志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第二章过关检测卷 (时间：120分钟满分：150分)》 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.与直线13x-5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为) A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0 C.5x-3y+4-0 D.5x+3y+4=0 答案：A 解析：因为点(x)关于x轴的对称点的坐标为（化，y),所以只需将已知直线中的变量y变为y即可，即为 3x+5y+4=0. 2.己知圆O以点(2，-3)为圆心，以5为半径，则点M(5,-7)与圆0的位置关系是() A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 答案B 解析：由已知得点M(5,-7)到圆心(2,3)的距离d=(5-2)2+(7+3)2-5=r,故点M在圆0上 3.(多选题)已知A(-4,2),B6,4),C(12,6),D2,12)四个点，则下面四个结论正确的是() A.AB∥CD B.AB⊥AD C.AC]=IBDI D.AC⊥BD 答案：ABCD 解桥：k2g-k治号 .4-6 AB∥CD,故A正确； 又uo器=原kak=--l ∴AB⊥AD,故B正确； 又4G=(12+42+(6-2}=V272,1BD1=2-62+(12+42=V27元Mq=BD1,故C正确 又kc2=e244 6-2 2-6 .k4CkBD=-l,AC⊥BD,故D正确 4.已知直线1过圆x2+0-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则1的方程是() A.x+y2=0 B.x-y+2-0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 1
1 第二章过关检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.与直线 l:3x-5y+4=0 关于 x 轴对称的直线的方程为( ) A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0 C.5x-3y+4=0 D.5x+3y+4=0 答案:A 解析:因为点(x,y)关于 x 轴的对称点的坐标为(x,-y),所以只需将已知直线中的变量 y 变为-y 即可,即为 3x+5y+4=0. 2.已知圆 O 以点(2,-3)为圆心,以 5为半径,则点 M(5,-7)与圆 O 的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法判断 答案:B 解析:由已知得点 M(5,-7)到圆心(2,-3)的距离 d=√(5-2) 2 + (-7 + 3) 2=5=r,故点 M 在圆 O 上. 3.(多选题)已知 A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12)四个点,则下面四个结论正确的是( ) A.AB∥CD B.AB⊥AD C.|AC|=|BD| D.AC⊥BD 答案:ABCD 解析:∵kAB= 2-(-4) -4-6 =- 3 5 ,kCD= 12-6 2-12=- 3 5 , ∴AB∥CD,故 A 正确; 又 kAD= 12-2 2-(-4) = 5 3 ,∴kAD·kAB=-1, ∴AB⊥AD,故 B 正确; 又|AC|=√(12 + 4) 2 + (6-2) 2 = √272,|BD|=√(2-6) 2 + (12 + 4) 2 = √272,∴|AC|=|BD|,故 C 正确; 又 kAC= 6-2 12-(-4) = 1 4 ,kBD= 12-(-4) 2-6 =-4, ∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,故 D 正确. 4.已知直线 l 过圆 x 2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析：由已知得圆x2+0-3)2=4的圆心坐标为点(0,3)，又因为直线1与直线x+y+1=0垂直，所以直线1的 斜率k=1.由点斜式得直线1的方程y-3=x-0,化简得y+3=0, 5.已知直线2x-my+1-3m=0,当m变动时，所有直线都通过定点(） A(3) B(,3 c(-3) D(23) 答案D 解析：，(2r+1)-my+3)=0恒成立， 2x+1=0+3=0,解得x=2=-3, “定点为(-3)即所有直线都通过定点(-3 6.若直线y=+1与圆x2+y2+-少9-0的两个交点恰好关于y轴对称，则k=() A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 解析：解方程组，=kx+1, x2+y2+kx-y-9=0, 得(1+2)x2+2kx-9=0,>0. 设直线与圆的两交点的横坐标为，2， x1,2关于y轴对称 2k 六t地=1+k-0小k0 7.(多选题)设点A(-2,3),B3,2),则下列a的值满足直线ar+y+2=0与线段AB有交点的是() A.-2 B.-1 C.3 D.4 答案：ACD 解析：如图， 43-2-式234 直线ar+y+2-0恒过点C(0,-2),斜率为-a. kc-5kc号 2
2 答案:D 解析:由已知得圆 x 2+(y-3)2=4 的圆心坐标为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,所以直线 l 的 斜率 k=1.由点斜式得直线 l 的方程:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 5.已知直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点( ) A.(- 1 2 ,3) B.( 1 2 ,3) C.( 1 2 ,-3) D.(- 1 2 ,-3) 答案:D 解析:∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立, ∴2x+1=0,y+3=0,解得 x=- 1 2 ,y=-3, ∴定点为(- 1 2 ,-3),即所有直线都通过定点(- 1 2 ,-3). 6.若直线 y=kx+1 与圆 x 2+y2+kx-y-9=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称,则 k=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 解析:解方程组{ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑘𝑥-𝑦-9 = 0, 得(1+k2 )x 2+2kx-9=0,Δ>0. 设直线与圆的两交点的横坐标为 x1,x2, ∵x1,x2 关于 y 轴对称, ∴x1+x2=- 2𝑘 1+𝑘 2=0,∴k=0. 7.(多选题)设点 A(-2,3),B(3,2),则下列 a 的值满足直线 ax+y+2=0 与线段 AB 有交点的是( ) A.-2 B.-1 C.3 D.4 答案:ACD 解析:如图, 直线 ax+y+2=0 恒过点 C(0,-2),斜率为-a. kAC=- 5 2 ,kBC= 4 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由题意知-0载号 即a教a 故AC,D符合，B不符合 8.己知直线x-23-0与圆(x-2)2+0y+3)2-9交于E,F两点，则△E0F0是原点)的面积为( A月 B C.25 D 6V5 5 答案D 解析：由已知得该圆的圆心为42，-3)，半径r=3,圆心到直线的距离d+63=5,弦长为 V1+4 272-2丽-4国为原点到直线的距离为0=房所以S4x号= 5 9.已知直线1：ax+4-2-0与直线h:2x-5y+b=0互相垂直，垂足为(1，c),则a+b+c的值为() A.-4 B.20 C.0 D.24 答案：A 解析：由已知得垂足(1,9是两条直线的交点，且4Lk,故号×号二1，∴a=10直线：10x+42=0,将 (1,c)代入直线1，得c=-2;将(1，-2)代入直线2，得b=-12. 故a+b+c=10+(-12)+(-2)=-4 10.若xy满足x2+y2-2x+420=0,则x2+y2的最小值是() A.5-5 B.5-5 C.30-10v5 D.无法确定 答案C 解析：把圆的一般方程化为标准方程得(x-1)2+0y+2)2-25,圆心坐标为C1,-2),半径=5.设Px)是圆C 上一点 .Vx2+y2=(x-02+(y-02 .要使√x2+y2最小，则线段PO最短.如图，当点P,O,C在同一直线上时，POlmin-=PC-OC=5- 12+(-2)2-5-V5,即(x2+y2)min-30-10V5 3
3 由题意知-a>4 3 或-a 5 2 . 故 A,C,D 符合,B 不符合. 8.已知直线 x-2y-3=0 与圆(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则△EOF(O 是原点)的面积为( ) A. 3 2 B. 3 4 C.2√5 D. 6√5 5 答案:D 解析:由已知得该圆的圆心为 A(2,-3),半径 r=3,圆心到直线的距离 d=|2+6-3| √1+4 = √5,弦长为 2√𝑟 2-𝑑2=2√9-5=4.因为原点到直线的距离为|0-0-3| √1+4 = 3 √5 ,所以 S=1 2 ×4× 3 √5 = 6√5 5 . 9.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a+b+c 的值为( ) A.-4 B.20 C.0 D.24 答案:A 解析:由已知得垂足(1,c)是两条直线的交点,且 l1⊥l2,故- 𝑎 4 × 2 5 =-1,∴a=10.∴直线 l1:10x+4y-2=0.将 (1,c)代入直线 l1,得 c=-2;将(1,-2)代入直线 l2,得 b=-12. 故 a+b+c=10+(-12)+(-2)=-4. 10.若 x,y 满足 x 2+y2 -2x+4y-20=0,则 x 2+y2 的最小值是( ) A.√5-5 B.5-√5 C.30-10√5 D.无法确定 答案:C 解析:把圆的一般方程化为标准方程得(x-1)2+(y+2)2=25,圆心坐标为 C(1,-2),半径 r=5.设 P(x,y)是圆 C 上一点. ∵√𝑥 2 + 𝑦 2 = √(𝑥-0) 2 + (𝑦-0) 2 , ∴要使√𝑥 2 + 𝑦 2最小,则线段 PO 最短.如图,当点 P,O,C 在同一直线上时,|PO|min=|PC|-|OC|=5- √1 2 + (-2) 2=5-√5,即(x 2+y2 )min=30-10√5
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 11.如图，已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)肘出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线 OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是() 4 A.2V10 B.6 C.3v3 D.25 答案：A 解析：由题意知点P关于直线AB的对称，点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则由两点间的距离 公式得光线所经过的路程为1CD|-2V1而. 12.当曲线y=1+V4-xZ与直线y=kx-2)+4有两个相异交点时，实数k的取值范围是( A(o,) B(G引 c(侣引 D(债+ 答案C 解析：化简曲线y=1+√4-x2,得x2+0y1)2-4(y≥1)，即曲线是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆（如图），直线 y=kx-2)+4是过定点(2,4)的直线」 P(2,4) 012 设切线PC的斜率为，则切线PC的方程为y=ko(x-2)+4,圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2， 即2-2，解得音 √1+k 又因为直线PA的斜率为子 所以实数k的取值范国是品≤寻 4
4 11.如图,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( ) A.2√10 B.6 C.3√3 D.2√5 答案:A 解析:由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对称点为 C(-2,0),则由两点间的距离 公式得光线所经过的路程为|CD|=2√10. 12.当曲线 y=1+√4-𝑥 2与直线 y=k(x-2)+4 有两个相异交点时,实数 k 的取值范围是( ) A.(0, 5 12) B.( 1 3 , 3 4 ] C.( 5 12 , 3 4 ] D.( 5 12 , + ∞) 答案:C 解析: 化简曲线 y=1+√4-𝑥 2,得 x 2+(y-1)2=4(y≥1),即曲线是以(0,1)为圆心,2 为半径的半圆(如图),直线 y=k(x-2)+4 是过定点(2,4)的直线. 设切线 PC 的斜率为 k0,则切线 PC 的方程为 y=k0(x-2)+4,圆心(0,1)到直线 PC 的距离等于半径 2, 即 |-1-2𝑘0+4| √1+𝑘0 2 =2,解得 k0= 5 12. 又因为直线 PA 的斜率为 k1= 3 4 . 所以实数 k 的取值范围是 5 12<k≤ 3 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.己知M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M的最长的弦所在直线的方程 为 答案xy-3-0 解析：因为直径是圆的最长的弦，所以圆心在所求的直线上 由圆的一极方程得圆心坐标为〔4，)，所以所求的直钱方程为铝=器即x3-0 14.己知直线1与直线y=1,x-y7=0分别相交于点P,Q,线段PQ的中点坐标为(1，-1)，那么直线1的斜率 为 答案号 解析：设P(x,1),则Q2x,-3),将Q的坐标代入x少7=0，得2-x+3-7=0. x=-2,.P(-2,1),Q4,-3) 号 15.对于任意实数k直线(3k+2)x--2=0与圆x2+y2.2x-2x2-0的位置关系是 答案：相切或相交 解析：，将直线(3k+2)x--2=0整理得(3x-y)k+2x-2-0,∴.3x-y-0,2x-2-0,解得x=1,y=3,即直线恒过点 (1,3) 又点(1,3)在圆上，.直线与圆相切或相交 16.若O(0,0),A(4,-1)两点到直线r+2y+6=0的距离相等，则实数a= 答案：-2或4或6 解折：由点到直线的距高公式得后一二器即446~士6解得a0或2或4或6 检验得当a=0时不合题意，故a=2或4或6. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+1=0平行的直线方程1 3 2x-3y-3=0, 解法-由方程组比+y十2二0，得1 ,直线1和直线3x+y1=0平行， 直线1的斜率k=3 “根据点斜式有()-3（ 5
5 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 M(3,0)是圆 x 2+y2 -8x-2y+10=0 内一点,则过点 M 的最长的弦所在直线的方程 为 . 答案:x-y-3=0 解析:因为直径是圆的最长的弦,所以圆心在所求的直线上. 由圆的一般方程得圆心坐标为(4,1),所以所求的直线方程为𝑦-0 1-0 = 𝑥-3 4-3 ,即 x-y-3=0. 14.已知直线 l 与直线 y=1,x-y-7=0 分别相交于点 P,Q,线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),那么直线 l 的斜率 为 . 答案:- 2 3 解析:设 P(x,1),则 Q(2-x,-3),将 Q的坐标代入 x-y-7=0,得 2-x+3-7=0. ∴x=-2,∴P(-2,1),Q(4,-3), ∴kl=- 2 3 . 15.对于任意实数 k,直线(3k+2)x-ky-2=0 与圆 x 2+y2 -2x-2y-2=0 的位置关系是 . 答案:相切或相交 解析:∵将直线(3k+2)x-ky-2=0 整理得(3x-y)k+2x-2=0,∴3x-y=0,2x-2=0,解得 x=1,y=3,即直线恒过点 (1,3). 又点(1,3)在圆上,∴直线与圆相切或相交. 16.若 O(0,0),A(4,-1)两点到直线 ax+a2 y+6=0 的距离相等,则实数 a= . 答案:-2 或 4 或 6 解析:由点到直线的距离公式得 6 √𝑎2+𝑎4 = |4𝑎-𝑎 2+6| √𝑎2+𝑎4 ,即 4a-a 2+6=±6,解得 a=0 或-2 或 4 或 6. 检验得当 a=0 时不合题意,故 a=-2 或 4 或 6. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)求经过两条直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程 l. 解法一由方程组{ 2𝑥-3𝑦-3 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0, 得 { 𝑥 = - 3 5 , 𝑦 = - 7 5 . ∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=-3. ∴根据点斜式有 y-(- 7 5 )=-3[𝑥- (- 3 5 )]
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故所求直线方程为15x+5y叶16=0. 解法二直线1过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴.设直线1的方程为2x-3y 3+(x+y+2)=0,即(1+2)x+(1-3)y+21-3=0. 直线1与直线3x+y-10平行， “受=兴+空解得受 1 从而所求直线方程为15x+5y+16=0. 18.(12分)已知直线1经过点P(-4,-3),且被圆x+1)2+6y+2)2=25截得的弦长为8，求直线1的方程. 解：由已知得圆(x+1)2+0y+2)2=25的圆心坐标为(-1，-2)，半径r=5, ①当直线1的斜率不存在时，其方程为x=4,易知直线x=-4符合题意 ②当直线1的斜率存在时，设其方程为y+3=x+4),即r-y+4k-3=0. 由题意可知 -k+2+4k-3 1+k2 解得k=兰即所求直线方程为4x+3y+25=0. 综上所述，满足题设的直线1的方程为x=-4或4x+3y+25=0, 19.(12分)如图所示，射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交 OA,OB于点A,B,当线段AB的中点C恰好落在直线y字上时，求直线AB的方程 P(1,0)x 解：由题意可得a-tan45°=1ka180-30°)-号所以直钱o-是设4mmBC V3肌，m,所以线段AB的中点C的坐标为(，）由点C在直线)产上，且4P,B三点共线得 min=1.mv3n 2 m-0 i-0 解得m=所以区V国因为P1,0所以s=t高=所以直线 m-1 .√3n-1 la-3+3 气-l),即直线AB的方程为(3V3x-2y-3-V3=0 20.(12分)已知圆Cx2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； 6
6 故所求直线方程为 15x+5y+16=0. 解法二∵直线 l 过两条直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点,∴设直线 l 的方程为 2x-3y- 3+λ(x+y+2)=0,即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线 l 与直线 3x+y-1=0 平行, ∴ 𝜆+2 3 = 𝜆-3 1 ≠ 2𝜆-3 -1 ,解得 λ= 11 2 . 从而所求直线方程为 15x+5y+16=0. 18.(12 分)已知直线 l 经过点 P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25 截得的弦长为 8,求直线 l 的方程. 解:由已知得圆(x+1)2+(y+2)2=25 的圆心坐标为(-1,-2),半径 r=5, ①当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=-4,易知直线 x=-4 符合题意. ②当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+3=k(x+4),即 kx-y+4k-3=0. 由题意可知( |-𝑘+2+4𝑘-3| √1+𝑘 2 ) 2 + ( 8 2 ) 2 =5 2 , 解得 k=- 4 3 .即所求直线方程为 4x+3y+25=0. 综上所述,满足题设的直线 l 的方程为 x=-4 或 4x+3y+25=0. 19.(12 分)如图所示,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于点 A,B,当线段 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= 1 2 x 上时,求直线 AB 的方程. 解:由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=- √3 3 ,所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- √3 3 x.设 A(m,m),B(- √3n,n),所以线段 AB 的中点 C 的坐标为( 𝑚-√3𝑛 2 , 𝑚+𝑛 2 ).由点 C 在直线 y= 1 2 x 上,且 A,P,B 三点共线得 { 𝑚+𝑛 2 = 1 2 · 𝑚-√3𝑛 2 , 𝑚-0 𝑚-1 = 𝑛-0 -√3𝑛-1 , 解得 m=√3,所以 A(√3,√3).因为 P(1,0),所以 kAB=kAP= √3 √3-1 = 3+√3 2 ,所以直线 lAB:y= 3+√3 2 (x-1),即直线 AB 的方程为(3+√3)x-2y-3-√3=0. 20.(12 分)已知圆 C:x 2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)从圆C外一点P(x1)向该圆引一条切线，切点为MO为坐标原点，且有1PM=POL,求使得1PM取 得最小值时点P的坐标 解(1)将圆C的方程整理为圆的标准方程(x+1)2+0-2)2-2 ①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y=红， 圆心到切线的距离为k2=V2,即24k-2=0,解得k=2士V6 Vk2+1 .切线方程为y=-(2+V6)x或y=(2V6)x ②当切线在两坐标轴上的裁距不为0时，设切线方程为x+a=0,:圆心到切线的距离为+叫=V2, √迈 即la-1川=2，解得a=3或-1. .切线方程为x+y+1=0或x+y3=0. 综上所述，所求切线方程为y=(2+√6)x或y=(2-V6)x或x+y+1=0或x+y3=0, (2)·PO=|PM,∴.x子+y-(x1+1)2+0m-2)2-2,即2x1-4+3=0,即点P在直线12x-4y+3=0上.当1PM取 最小值时，IOP取得最小值，此时直线OP⊥I,∴直线OP的方程为2x+y=0, x=-10 3 联立方程组x+y=,0,。解 2x4y+3=0, y= ·点P的坐标为3 10’5 21.(12分)己知圆C的方程为x2+2-2x+4m=0. (1)若点A(m,-2)在圆C的内部，求m的取值范围； (2)若当m=4时： ①设P(xy)为圆C上的一个动点，求(x-4)2+0-2)2的最值： ②问是否存在斜率是1的直线1，使以直线1被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直 线1的方程：若不存在，说明理由 解(1)由已知得圆C的标准方程为(x1)2+y+2)2=5+m,因此m>-5. 再根据点A(m,-2)在圆C的内部，可得(m-1)2+(-2+2)2<5+m,解得-1<m<4. (2)①当m=4时，圆C的方程即(x1)2+0y+2)2=5+4=9,而(x4)2+0y-2)2表示圆C上的点P(x,y)到，点 H(4,2)的距离的平方， 由于HC=(4-1)2+(2+2)2=5,故(x42+02}的最大值为(5+3P=64,(x4+022的最小值为(5- 3)2=4 7
7 (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取 得最小值时点 P 的坐标. 解:(1)将圆 C 的方程整理为圆的标准方程:(x+1)2+(y-2)2=2. ①当切线在两坐标轴上的截距为 0 时,设切线方程为 y=kx, ∴圆心到切线的距离为 |-𝑘-2| √𝑘 2+1 = √2,即 k 2 -4k-2=0,解得 k=2±√6. ∴切线方程为 y=(2+√6)x 或 y=(2-√6)x. ②当切线在两坐标轴上的截距不为 0 时,设切线方程为 x+y-a=0,∴圆心到切线的距离为|-1+2-𝑎| √2 = √2, 即|a-1|=2,解得 a=3 或-1. ∴切线方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 综上所述,所求切线方程为 y=(2+√6)x 或 y=(2-√6)x 或 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (2)∵|PO|=|PM|,∴𝑥1 2 + 𝑦1 2=(x1+1)2+(y1-2)2 -2,即 2x1-4y1+3=0,即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上.当|PM|取 最小值时,|OP|取得最小值,此时直线 OP⊥l,∴直线 OP 的方程为 2x+y=0. 联立方程组{ 2𝑥 + 𝑦 = 0, 2𝑥-4𝑦 + 3 = 0, 解得{ 𝑥 = - 3 10 , 𝑦 = 3 5 , ∴点 P 的坐标为 - 3 10 , 3 5 . 21.(12 分)已知圆 C 的方程为 x 2+y2 -2x+4y-m=0. (1)若点 A(m,-2)在圆 C 的内部,求 m 的取值范围; (2)若当 m=4 时: ①设 P(x,y)为圆 C 上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2 的最值; ②问是否存在斜率是 1 的直线 l,使以直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)由已知得圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5+m,因此 m>-5. 再根据点 A(m,-2)在圆 C 的内部,可得(m-1)2+(-2+2)2<5+m,解得-1<m<4. (2)①当 m=4 时,圆 C 的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x-4)2+(y-2)2表示圆 C 上的点 P(x,y)到点 H(4,2)的距离的平方, 由于|HC|=√(4-1) 2 + (2 + 2) 2=5,故(x-4)2+(y-2)2 的最大值为(5+3)2=64,(x-4)2+(y-2)2的最小值为(5- 3)2=4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ②假设存在直线I满足题设条件，设直线1的方程为y=x+a,圆C的标准方程为(x-1)P+0y+2)?=9,圆心 C1,-2),则弦AB的中点N是两条直线y+a=0与y+2=x-l)的交点，即《.，)，以4B为直径的 2,2 圆经过原点， .4NI=ION, 叉CNLAB,.ICW-L+2+a v2 MM-/9.Gta 2 又oM鹗+(， 由AW=|OW, 解得a=-4或a=1. .存在直线1，其方程为xy4=0或xy+1=0,检验可知符合题意 22.(12分)如图，己知圆心坐标为（√3,1）的圆M与x轴及直线y=√3x分别相切于点A,B,另一圆N与圆 M外切，且与x轴及直线y=V3x分别相切于点C,D. y D (1)求圆M与圆N的方程； (2)过点B作直线MN的平行线I,求直线I被圆N截得的弦的长度 解(1)由于圆M与∠BOA的两边均相切，故，点M到OA及OB的距离均为圆M的半径，则点M在∠ BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O,M,N三点共线，且ON为∠BOA的平分线.因为 点M的坐标为(3,1)， 所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1， 则圆M的方程为(x-V3)2+01)2=1. 设圆N的半径为r,连接MA,NC,如图所示. 则MA⊥x轴，NCLx轴】 故Rt△OAM∽R△OCY可知OM:ON=M:NG,即异，=解得r=3. 8
8 ②假设存在直线 l 满足题设条件,设直线 l 的方程为 y=x+a,圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2),则弦 AB 的中点 N 是两条直线 x-y+a=0 与 y+2=-(x-1)的交点,即 N - 𝑎+1 2 , 𝑎-1 2 ,以 AB 为直径的 圆经过原点, ∴|AN|=|ON|, 又 CN⊥AB,|CN|=|1+2+𝑎| √2 , ∴|AN|=√9- (3+𝑎) 2 2 . 又|ON|=√(- 𝑎+1 2 ) 2 + ( 𝑎-1 2 ) 2 , 由|AN|=|ON|, 解得 a=-4 或 a=1. ∴存在直线 l,其方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0,检验可知符合题意. 22.(12 分)如图,已知圆心坐标为(√3,1)的圆 M 与 x 轴及直线 y=√3x 分别相切于点 A,B,另一圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直线 y=√3x 分别相切于点 C,D. (1)求圆 M 与圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度. 解:(1)由于圆 M 与∠BOA 的两边均相切,故点 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径,则点 M 在∠ BOA 的平分线上,同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 ON 为∠BOA 的平分线.因为 点 M 的坐标为(√3,1), 所以点 M 到 x 轴的距离为 1,即圆 M 的半径为 1, 则圆 M 的方程为(x-√3) 2+(y-1)2=1. 设圆 N 的半径为 r,连接 MA,NC,如图所示. 则 MA⊥x 轴,NC⊥x 轴. 故 Rt△OAM∽Rt△OCN,可知|OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,即 2 3+𝑟 = 1 𝑟 ,解得 r=3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则1OC=3V3,N3V3,3),则圆N的方程为(x-3V3)2+03)2=9. (2)由对称性可知所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，因为点A(3,0), 所以此孩的方程是3V③-x3,即x原V3-0 圆心N到该直钱的距离d=票 √1+W32 则弦长为2Vr2-d2-2 32-(-丽 9
9 则|OC|=3√3,N(3√3,3),则圆 N 的方程为(x-3√3) 2+(y-3)2=9. (2)由对称性可知所求的弦长等于过点 A 与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度,因为点 A(√3,0), 所以此弦的方程是 y= 3-1 3√3-√3 (x-√3)= √3 3 (x-√3),即 x-√3y-√3=0. 圆心 N 到该直线的距离 d=|3√3-√3×3-√3| √1+(√3) 2 = √3 2 , 则弦长为 2√𝑟 2-𝑑2=2√3 2-( √3 2 ) 2 = √33