两名同学先后从书架上任取一本书,则乙取到语文 书的概率是( ) A.2 5 B.3 5 C.4 5 D.1 5 答案 B 解析 用 B 表示乙取到语文书,A 表示甲取到语文书,则由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴)= 3 5 × 2 4 + 2 5 × 3 4 = 3 5 . 4.从集合{1,2,3,4,5}中任取一个数,不放回地连取两次,第一次取到的数作为十位数字,第二次 取到的数作为个位数字,则所得的两位数是偶数的概率是( ) A.2 5 B. 3 10 C.3 5 D. 7 20 答案 A 解析 用 B 表示所得的两位数是偶数,A 表示第一次取到的数是偶数, 由全概率公式可知 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴)= 2 5 × 1 4 + 3 5 × 2 4 = 2 5 . 5.某公司老、中、青三类员工的人数和性别比例如下表所示. 员工 人数比例 男性人数比例 老年员工 1 5 3 5 中年员工 3 10 1 2 青年员工 1 2 2 5 在该公司任选一名员工,该员工为男性的概率是( ) A. 23 100 B. 3 10 C. 47 100 D.1 5 答案 C 解析 利用全概率公式可得该员工为男性的概率是1 5 × 3 5 + 3 10 × 1 2 + 1 2 × 2 5 = 47 100
6.已知P(4)=0.6,P4B)=0.2,则PAB)= 答案b.4 解析☐P(4E)=P(4)-P4B)=0.6-0.2-0.4 7.已知P(4)=0.9,PB4)=0.6,PBA)=0.5,则P4B)= 图案☐彩 解析☐国为P(B)=P(4)PE)+PAPA-0.9x0.6+0.1x0.5=0.59,所以P4E)P P(B) 4@-90-券 P(B) 0.59 8.己知高三某班是否有意向报考师范大学的情况如下表所示， 性别 有报考师范大学的意向 没有报考师范大学的意向 男生 24 女生 10 从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为 图案☐号 解析方法一：由全概率公式可得从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概 率为品×易+碧×兴=是 方法二：由古典概型的概率公式可得高三某班共有50人，有报考师范大学意向的学生共有16 人，即从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为号=是 9.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3 件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率 解设A表示从乙箱中任取一件产品是次品，用B(=0,1,2,3)表示从甲箱中取出的3件产品 中有i件次品，由全概率公式可得 IA-P(Bo)P(AIB)+PBP4B)+PB2jP4B)+P(B:)PWAIB,-)亭X0+g×+9x号 ×得= 10.有三个罐子，1号罐装有2个红球和1个黑球，2号罐装有3个红球和1个黑球，3号罐装有 2个红球和2个黑球某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取出的是红球的概率】 解☐设A表示取出的是红球，B:表示球取自1号罐，=l,23, 则P(B)PAB)子，P4B)子P(AB)-之 据全概率公式可得PA)=P(B)PAB)+P(B)PAB+P(B)P4B)片×+x子+号× 器 11.设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙 厂生产的次品率分别为品品品 (1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率 解1)设A1,A2,A分别表示取得的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，B表示取到的产品为次 品， 则P4)-品P)品P4)品，PA)品PBL)-P4)六
6.已知 P(A)=0.6,P(AB)=0.2,则 P(A𝐵)= . 答案 0.4 解析 P(A𝐵)=P(A)-P(AB)=0.6-0.2=0.4. 7.已知 P(A)=0.9,P(𝐵|A)=0.6,P(𝐵|𝐴)=0.5,则 P(A|𝐵)= . 答案 54 59 解析 因为 P(𝐵)=P(A)P(𝐵|A)+P(𝐴)P(𝐵|𝐴)=0.9×0.6+0.1×0.5=0.59,所以 P(A|𝐵)= 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃(𝐵) = 0.9×0.6 0.59 = 54 59. 8.已知高三某班是否有意向报考师范大学的情况如下表所示. 性别 有报考师范大学的意向 没有报考师范大学的意向 男生 6 24 女生 10 10 从该班任选一名同学,则该同学有报考师范大学意向的概率为 . 答案 8 25 解析 方法一:由全概率公式可得从该班任选一名同学,则该同学有报考师范大学意向的概 率为30 50 × 6 30 + 20 50 × 10 20 = 8 25. 方法二:由古典概型的概率公式可得高三某班共有 50 人,有报考师范大学意向的学生共有 16 人,即从该班任选一名同学,则该同学有报考师范大学意向的概率为16 50 = 8 25. 9.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品,从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解 设 A 表示从乙箱中任取一件产品是次品,用 Bi(i=0,1,2,3)表示从甲箱中取出的 3 件产品 中有 i 件次品,由全概率公式可得 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)= C3 3 C6 3×0+ C3 2 C3 1 C6 3 × C1 1 C6 1 + C3 1 C3 2 C6 3 × C2 1 C6 1 + C3 3 C6 3 × C3 1 C6 1 = 1 4 . 10.有三个罐子,1 号罐装有 2 个红球和 1 个黑球,2 号罐装有 3 个红球和 1 个黑球,3 号罐装有 2 个红球和 2 个黑球.某人从中随机取一罐,再从中任意取出一球,求取出的是红球的概率. 解 设 A 表示取出的是红球,Bi 表示球取自 i 号罐,i=1,2,3, 则 P(Bi)= 1 3 ,P(A|B1)= 2 3 ,P(A|B2)= 3 4 ,P(A|B3)= 1 2 , 根据全概率公式可得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)= 1 3 × 2 3 + 1 3 × 3 4 + 1 3 × 1 2 = 23 36. 11.设某仓库有一批产品,已知其中 50%,30%,20%依次是甲、乙、丙厂生产的,且甲、乙、丙 厂生产的次品率分别为 1 10 , 1 15 , 1 20. (1)现从这批产品中任取一件,求取到次品的概率; (2)若从这批产品中取出一件产品,发现是次品,求该件产品是甲厂生产的概率. 解 (1)设 A1,A2,A3 分别表示取得的这件产品是甲、乙、丙厂生产的,B 表示取到的产品为次 品, 则 P(A1)= 5 10,P(A2)= 3 10,P(A3)= 2 10,P(B|A1)= 1 10,P(B|A2)= 1 15,P(B|A3)= 1 20
由全概率公式，得P(B)-P(ApP(BM)+PL4aPBL)+P()P(BM)品×+品×言+ 品×六008 (2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，该件产品是甲厂生产的概率为 P4B)PA8=PAPL=05x01-0.625 P(B) P(B) 0.08 *12.对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某 故障时，其合格率为30%.每天早晨机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早晨第 一件产品合格时，机器调整良好的概率 解☐设4山1表示机器调整良好，B表示产品合格， 则P41)=0.75,PA1)=0.25,P(B4)=0.9,P(BA1)=0.3, 则由贝叶斯公式可得 P(A1)P(BA1) P4B)PA)PBA1)+PaPB面 0.75×0.9 0.75×0.9+0.25×0.3 =0.9. *13.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及 格的概率也为：若第一次不及格则第二次及格的概率号若已知他第二次已经及格，求他第 一次及格的概率 解☐记A,为该学生第1次及格，=1,2， 所以P(A1)=p,P(AA1)=p P(A1)=1-p.P(A2I)-2 于是由全概率公式可得 P42)=P41)P4lA)+P(A1)P42A1)=p×p+(1-p)×3=×p+I) 由贝叶斯公式可得P(A42) P(A1)P(A2A1) P(A1)P(A2lA1)+P(A1)P(A2A1) pxp 5x×(p+1) -22 p+1
由全概率公式,得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= 5 10 × 1 10 + 3 10 × 1 15 + 2 10 × 1 20=0.08. (2)若从这批产品中取出一件产品,发现是次品,该件产品是甲厂生产的概率为 P(A1|B)= 𝑃(𝐴1𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) 𝑃(𝐵) = 0.5×0.1 0.08 =0.625. * 12.对以往数据分析的结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为 90%,而当机器发生某一 故障时,其合格率为 30%.每天早晨机器开动时,机器调整良好的概率为 75%,试求某日早晨第 一件产品合格时,机器调整良好的概率. 解 设 A1 表示机器调整良好,B 表示产品合格, 则 P(A1)=0.75,P(𝐴1 )=0.25,P(B|A1)=0.9,P(B|𝐴1 )=0.3, 则由贝叶斯公式可得 P(A1|B)= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) = 0.75×0.9 0.75×0.9+0.25×0.3 =0.9. * 13.一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为 p,若第一次及格则第二次及 格的概率也为 p;若第一次不及格则第二次及格的概率为𝑝 2 .若已知他第二次已经及格,求他第 一次及格的概率. 解 记 Ai 为该学生第 i 次及格,i=1,2, 所以 P(A1)=p,P(A2|A1)=p, P(𝐴1 )=1-p,P(A2|𝐴1 )= 𝑝 2 , 于是由全概率公式可得 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(𝐴1 )P(A2|𝐴1 )=p×p+(1-p)×𝑝 2 = 𝑝 2 ×(p+1). 由贝叶斯公式可得 P(A1|A2) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2|𝐴1) 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2|𝐴1)+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2|𝐴1) = 𝑝×𝑝 𝑝 2 ×(𝑝+1) = 2𝑝 𝑝+1