第3课时 组合与组合数 课后训练提升 基础巩固 1.(多选题)以下四个问题，不属于组合问题的是( A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两名同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13名司机中任选出两名开同一辆车往返甲、乙两地 答案：ABD 解析：只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题 2等f刊 ) B.101 6 D.6 答案D 解析coo+c。 Cioo+Cioo AioL=A3=6. 3.(多选题)下列等式正确的是() A.Cm=- n! ˉm(n-ml B.Cm=Cncm C.Cm1=Cm+Cm-1 D.C=C+出 答案：ABC 解析：A是组合数公式，B,C是组合数性质；Cm mn-m,C+=一m+ n! (m+1)(n-m)l 两者不相等，故D错误 4.若A3=6C4,则n的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 答案B 解析：由题意知nn-1X0n-2）=6-23,化简得3-1，即n=7, 4×3×2×1 5.把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有() AA种 B.C3种 C.C3A种 D.30种 答案B 解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，即C。 6.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教， 每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A.24种 B.10种
第 3 课时 组合与组合数 课后· 基础巩固 1.(多选题)以下四个问题,不属于组合问题的是( ) A.从 3 个不同的小球中,取出 2 个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两名同学安排为同桌 C.在电视节目中,主持人从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星 D.从 13 名司机中任选出两名开同一辆车往返甲、乙两地 答案:ABD 解析:只有从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 2. A101 3 C100 2 +C100 97 等于( ) A. 1 6 B.101 C. 1 107 D.6 答案:D 解析: A101 3 C100 2 +C100 97 = A101 3 C100 2 +C100 3 = A101 3 C101 3 = A3 3=6. 3.(多选题)下列等式正确的是( ) A.C𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑚!(𝑛-𝑚)! B.C𝑛 𝑚 = C𝑛 𝑛-𝑚 C.C𝑛+1 𝑚 = C𝑛 𝑚 + C𝑛 𝑚-1 D.C𝑛 𝑚 = C𝑛+1 𝑚+1 答案:ABC 解析:A 是组合数公式;B,C 是组合数性质;C𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑚!(𝑛-𝑚)! , C𝑛+1 𝑚+1 = (𝑛+1)! (𝑚+1)!(𝑛-𝑚)! , 两者不相等,故 D 错误. 4.若A𝑛 3=6C𝑛 4 ,则 n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B 解析:由题意知 n(n-1)(n-2)=6· 𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3) 4×3×2×1 ,化简得𝑛-3 4 =1,即 n=7. 5.把三张游园票分给 10 个人中的 3 人,则分法有( ) A.A10 3 种 B.C10 3 种 C.C10 3 A10 3 种 D.30 种 答案:B 解析:三张票没区别,从 10 人中选 3 人即可,即C10 3 . 6.将 2 名女教师,4 名男教师分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教, 每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成,则不同的安排方案共有( ) A.24 种 B.10 种
C.12种 D.9种 答案：C 解析：分三步完成：第一步，为甲学校选1名女教师，有C=2种选法；第二步，为甲学 校选2名男教师，有C匠=6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙学校根据分步乘法 计数原理，不同的安排方案共有2×6×1=12种，故选C. 7.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的 数相除，有n个不同的商，则m:n= 答案1：2 解析：，m=C好=6，n=A经=12，∴.m:n=1:2. 8.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的 决赛结果共有 种 答案：60 解析：根据题意，所有可能的决赛结果有CCC3=6×5X4x1=60种。 9.不等式C2-nC2+2C.2+Ch.2 解：因为C-5=C,所以原不等式可化为C>(C22+C2)+(C品2+C2), 即C明>c品1+C品也就是C>c层所以> n! 即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1. 又n∈N,n≥5，所以n≥9，且n∈N 11.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现以下结 果时各有多少种情况？ (1)4只鞋子恰成两双； (2)4只鞋子没有成双的 解(1)根据题意只需选出两双鞋， 故有C。=45种情况 (2)4只鞋若没有成双的，则它们来自4双鞋；先从10双中取4双，有C10种取法，再 从每双中取一只，各有C2种取法，故由分步乘法计数原理知，共有C0C2C2C2C2=3 360种情况 拓展提高 1.满足方程C6x=Cg5的x值为( A.1,3,5,-7 B.1,3
C.12 种 D.9 种 答案:C 解析:分三步完成:第一步,为甲学校选 1 名女教师,有C2 1=2 种选法;第二步,为甲学 校选 2 名男教师,有C4 2=6 种选法;第三步,剩下的 3 名教师到乙学校.根据分步乘法 计数原理,不同的安排方案共有 2×6×1=12 种,故选 C. 7.从 2,3,5,7 四个数中任取两个不同的数相乘,有 m 个不同的积;任取两个不同的 数相除,有 n 个不同的商,则 m∶n= . 答案:1∶2 解析:∵m=C4 2=6,n=A4 2=12,∴m∶n=1∶2. 8.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖、2 名二等奖、3 名三等奖,则可能的 决赛结果共有 种. 答案:60 解析:根据题意,所有可能的决赛结果有C6 1C5 2C3 3=6× 5×4 2 ×1=60 种. 9.不等式C𝑛 2 -n C𝑛-2 3 +2C𝑛-2 2 + C𝑛-2 1 . 解:因为C𝑛 𝑛-5 = C𝑛 5 ,所以原不等式可化为C𝑛 5>(C𝑛-2 3 + C𝑛-2 2 )+(C𝑛-2 2 + C𝑛-2 1 ), 即C𝑛 5 > C𝑛-1 3 + C𝑛-1 2 ,也就是C𝑛 5 > C𝑛 3 ,所以 𝑛! 5!(𝑛-5)! > 𝑛! 3!(𝑛-3)! , 即(n-3)(n-4)>20,解得 n>8 或 n<-1. 又 n∈N* ,n≥5,所以 n≥9,且 n∈N* . 11.10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出 4 只,试求出现以下结 果时各有多少种情况? (1)4 只鞋子恰成两双; (2)4 只鞋子没有成双的. 解:(1)根据题意只需选出两双鞋, 故有C10 2 =45 种情况. (2)4 只鞋若没有成双的,则它们来自 4 双鞋;先从 10 双中取 4 双,有C10 4 种取法,再 从每双中取一只,各有C2 1种取法,故由分步乘法计数原理知,共有C10 4 C2 1C2 1C2 1C2 1=3 360 种情况. 拓展提高 1.满足方程C16 𝑥 2 -𝑥 = C16 5𝑥-5的 x 值为( ) A.1,3,5,-7 B.1,3
C.1,3,5 D.3,5 答案B 解析：由x2-x=5x-5或x2-x=16-(5x-5),得x=1,3,5,-7.因为16≥x2-x,16≥5x-5,当x=5, 7时不满足，所以只有当x=1,3时符合 2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机 各1台，则不同的取法共有( A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 答案：C 解析：分两类完成：第1类，甲型1台、乙型2台，有C4C=4×10=40种取法；第2类， 甲型2台、乙型1台，有CC=6×5=30种取法.根据分类加法计数原理，共有70种 不同的取法 3.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是() A.115 B.90 C.210 D.385 答案：A 解析：依题意根据取法可分为三类：第1类，两个黑球，有CC昭=90种取法；第2类，三 个黑球，有CC6=24种取法；第3类，四个黑球，有C4=1种取法.根据分类加法计数 原理，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115，故选A 4.对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+Cy2=1所表示的不同椭圆 的个数为( A.15 B.7 C.6 D.0 答案：C 解析：因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以Cm可能为 C2,C3,C3,C4,C,C,C,C,C,C4其中C3=C3,C4=C,Cg=C4,C?=C,所以方 程x2+Cy2=1能表示的不同椭圆有6个 5以下三个式子：①C”=黑②A=nA:③C÷C四1=识其中正确的个数 m!i 是 答案3 解析：①式显然成立； ②式中A7=n(n-1)n-2)…(n-m+1),A1=(n-1)n-2…(n-m+1) 所以A7=nA1,故②式成立， 国式C÷Cm+1=器=m世=兰故国式成立 ml.Am+i n-m 6.已知四=坐=四”则m与n的值分别为】 4 答案：14,34
C.1,3,5 D.3,5 答案:B 解析:由 x 2 -x=5x-5 或 x 2 -x=16-(5x-5),得 x=1,3,5,-7.因为 16≥x 2 -x,16≥5x-5,当 x=5,- 7 时不满足,所以只有当 x=1,3 时符合. 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型和乙型电视机 各 1 台,则不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 答案:C 解析:分两类完成:第 1 类,甲型 1 台、乙型 2 台,有C4 1C5 2=4×10=40 种取法;第 2 类, 甲型 2 台、乙型 1 台,有C4 2C5 1=6×5=30 种取法.根据分类加法计数原理,共有 70 种 不同的取法. 3.现有 6 个白球,4 个黑球,任取 4 个,则至少有两个黑球的取法种数是( ) A.115 B.90 C.210 D.385 答案:A 解析:依题意根据取法可分为三类:第 1 类,两个黑球,有C4 2C6 2=90 种取法;第 2 类,三 个黑球,有C4 3C6 1=24 种取法;第 3 类,四个黑球,有C4 4=1 种取法.根据分类加法计数 原理,至少有两个黑球的取法种数是 90+24+1=115,故选 A. 4.对于所有满足 1≤m≤n≤5 的自然数 m,n,方程 x 2+C𝑛 𝑚y 2=1 所表示的不同椭圆 的个数为( ) A.15 B.7 C.6 D.0 答案:C 解析:因为 1≤m≤n≤5,且方程表示椭圆,所以C𝑛 𝑚可能为 C2 1 ,C3 1 , C3 2 ,C4 1 , C4 2 ,C4 3 , C5 1 ,C5 2 , C5 3 , C5 4 ,其中C3 1 = C3 2 ,C4 1 = C4 3 ,C5 1 = C5 4 ,C5 2 = C5 3 ,所以方 程 x 2+C𝑛 𝑚y 2=1 能表示的不同椭圆有 6 个. 5.以下三个式子:①C𝑛 𝑚 = A𝑛 𝑚 𝑚! ;②A𝑛 𝑚=nA𝑛-1 𝑚-1 ;③C𝑛 𝑚 ÷ C𝑛 𝑚+1 = 𝑚+1 𝑛-𝑚 .其中正确的个数 是 . 答案:3 解析:①式显然成立; ②式中A𝑛 𝑚 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1),A𝑛-1 𝑚-1=(n-1)(n-2)…(n-m+1), 所以A𝑛 𝑚 =nA𝑛-1 𝑚-1 ,故②式成立; ③式C𝑛 𝑚 ÷ C𝑛 𝑚+1 = C𝑛 𝑚 C𝑛 𝑚+1 = A𝑛 𝑚·(𝑚+1)! 𝑚!·A𝑛 𝑚+1 = 𝑚+1 𝑛-𝑚 ,故③式成立. 6.已知C𝑛 𝑚-1 2 = C𝑛 𝑚 3 = C𝑛 𝑚+1 4 ,则 m 与 n 的值分别为 . 答案:14,34
n! n! 解析：可得 2(m-1)川(n-m+1)1 3ml(n-m)！ n! u 3ml(n-m)! 4m+1)1(n-m-1)！3 即5m=2n+2, 7m=3n-4, 解得3杂 7.要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选： (2)至多有3男当选 解(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C4=70种选法 (2)至多有3男当选时，应分三类： 第1类是3男2女，有CC种选法： 第2类是2男3女，有C2C种选法， 第3类是1男4女，有CC4种选法 依据分类加法计数原理，共有CC?+C?C+CC4186种选法 挑战创新 某届世界杯举办期间，共有32支球队参加比赛，先分成8个小组进行循环赛，决出 16强（每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强），这16支球队按确 定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出 冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？ 解可分为四类比赛(1)小组循环赛，每组有C=6场，8个小组共有48场：2)八分之 一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组 比赛1场，可以决出8强，共有8场：(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2 支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场：(4)半决赛，根据赛制规则，4强 中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场：（⑤）决赛，2强比赛1场 确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场.综上，根 据分类加法计数原理，总共将进行48+8+4+2+2=64场比赛」
解析:可得{ 𝑛! 2(𝑚-1)!(𝑛-𝑚+1)! = 𝑛! 3𝑚!(𝑛-𝑚)! , 𝑛! 3𝑚!(𝑛-𝑚)! = 𝑛! 4(𝑚+1)!(𝑛-𝑚-1)! , 即{ 5𝑚 = 2𝑛 + 2, 7𝑚 = 3𝑛-4, 解得{ 𝑚 = 14, 𝑛 = 34. 7.要从 6 男 4 女中选出 5 人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至多有 3 男当选. 解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的 8 人中任选 4 人,有C8 4=70 种选法. (2)至多有 3 男当选时,应分三类: 第 1 类是 3 男 2 女,有C6 3C4 2种选法; 第 2 类是 2 男 3 女,有C6 2C4 3种选法; 第 3 类是 1 男 4 女,有C6 1C4 4种选法. 依据分类加法计数原理,共有C6 3C4 2 + C6 2C4 3 + C6 1C4 4=186 种选法. 挑战创新 某届世界杯举办期间,共有 32 支球队参加比赛,先分成 8 个小组进行循环赛,决出 16 强(每队均与本组其他队赛 1 场,各组第一、二名晋级 16 强),这 16 支球队按确 定的程序进行淘汰赛,即八分之一淘汰赛,四分之一淘汰赛,半决赛,决赛,最后决出 冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛? 解可分为四类比赛:(1)小组循环赛,每组有C4 2=6 场,8 个小组共有 48 场;(2)八分之 一淘汰赛,8 个小组的第一、二名组成 16 强,根据赛制规则,每 2 支球队一组,每组 比赛 1 场,可以决出 8 强,共有 8 场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8 强中每 2 支球队一组,每组比赛 1 场,可以决出 4 强,共有 4 场;(4)半决赛,根据赛制规则,4 强 中每 2 支球队一组,每组比赛 1 场,可以决出 2 强,共有 2 场;(5)决赛,2 强比赛 1 场 确定冠、亚军,4 强中的另 2 支球队比赛 1 场决出第三、四名,共有 2 场.综上,根 据分类加法计数原理,总共将进行 48+8+4+2+2=64 场比赛