3.3二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 基础巩固 1.若S=(x1)1+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S等于() A.x B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4 答案A 解析S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C9(x-1)A+Cx-1)3+C(x-1P+C(x-1)+C4=[(x- 1)+1]4=x4.故选A 2.设i为虚数单位，则(1+)展开式中的第3项为() A.-20i B.15i C.20 D.-15 答案D 解析☐1+i)展开式中的第3项为C?142=-15. 3.(x-√2y)0的展开式中xy的系数是() A.-840 B.840 C.210 D.-210 答案☐B 解析☐在通项公式T+1=Cox10(-Vy)中，令k=4,即得(x-VZy)10的展开式中xy的系数为 Cto(-V2)4=840, 4(多选题)下列关于+x3)n∈N)的说法正确的是 A.存在n∈N+,展开式中有常数项 B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项 答案]AD 解析☐二项式（促+x)”的展开式的通项公式为T41=C终 由通项公式可知，当n=4k∈N+)和n=4k-l(k∈N+)时，展开式中分别存在常数项和一次项.故 选AD 5.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x的项的系数是() A.-15 B.85 C.-120 D.274 答案☐A 解析从(x-1)x-2)x-3)x-4)(x-5)中的5个因式选择其中4个提供x,余下的提供数字因数，于 是x的系数就是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15 6.(2x+V)5的展开式中，x的系数是 (用数字填写答案) 答案☐0 解析☐2x+V5展开式的通项为T+1=C2x)V=2cx5身 令53得k4 故x3的系数为25-4C4=2C4=10
3.3 二项式定理与杨辉三角 第 1 课时 二项式定理 基础巩固 1.若 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则 S 等于( ) A.x 4 B.x 4+1 C.(x-2)4 D.x 4+4 答案 A 解析 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C4 0 (x-1)4+C4 1 (x-1)3+C4 2 (x-1)2+C4 3 (x-1)+C4 4=[(x- 1)+1]4=x4 .故选 A. 2.设 i 为虚数单位,则(1+i)6 展开式中的第 3 项为( ) A.-20i B.15i C.20 D.-15 答案 D 解析 (1+i)6 展开式中的第 3 项为C6 21 4 i 2=-15. 3.(x-√2y) 10 的展开式中 x 6 y 4 的系数是( ) A.-840 B.840 C.210 D.-210 答案 B 解析 在通项公式 Tk+1=C10 𝑘 x 10-k (-√2y) k中,令 k=4,即得(x-√2y) 10 的展开式中 x 6 y 4 的系数为 C10 4 (-√2) 4=840. 4.(多选题)下列关于( 1 𝑥 + 𝑥 3) 𝑛 (n∈N+)的说法正确的是 ( ) A.存在 n∈N+,展开式中有常数项 B.对任意 n∈N+,展开式中没有常数项 C.对任意 n∈N+,展开式中没有 x 的一次项 D.存在 n∈N+,展开式中有 x 的一次项 答案 AD 解析 二项式( 1 𝑥 + 𝑥 3) 𝑛 的展开式的通项公式为 Tk+1=C𝑛 𝑘 x 4k-n . 由通项公式可知,当 n=4k(k∈N+)和 n=4k-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.故 选 AD. 5.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含 x 4 的项的系数是( ) A.-15 B.85 C.-120 D.274 答案 A 解析 从(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)中的 5 个因式选择其中 4 个提供 x,余下的提供数字因数,于 是 x 4 的系数就是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15. 6.(2x+√𝑥) 5 的展开式中,x 3 的系数是 .(用数字填写答案) 答案 10 解析 (2x+√𝑥) 5 展开式的通项为 Tk+1=C5 𝑘 (2x) 5-k (√𝑥) k=2 5-k C5 𝑘𝑥 5- 𝑘 2. 令 5- 𝑘 2 =3,得 k=4. 故 x 3 的系数为 2 5-4C5 4=2C5 4=10
7(x+)7 的展开式中倒数第三项为 含案☐片 解析☐由于n=7,可知展开式中共有8项， 因此展开式中倒数第3项即为展开式第6项，即-1=C2(侣)°=C2-器 8.已知(x+1)”=”+..+ar3+bxr2+x+1(n∈N+),且a:b=3:1,则n= 答案☐1 解析由已知，得a=C3,b=C-2 即2mm1-2-3,解得n=11. 6n(n-1) 9已知在（反+）”的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56：3，求展开式中的 常数项！ 解☐=11-C(2r=16C特x罗，D-n1=Cr22x=4C%x岁 n-20 由题意知，第5项的系数与第3项的系数之比为16g-票，解得n=10,n-5(舍去) 4c2 10-5k 二项式为（反+是）0，则展开式中的第k+1项为T+1=C(风102x2=2Cx艺，令10,50， 2 解得k=2. 因此展开式中的常数项为C022-180 10若(x)(a>0)的展开式中P的系数为4，常数项为B,且B=4,求a的值 解☐因为展开式中的第+1项为 -c悠()or5x学 令6整-3，则k-2,得4-c6ad-15a 令6.登0，则k4,得B=Cgd=15ad 由B=4A可得2-4，又a>0,所以a=2. 1.已知在(x2)”的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值： (2)展开式中x的系数 (3)含x的整数次幂的项的个数 解☐展开式中的第k+1项为T+1-C略 x)(a-佾cx ()因为第9项为常数项，即当k-8时，2n-款=0，解得n=10 2)令2m--=5,得k=6】 国此的系数为(1⑤)c原。=兽 (3)要使2n,即0,5为整数，只需k为偶数，由于-0,123,9,10，因此符合要求的有6项，分 别为展开式中的第1,3,5,7,9,11项. 拓展提高
7.(2𝑥 + 1 𝑥 2 ) 7 的展开式中倒数第三项为 . 答案 84 𝑥 8 解析 由于 n=7,可知展开式中共有 8 项, 因此展开式中倒数第 3 项即为展开式第 6 项,即 T6=T5+1=C7 5 (2x) 2( 1 𝑥 2 ) 5 = C7 52 2 1 𝑥 8 = 84 𝑥 8 . 8.已知(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+nx+1(n∈N+),且 a∶b=3∶1,则 n= . 答案 11 解析 由已知,得 a=C𝑛 𝑛-3 ,b=C𝑛 𝑛-2 . ∵a∶b=3∶1,∴ C𝑛 𝑛-3 C𝑛 𝑛-2 = C𝑛 3 C𝑛 2 = 3 1 , 即 2×𝑛(𝑛-1)(𝑛-2) 6𝑛(𝑛-1) =3,解得 n=11. 9.已知在(√𝑥 + 2 𝑥 2 ) 𝑛 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 56∶3,求展开式中的 常数项. 解 T5=T4+1=C𝑛 4 (√𝑥) n-42 4 x -8=16C𝑛 4𝑥 𝑛-20 2 ,T3=T2+1=C𝑛 2 (√𝑥) n-22 2 x -4=4C𝑛 2𝑥 𝑛-10 2 . 由题意知,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为16C𝑛 4 4C𝑛 2 = 56 3 ,解得 n=10,n=-5(舍去). 二项式为(√𝑥 + 2 𝑥 2 ) 10 ,则展开式中的第 k+1 项为 Tk+1=C10 𝑘 (√𝑥) 10-k 2 k x -2k=2 k C10 𝑘 𝑥 10-5𝑘 2 ,令 10-5𝑘 2 =0, 解得 k=2. 因此展开式中的常数项为C10 2 2 2=180. 10.若(𝑥- 𝑎 √𝑥 ) 6 (a>0)的展开式中 x 3 的系数为 A,常数项为 B,且 B=4A,求 a 的值. 解 因为展开式中的第 k+1 项为 Tk+1=C6 𝑘 x 6-k (- 𝑎 √𝑥 ) 𝑘 =(-a) k C6 𝑘𝑥 6- 3𝑘 2 , 令 6- 3𝑘 2 =3,则 k=2,得 A=C6 2a 2=15a 2 ; 令 6- 3𝑘 2 =0,则 k=4,得 B=C6 4a 4=15a 4 . 由 B=4A 可得 a 2=4,又 a>0,所以 a=2. 11.已知在( 1 2 𝑥 2 - 1 √𝑥 ) 𝑛 的展开式中,第 9 项为常数项,求: (1)n 的值; (2)展开式中 x 5 的系数; (3)含 x 的整数次幂的项的个数. 解 展开式中的第 k+1 项为 Tk+1=C𝑛 𝑘· ( 1 2 𝑥 2) 𝑛-𝑘 (- 1 √𝑥 ) 𝑘 =(-1)k ( 1 2 ) 𝑛-𝑘 C𝑛 𝑘𝑥 2𝑛- 5 2 𝑘 . (1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n- 5 2 k=0,解得 n=10. (2)令 2n- 5 2 k=5,得 k=6. 因此 x 5 的系数为(-1)6( 1 2 ) 4 C10 6 = 105 8 . (3)要使 2n- 5 2 k,即 40-5𝑘 2 为整数,只需 k 为偶数,由于 k=0,1,2,3,…,9,10,因此符合要求的有 6 项,分 别为展开式中的第 1,3,5,7,9,11 项. 拓展提高
1.设i为虚数单位，则(x+i)的展开式中含x的项为 () A.-15x4 B.15x C.-20ix D.20ix 答案☐A 解析☐二项式(x+i展开式的通项T+1=C哈，则其展开式中含x的项是当6-k=4,即k=2 时，展开式中含x的项为Cx42=.15x4 2.若(x+y)按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x+y=1,1,即x的取值范围是(1，+o) 5 3.(x2+2)(侵-1)'的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案☐D 解析☐第一个国式取2，第二个国式取含是的项得1xC1=5;第一个因式取2，第二个国式 取(-1)5得2×(-1)=-2，展开式的常数项是5+(-2)=3 4在(x2+克4)的展开式中，的系数是( ) A.180 B.20 C.-20 D.-180 答案☐A 解析☐(x2+克4)-2+是4e2+学46+亭4(x2+号-4)(x2+-4)则(x2+是-4) 的展开式中，x的系数是C号·C9.C经(-4)2+C·C41(-4)°=180. 5.在(x+V3y)20的展开式中，系数为有理数的项共有 项 答案 解析☐二项展开式的通项公式Tk+1=C经ox20(V3)=C先(x20-(0≤k20),.要使系数为有理 数，则k必为4的倍数，故k可为0,4,8,12,16,20，共6项. 6若(x+aP(促-1)°的展开式中的常数项为-l,则a的值为 答案☐1或9 解析☐由于x+aP=+2ar+d2,而（促-1）°的展开式的通项为T1=(l)Cg5,其中 k0,12,5.于是（侵-1的展开式中2的系数为(1）C号=-10，x项的系数为()Cg=5,常数项 为-l,国此(x+a2-(侵-1)°的展开式中的常数项为1×10)+2a×5+a2×-l)=-a2+10a-10,依题意- a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9 7.(2+x)1-2x)的展开式中，x2项的系数为
1.设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x 4 的项为 ( ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20ix 4 D.20ix 4 答案 A 解析 二项式(x+i)6 展开式的通项 Tk+1=C6 𝑘 x 6-k i k ,则其展开式中含 x 4 的项是当 6-k=4,即 k=2 时,展开式中含 x 4 的项为C6 2 x 4 i 2=-15x 4 . 2.若(x+y) 9 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且 x+y=1,xy1,即 x 的取值范围是(1,+∞). 3.(x 2+2)( 1 𝑥 2 -1) 5 的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案 D 解析 第一个因式取 x 2 ,第二个因式取含 1 𝑥 2的项得 1×C5 4 (-1)4=5;第一个因式取 2,第二个因式 取(-1)5 得 2×(-1)5=-2,展开式的常数项是 5+(-2)=3. 4.在(𝑥 2 + 4 𝑥 2 -4) 5 的展开式中,x 6 的系数是( ) A.180 B.20 C.-20 D.-180 答案 A 解析 由(𝑥 2 + 4 𝑥 2 -4) 5 =(x 2+ 4 𝑥 2 -4)(x 2+ 4 𝑥 2 -4)·(x 2+ 4 𝑥 2 -4)(𝑥 2 + 4 𝑥 2 -4) (𝑥 2 + 4 𝑥 2 -4),则(𝑥 2 + 4 𝑥 2 -4) 5 的展开式中,x 6 的系数是C5 3 · C2 0 · C2 2·(-4)2+C5 4 · C1 1·41·(-4)0=180. 5.在(x+√3 4 y) 20 的展开式中,系数为有理数的项共有 项. 答案 6 解析 二项展开式的通项公式 Tk+1=C20 𝑘 x 20-k·( √3 4 y) k=𝐶20 k (√3 4 ) k x 20-k y k (0≤k≤20).要使系数为有理 数,则 k 必为 4 的倍数,故 k 可为 0,4,8,12,16,20,共 6 项. 6.若(x+a) 2( 1 𝑥 -1) 5 的展开式中的常数项为-1,则 a 的值为 . 答案 1 或 9 解析 由于(x+a) 2=x2+2ax+a2 ,而( 1 𝑥 -1) 5 的展开式的通项为 Tk+1=(-1)k C5 𝑘·x k-5 ,其中 k=0,1,2,…,5.于是( 1 𝑥 -1) 5 的展开式中 x -2 的系数为(-1)3C5 3=-10,x -1 项的系数为(-1)4C5 4=5,常数项 为-1,因此(x+a) 2·( 1 𝑥 -1) 5 的展开式中的常数项为 1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a 2+10a-10,依题意- a 2+10a-10=-1,解得 a 2 -10a+9=0,即 a=1 或 a=9. 7.(2+x)(1-2x) 5 的展开式中,x 2 项的系数为
答案☐70 解析2项的系数为2C(-2)2+C-2)=70, 8.求证：1+2+22+..+25m-1(n∈N+)能被31整除 匪明☐国为1+2+2++212-21=32.131+1m.1=6931+C片31m 2.1 1+.+C-1.31+C-1=31(C831m-1+C131-2+.+C-1),显然C%31-1+C731m-2+..+C-1为整数， 所以原式能被31整除. 挑战剑新 己知x)=(1+x)mgx)=(1+2x)"(m,n∈N+) (1)若m=3,n=4,求x)gx)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)=x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m,n为何值时，含x2的项的 系数取得最小值？ 解1)当m=3,n=4时x)g(x)=(1+x)3(1+2x) (1+x)3展开式的通项为Cx, (1+2x)展开式的通项为C(2x) x)g(x)的展开式含x2的项为1×C(2x2+C×C2x)+C3x2×1=51x2 (2)hx)=x)+gx)=(1+x)m+(1+2x)”. 因为x)的展开式中含x的项的系数为12， 所以C+2C1=12, 即m+2n=12, 所以m=12-2n. x2的系数为C品+4C2=C22-2n+4C品 212-2mj(1l-2m）+2mn-l =4r-25n+66=4(n-a)2+gneN, 所以当n=3,m=6时，含x2的项的系数取得最小值
答案 70 解析 x 2 项的系数为 2C5 2 (-2)2+C5 1 (-2)=70. 8.求证:1+2+2 2+…+2 5n-1 (n∈N+)能被 31 整除. 证明 因为 1+2+2 2+…+2 5n-1= 2 5𝑛 -1 2-1 =2 5n -1=32n -1=(31+1)n -1=C𝑛 0·31n+C𝑛 1·31n- 1+…+C𝑛 𝑛-1·31+C𝑛 𝑛 -1=31(C𝑛 0·31n-1+C𝑛 1·31n-2+…+C𝑛 𝑛-1 ),显然C𝑛 0·31n-1+C𝑛 1·31n-2+…+C𝑛 𝑛-1为整数, 所以原式能被 31 整除. 挑战创新 已知 f(x)=(1+x) m ,g(x)=(1+2x) n (m,n∈N+). (1)若 m=3,n=4,求 f(x)g(x)的展开式中含 x 2 的项; (2)令 h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含 x 的项的系数为 12,那么当 m,n 为何值时,含 x 2 的项的 系数取得最小值? 解 (1)当 m=3,n=4 时,f(x)g(x)=(1+x) 3 (1+2x) 4 . (1+x) 3 展开式的通项为C3 𝑘 x k , (1+2x) 4 展开式的通项为C4 𝑘 (2x) k , f(x)g(x)的展开式含 x 2 的项为 1×C4 2 (2x) 2+C3 1 x×C4 1 (2x)+C3 2 x 2×1=51x 2 . (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x) m+(1+2x) n . 因为 h(x)的展开式中含 x 的项的系数为 12, 所以C𝑚 1 +2C𝑛 1=12, 即 m+2n=12, 所以 m=12-2n. x 2 的系数为C𝑚 2 +4C𝑛 2 = C12-2𝑛 2 +4C𝑛 2 = 1 2 (12-2n)(11-2n)+2n(n-1) =4n 2 -25n+66=4(𝑛- 25 8 ) 2 + 431 16 ,n∈N+, 所以当 n=3,m=6 时,含 x 2 的项的系数取得最小值