志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 课后·训练提升 基础巩固 1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，己知3S3=a4-2,32=as-2,则公比g等于() A.3 B.4 C.5 D.6 答案B 解析：由题意，得3S-3S=(a4-2)-(a3-2), 则3as=a4-as,即a4=4as,故g-4 2.已知数列{an}是等比数列，a=2,a5则a1a+aa+…+aa+1等于() A16(1-4) B.16(1-2m) C1-4) D.1-2) 答案：C 解析受-9宁 ∴0am1=4×目1x4x目-252 故a1a2+a2a+a3a4+…+aman+1=23+21+21+23+…+25-2m= 1 14 3.设S为等比数列{a}的前n项和，8atas-0,则等于() A11 B.5 C.-8 D.-11 答案D 解析：设数列{an}的公比为q. ,数列{an}为等比数列，且8a+a5=0, .8am+a2g3=0. a2≠0，q3=-8 1
1 5.3.2 等比数列的前 n 项和 第 1 课时 等比数列的前 n 项和 课后· 基础巩固 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:由题意,得 3S3-3S2=(a4-2)-(a3-2), 则 3a3=a4-a3,即 a4=4a3,故 q= 𝑎4 𝑎3 =4. 2.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5= 1 4 ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1 等于( ) A.16(1-4 -n ) B.16(1-2 -n ) C. 32 3 (1-4 -n ) D. 32 3 (1-2 -n ) 答案:C 解析:∵ 𝑎5 𝑎2 =q3= 1 8 ,∴q= 1 2 . ∴anan+1=4×( 1 2 ) 𝑛-1 ×4×( 1 2 ) 𝑛 =2 5-2n . 故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=2 3+2 1+2 -1+2 -3+…+2 5-2n= 8[1-( 1 4 ) 𝑛 ] 1- 1 4 = 32 3 (1-4 -n ). 3.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 𝑆5 𝑆2 等于( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11 答案:D 解析:设数列{an}的公比为 q. ∵数列{an}为等比数列,且 8a2+a5=0, ∴8a2+a2q 3=0. ∵a2≠0,∴q 3=-8
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org a11-q5) …9-2,= 1-q 1q-1--25 a1(1-q2) 1-q2 1--2)2 n 1-g 4.在等比数列{an}中，己知a1+a2+a=6,a2+a3+a4=-3,则a+a4+a5+a6+a7=() A号 B 19 16 c赠 D 答案：A 解折：2a+=-y- a1+a2+a3 a1(1+q+q2)a1 又a1+a2+a3-a1+a1q+a1q=6,∴.a1=8. ( .a3+a4+a5+a6+a7=S7-a1-a2= 1- 8-(4④号 5.在等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2”l,则a好+a吃+…+a吆等于(） A.(2”-1)2 B2-1 C.4-1 D.34-) 答案：D 解析：设等比数列{an}的前n项和为Sm, 则Sn=2”-1. 易知等比数列{an}的公比q=2,首项a1=1, an=2m-,于是a2=4m1 ∴欧+a吃+…+a2=l+4+42+…+414-l), 6.等比数列{an}的前n项和为Sm,己知a1=l,a1,S2,5成等差数列，则数列{an}的公比 9= Sn= 答案：22-1 解析：由题意可得，2S,=21+)=+5=6,所以q=2,所以S:2=2-1. 1-2 7数列导语…京…的前n项和为 答案2六-品 2
2 ∴q=-2,𝑆5 𝑆2 = 𝑎1 (1-𝑞5) 1-𝑞 𝑎1 (1-𝑞2) 1-𝑞 = 1-𝑞 5 1-𝑞 2 = 1-(-2) 5 1-(-2) 2 = 33 -3 =-11. 4.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则 a3+a4+a5+a6+a7=( ) A. 11 8 B. 19 16 C. 9 8 D. 3 4 答案:A 解析:∵ 𝑎2+𝑎3+𝑎4 𝑎1+𝑎2+𝑎3 = 𝑎2(1+𝑞+𝑞 2 ) 𝑎1(1+𝑞+𝑞 2) = 𝑎2 𝑎1 =q=- 1 2 , 又 a1+a2+a3=a1+a1q+a1q 2=6,∴a1=8. ∴a3+a4+a5+a6+a7=S7-a1-a2= 8[1-(- 1 2 ) 7 ] 1- (- 1 2 ) -8-(-4)= 11 8 . 5.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+…+an=2 n -1,则𝑎1 2 + 𝑎2 2+…+𝑎𝑛 2等于( ) A.(2n -1)2 B. 1 3 (2n -1)2 C.4 n -1 D. 1 3 (4n -1) 答案:D 解析:设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=2 n -1. 易知等比数列{an}的公比 q=2,首项 a1=1, ∴an=2 n-1 ,于是𝑎𝑛 2=4 n-1 , ∴𝑎1 2 + 𝑎2 2+…+𝑎𝑛 2=1+4+4 2+…+4 n-1= 1 3 (4n -1). 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a1,S2,5 成等差数列,则数列{an}的公比 q= ,Sn= . 答案:2 2 n -1 解析:由题意可得,2S2=2(1+q)=1+5=6,所以 q=2,所以 Sn= 1-2 𝑛 1-2 =2 n -1. 7.数列1 2 , 2 4 , 3 8 ,…, 𝑛 2 𝑛,…的前 n 项和为 . 答案:2- 1 2 𝑛-1 − 𝑛 2 𝑛
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：宁+京++…只回 2+是++兴+② 1- -2-品 8.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-2,…,anam-l,…是首项为1，公比为2的等比数列，那么 an=_ 答案21 解析：an-am-1=aql=2m-l, a2-a1=2, 即a3-a2=22 an-an1 2n-1, 相加得am-a1=2+22+…+2m-1=2”-2, 故an=a1+2n-2=2”-1. 9已知在数列{am}中，a=2,as一 (1)若数列{am}是等差数列，求该数列的前6项和S6: (2)若数列{an}是等比数列，求数列{lan}的前n项和Tm. 解(I)数列{am}是等差数列 ∴s6a-3a+as）-3x(2-)=9 (2)数列{an}是等比数列，设它的公比为q, 则q品 解得9=是 a-2()()3 a-⑤ ∴数列{anl}是以4为首项，公比为的等比数列， 3
3 解析:∵Sn= 1 2 + 2 2 2 + 3 2 3+…+ 𝑛 2 𝑛,① 1 2 Sn= 1 2 2 + 2 2 3+…+ 𝑛-1 2 𝑛 + 𝑛 2 𝑛+1 ,② ①-②得, 1 2 Sn= 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3+…+ 1 2 𝑛 − 𝑛 2 𝑛+1 = 1 2 [1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 − 𝑛 2 𝑛+1=1- 1 2 𝑛 − 𝑛 2 𝑛+1 , ∴Sn=2- 1 2 𝑛-1 − 𝑛 2 𝑛. 8.如果数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,……是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那么 an= . 答案:2 n -1 解析:an-an-1=a1q n-1=2 n-1 , 即{ 𝑎2 -𝑎1 = 2, 𝑎3 -𝑎2 = 2 2 , …… 𝑎𝑛-𝑎𝑛-1 = 2 𝑛-1 , 相加得 an-a1=2+2 2+…+2 n-1=2 n -2, 故 an=a1+2 n -2=2 n -1. 9.已知在数列{an}中,a2=2,a5=- 1 4 . (1)若数列{an}是等差数列,求该数列的前 6 项和 S6; (2)若数列{an}是等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵数列{an}是等差数列, ∴S6= 6(𝑎1+𝑎6) 2 =3(a2+a5)=3×(2- 1 4 ) = 21 4 . (2)∵数列{an}是等比数列,设它的公比为 q, 则 q 3= 𝑎5 𝑎2 =- 1 8 , 解得 q=- 1 2 . ∴an=a2q n-2=2×(- 1 2 ) 𝑛-2 =-(- 1 2 ) 𝑛-3 , ∴|an|=( 1 2 ) 𝑛-3 , ∴数列{|an|}是以 4 为首项,公比为1 2的等比数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org -9 T= =8-23-n 1吃 10.己知等差数列{am}的首项为a,公差为b,方程ar2-3x+2=0的解为1和b(b时1). (1)求数列{am}的通项公式， (2)若数列{an}满足bn=an2,求数列{bn}的前n项和Tm. 解：(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,=b, 可得-3+2=0， lab2-3b+2=0, 故a=1,b=2.所以an=2n-1. (2)由(1)得bm=(2n-1)2” 所以Tm=b1+b2+…+bn=12+322+…+(2n-1)2,① 2Tm=122+323+…+(2n-3)2"+(2n-1)2m+1,② ②-①得 Tm=-2(2+22+…+2+(2n-1)2n+1+2=(2n-3)2+1+6. 拓展提高 1在14与号之间插入个数组成一个等比数列，若各项总和为昭，则此数列的项数为( A.4 B.5 c.6 D.7 答案B 解折设a=1a号空-子得得g84(匀)-号 1-g n=3,共5项 2.(多选题)已知数列{am}是等比数列，则下列说法正确的是( ) A数列{a品}是等比数列 B.若a3=2,a=32,则a5=±8 C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列 D.若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则r=-1 答案：AC 解析：由数列{am}是等比数列，知 在A中，：a哈=ig2m2 4
4 ∴Tn= 4[1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 =8-2 3-n . 10.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,方程 ax2 -3x+2=0 的解为 1 和 b(b≠1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}满足 bn=an·2 n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)因为方程 ax2 -3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=b, 可得{ 𝑎-3 + 2 = 0, 𝑎𝑏 2 -3𝑏 + 2 = 0, 故 a=1,b=2.所以 an=2n-1. (2)由(1)得 bn=(2n-1)·2 n , 所以 Tn=b1+b2+…+bn=1·2+3·2 2+…+(2n-1)·2 n ,① 2Tn=1·2 2+3·2 3+…+(2n-3)·2 n+(2n-1)·2 n+1 ,② ②-①得 Tn=-2(2+2 2+…+2 n )+(2n-1)·2 𝑛+1+2=(2n-3)·2 n+1+6. 拓展提高 1.在 14 与 7 8 之间插入 n 个数组成一个等比数列,若各项总和为77 8 ,则此数列的项数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B 解析:设 a1=14,an+2= 7 8 ,∴Sn+2= 14- 7 8 𝑞 1-𝑞 = 77 8 ,解得 q=- 1 2 .∴an+2=14·(- 1 2 ) 𝑛+1 = 7 8 , ∴n=3,共 5 项. 2.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列说法正确的是( ) A.数列{𝑎𝑛 2}是等比数列 B.若 a3=2,a7=32,则 a5=±8 C.若 a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列 D.若数列{an}的前 n 和 Sn=3 𝑛-1+r,则 r=-1 答案:AC 解析:由数列{an}是等比数列,知 在 A 中,∵𝑎𝑛 2 = 𝑎1 2q 2n-2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org :型=g” a Fg2m7是常数， .数列{a}是等比数列，A正确； 在B中，若a=2,am=32, 则a5=V2×32=8,B错误； 在C中，若a1l,数列{an}是递增数列，C正确； 在D中，若数列{an}的前n项和Sm=3m-l+r, 则a1=S=1+r, a2=S2-S=(3+r）-(1+r=2, a3=S3-S2=(9+r）-(3+r)=6, ,a1,a2,a3成等比数列， ∴吃=-a1a,∴4-6(1+r,解得r=D错误， 故选AC 3.已知数列{am}是首项为1的等比数列，Sn是数列{am}的前n项和，且9S,=S%,则数列的前5项和为 () A告或5 B或5 c器 D唱 答案：C 解析：由题意易知公比q1 由9S-S%,得911-g2=11-g 1-q 1- 解得q=2 “数列侣是首项为1，公比为的等比数列 “其前5项和为S= x-份7 17 4.在等比数列{am}中，a2a4=.4,则公比q-一la+a+…+laa= 答案22月 5
5 ∴ 𝑎𝑛+1 2 𝑎𝑛 2 = 𝑎1 2𝑞 2𝑛 𝑎1 2𝑞 2𝑛-2=q2 是常数, ∴数列{𝑎𝑛 2}是等比数列,A 正确; 在 B 中,若 a3=2,a7=32, 则 a5=√2 × 32=8,B 错误; 在 C 中,若 a11,数列{an}是递增数列,C 正确; 在 D 中,若数列{an}的前 n 项和 Sn=3 n-1+r, 则 a1=S1=1+r, a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2, a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6, ∵a1,a2,a3 成等比数列, ∴𝑎2 2=a1a3,∴4=6(1+r),解得 r=- 1 3 ,D 错误. 故选 AC. 3.已知数列{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ 1 𝑎𝑛 }的前 5 项和为 ( ) A. 15 8 或 5 B. 31 16或 5 C. 31 16 D. 15 8 答案:C 解析:由题意易知公比 q≠1. 由 9S3=S6,得 9· 𝑎1(1-𝑞 3 ) 1-𝑞 = 𝑎1(1-𝑞 6 ) 1-𝑞 , 解得 q=2. ∴数列{ 1 𝑎𝑛 }是首项为 1,公比为1 2的等比数列. ∴其前 5 项和为 S5= 1×[1-( 1 2 ) 5 ] 1- 1 2 = 31 16. 4.在等比数列{an}中,a1= 1 2 ,a4=-4,则公比 q= ;|a1|+|a2|+…+|an|= . 答案:-2 2 n-1 - 1 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：设等比数列{am}的公比为g,则a4-a1g,即4-2，解得q-2.等比数列{aa}的公比为1ql-2,则 @-22,所以a+1a2l+…士02+29+2+…+222z2号 5.在等比数列{an}中，公比g=3,Ss0=32,则a2+a4+a6++as0= 答案：24 解析：由题意得，a2+a4+a6+…+a80=3(a1+a3+…+a79), ,前80项之和为32 ∴a+a4+…+as0-子x32-24 6.如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆 如此下去，则前n个内切圆的面积和为 答案(1)π 解析根据条件第一个内切圆的半径为汽3是面积为票第二个内切圆的半径为渠面积为酷…这 些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为弧公比为2故前个内切圆的面积之和为 乳 1- 2- ) 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a-l,a1nneN,求： (1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式， (2)a2+a4十a6+…+a2m的值. 解(1)由a1=l,a+1Sn=l,23,…,得 部 as-3S:-(an+az)g a,ata+a)号 6
6 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q 3 ,即-4= 1 2 q 3 ,解得 q=-2.等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则 |an|=2 n-2 ,所以|a1|+|a2|+…+|an|=2 -1+2 0+2 1+…+2 n-2= 1 2 (1-2 𝑛 ) 1-2 =2 n-1 - 1 2 . 5.在等比数列{an}中,公比 q=3,S80=32,则 a2+a4+a6+…+a80= . 答案:24 解析:由题意得,a2+a4+a6+…+a80=3(a1+a3+…+a79), ∵前 80 项之和为 32, ∴a2+a4+…+a80= 3 4 ×32=24. 6. 如图,作边长为 3 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆. 如此下去,则前 n 个内切圆的面积和为 . 答案:(1- 1 4 𝑛)π 解析:根据条件第一个内切圆的半径为√3 6 ×3= √3 2 ,面积为3π 4 ,第二个内切圆的半径为√3 4 ,面积为3π 16,……这 些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为3π 4 ,公比为1 4 ,故前 n 个内切圆的面积之和为 3π 4 (1- 1 4 𝑛 ) 1- 1 4 = (1- 1 4 𝑛)π. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= 1 3 Sn,n∈N+,求: (1)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (2)a2+a4+a6+…+a2n 的值. 解:(1)由 a1=1,an+1= 1 3 Sn,n=1,2,3,…,得 a2= 1 3 S1= 1 3 a1= 1 3 , a3= 1 3 S2= 1 3 (a1+a2)= 4 9 , a4= 1 3 S3= 1 3 (a1+a2+a3)= 16 27
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由aa+1-anSn-Sa-）3ann≥2)， 得am+1等a(n≥2)， 又m寻 a,自2≥2 1,n=1, .数列{an}的通项公式为an= (2)由()可知，a,a4,m是首项为公比为（食，项数为n的等比数列， a+04+as++2a言”0=（佾）-1/ 挑战创新 设数列{an}的前n项和为Sm,且Sn+an=2. (I)求数列{an}的通项公式， (②若数列6满足，么牛≥2求数列，的通项公式 (3)设ca会求数列{c,的前n项和7. 解：()由S+am-2,得Sn1tam1-2,两式相减，得2a1=a,∴2=常数)， an 又当n=1时，S+a1-2,∴a1=1. 数列{a}是以a1为首项，为公比的等比数列， 1 .an-2wT (2)由b1=a1=l,且当n≥2时，bm6n1+ 3bn-1 得bbr+3b,-3br,即六-六= “数列日是以1为首项，为公差的等差数列， 1=学故 7
7 由 an+1-an= 1 3 (Sn-Sn-1)= 1 3 an(n≥2), 得 an+1= 4 3 an(n≥2), 又 a2= 1 3 , ∴an= 1 3 ( 4 3 ) 𝑛-2 (n≥2). ∴数列{an}的通项公式为 an={ 1,𝑛 = 1, 1 3 ( 4 3 ) 𝑛-2 ,𝑛 ≥ 2. (2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为1 3 ,公比为( 4 3 ) 2 ,项数为 n 的等比数列, ∴a2+a4+a6+…+a2n= 1 3 · 1-( 4 3 ) 2𝑛 1-( 4 3 ) 2 = 3 7 [( 4 3 ) 2𝑛 -1]. 挑战创新 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=a1,bn= 3𝑏𝑛-1 𝑏𝑛-1+3 ,n≥2.求数列{bn}的通项公式; (3)设 cn= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 Sn+an=2,得 Sn+1+an+1=2,两式相减,得 2an+1=an,∴ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 1 2 (常数), 又当 n=1 时,S1+a1=2,∴a1=1. ∴数列{an}是以 a1 为首项, 1 2为公比的等比数列, ∴an= 1 2 𝑛-1 . (2)由 b1=a1=1,且当 n≥2 时,bn= 3𝑏𝑛-1 𝑏𝑛-1 +3 , 得 bnbn-1+3bn=3bn-1,即 1 𝑏𝑛 − 1 𝑏𝑛-1 = 1 3 , ∴数列{ 1 𝑏𝑛 }是以 1 为首项, 1 3 为公差的等差数列, ∴ 1 𝑏𝑛 =1+ 𝑛-1 3 = 𝑛+2 3 ,故 bn= 3 𝑛+2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org c=些)， 3)°4目'+5③…n+2] 3周+4周+5+…619m2月 a目8,6i-gr,e, a4目”2 号32共 8
8 (3)∵cn= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑛+2 3 · ( 1 2 ) 𝑛-1 , ∴Tn= 1 3 3·( 1 2 ) 0 +4·( 1 2 ) 1 +5·( 1 2 ) 2 +…+(n+2)( 1 2 ) 𝑛-1 , 1 2 Tn= 1 3 3·( 1 2 ) 1 +4·( 1 2 ) 2 +5·( 1 2 ) 3 +…+(n+1)( 1 2 ) 𝑛-1 +(n+2)( 1 2 ) 𝑛 , 以上两式相减得1 2 Tn= 1 3 3+( 1 2 ) 1 + ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 3 +…+( 1 2 ) 𝑛-1 -(n+2)( 1 2 ) 𝑛 = 1 3 [3 + 1 2 [1-( 1 2 ) 𝑛-1 ] 1- 1 2 -(𝑛 + 2) ( 1 2 ) 𝑛 ] = 1 3 4-( 1 2 ) 𝑛-1 -(n+2)( 1 2 ) 𝑛 , ∴Tn= 8 3 − 𝑛+4 3·2 𝑛-1