习题课 圆锥曲线 1.化简方程x2+(y+3)2+,x2+(y-32-10为不含根式的形式是( 16 + + 9 25 解析：由题意可知，方程表示，点(x,)与两个定点(0,3)和(0，-3)的距离之和为10.又两定点之间的 距离为6.60)的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离 为() A.V3 B.3 C.v3m D.3m 解析：由已知可得c=V3m+3,不妨设焦点坐标为F(V3m+3,0),一条渐近线方程设为 xVmy=0.由点到直线的距离公式可得dWm+图=V3 √1+m 答案：A 3.设圆C与圆x2+0~3)2-1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为( ） A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析：由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1，故圆C的圆心到点 (0,3)的距离与到直线y=1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线」 答案：A 4.设中心在原点的椭圆C的离心率为，焦点在x轴上，且半长轴长为10若曲线C上任意一 点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于6，则曲线C2的方程为( ) A. 551 B c品 D号-号 答案：A 5.(多选题)设M(x0,w)为抛物线Cx2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，IFM为半 径的圆和抛物线C的准线相交，则的值可以为() A.2 B.1 C.12 D.25 解析：圆心到抛物线准线的距离为p=4. 由已知得，FM>4. 根据抛物线的定义，FM=0+2,则0+2>4，解得w>2, 故选CD 答案：CD 6设F分别为双曲线号-三-1(0>0b>0的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得 2 PF+PF=3b,PFPF-ab,则该双曲线的离心率为 解析：不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，PFPF=2a. 又IPF+lPF2l=3b, 所以IPF22PF2 2 所以PF1PF13+2.3-24=962:4a2=9驰 2 2 4 43 解得3b=4a. 所以离心率为e
习题课——圆锥曲线 1.化简方程√𝑥 2 + (𝑦 + 3) 2 + √𝑥 2 + (𝑦-3) 2=10 为不含根式的形式是( ) A.𝑥 2 25 + 𝑦 2 16=1 B.𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 C.𝑥 2 16 + 𝑦 2 25=1 D.𝑥 2 9 + 𝑦 2 25=1 解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)的距离之和为 10.又两定点之间的 距离为 6,60)的一个焦点,则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离 为( ) A.√3 B.3 C.√3m D.3m 解析:由已知可得 c=√3𝑚 + 3,不妨设焦点坐标为 F(√3𝑚 + 3,0),一条渐近线方程设为 x+√𝑚y=0.由点到直线的距离公式可得 d=|√3𝑚+3| √1+𝑚 = √3. 答案:A 3.设圆 C 与圆 x 2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析:由题意知,圆 C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1,故圆 C 的圆心到点 (0,3)的距离与到直线 y=-1 的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线. 答案:A 4.设中心在原点的椭圆 C1 的离心率为4 5 ,焦点在 x 轴上,且半长轴长为 10.若曲线 C2 上任意一 点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 6,则曲线 C2 的方程为( ) A.𝑥 2 9 − 𝑦 2 55=1 B.𝑥 2 9 − 𝑦 2 7 =1 C. 𝑥 2 100 − 𝑦 2 64=1 D.𝑥 2 7 − 𝑦 2 9 =1 答案:A 5.(多选题)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x 2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半 径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的值可以为( ) A.2 B.1 C.12 D.25 解析:圆心到抛物线准线的距离为 p=4. 由已知得,|FM|>4. 根据抛物线的定义,|FM|=y0+2,则 y0+2>4,解得 y0>2. 故选 CD. 答案:CD 6.设 F1,F2 分别为双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 |PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=9 4 ab,则该双曲线的离心率为 . 解析:不妨设点 P 是右支上的一点,由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a. 又|PF1|+|PF2|=3b, 所以|PF1|=2𝑎+3𝑏 2 ,|PF2|=3𝑏-2𝑎 2 , 所以|PF1|·|PF2|=3𝑏+2𝑎 2 · 3𝑏-2𝑎 2 = 9𝑏 2 -4𝑎 2 4 = 9𝑎𝑏 4 , 解得 3b=4a. 所以离心率为 e= 5 3
答案 7.己知过点M(-2,0)的直线1与椭圆x2+2y2-2交于点P1,P2,线段P1P的中点为P,直线1的斜 率为k1(k0),直线OP的斜率为，则k的值等于」 解析：直线1的方程为y=k1(x+2),将y=k1(x+2)代入x2+2y2=2中，得(1+2k)x2+8kx+8k子-2=0. 设点P(x0J0),则x0 …4k1 1+2k 0=k(x0+2) 2k1 1+2k1 0 1 x0-02k13 .kk=k（2k) 1 答案月 8过抛物线？=4x的焦点作倾斜角为3严的直线，与抛物线交于P,Q两点，0为坐标原点，则△ POQ的面积等于 解析：设P(x1n),Q(x22),F为抛物线的焦点 则F1,0),所以直线PQ的方程为y=-(x-1) 肉或得产440 所以1+2=4，n2=-4,bn-2l=y+2)24y12= (-4)2+42=4V2 所以Sapo020FrM-2l=2√Z 答案2V2 9.己知过抛物线y2-2px(p>0)的焦点，斜率为2VZ的直线交抛物线于A(x1,y),B2,2)x1<2)两 点，且AB=9 (1)求该抛物线的方程： (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若0C=OA+0丽，求1的值 解（直钱AB的方程为）-22(x)代入P-2px得4-5px+r-0,所以+-买 由抛物线的定义，得1AB1=x1+2+p=9, 所以p=4, 故抛物线的方程为y2=8x (2)因为p=4,所以4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,2=4n=-2V2,2=4V2,即A1, 2V2),B(4,4V2) 设C(x3,3),则0元=-(x3,)=(1,-2V2)+(4,4V2)=(41+1,4V21-2V2) 又y3=8x, 即[22(21-1)]2=8(41+1)， 即(21-1)2=41+1， 解得1=0或1=2 10.己知椭圆Cx2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率： (2)设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB,求线段AB长度的最小 解()椭圆C的标准方程为学+兰-1 所以2=4，b2=2,从而c2=2-b2=2. 所以a=2,c=VZ. 故椭圆C的离心率e= a=2 (2)设点A,B的坐标分别为(1,2).(x0w),其中x00. 因为OA⊥OB,所以0A.0丽=0， 即1x0+20=0
答案: 5 3 7.已知过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x 2+2y 2=2 交于点 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,直线 l 的斜 率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值等于 . 解析:直线 l 的方程为 y=k1(x+2),将 y=k1(x+2)代入 x 2+2y 2=2 中,得(1+2𝑘1 2 )x 2+8𝑘1 2 x+8𝑘1 2 -2=0. 设点 P(x0,y0),则 x0= -4𝑘1 2 1+2𝑘1 2 , y0=k1(x0+2)= 2𝑘1 1+2𝑘1 2 . ∴k2= 𝑦 0 -0 𝑥0-0 =- 1 2𝑘1 , ∴k1k2=k1·(- 1 2𝑘1 )=- 1 2 . 答案:- 1 2 8.过抛物线 y 2=4x 的焦点作倾斜角为3π 4 的直线,与抛物线交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,则△ POQ 的面积等于 . 解析:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),F 为抛物线的焦点, 则 F(1,0),所以直线 PQ 的方程为 y=-(x-1). 由{ 𝑦 = -(𝑥-1), 𝑦 2 = 4𝑥 得 y 2+4y-4=0, 所以 y1+y2=-4,y1y2=-4,|y1-y2|=√(𝑦1 + 𝑦2 ) 2 -4𝑦1𝑦2 = √(-4) 2 + 4 2=4√2. 所以 S△POQ= 1 2 |OF|·|y1-y2|=2√2. 答案:2√2 9.已知过抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2√2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两 点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,求 λ 的值. 解:(1)直线 AB 的方程为 y=2√2 (𝑥- 𝑝 2 ),代入 y 2=2px,得 4x 2 -5px+p2=0,所以 x1+x2= 5𝑝 4 . 由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4, 故抛物线的方程为 y 2=8x. (2)因为 p=4,所以 4x 2 -5px+p2=0 可化为 x 2 -5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2√2,y2=4√2,即 A(1,- 2√2),B(4,4√2). 设 C(x3,y3),则⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(x3,y3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又𝑦3 2=8x3, 即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 10.已知椭圆 C:x 2+2y 2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小 值. 解:(1)椭圆 C 的标准方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 2 =1. 所以 a 2=4,b 2=2,从而 c 2=a2 -b 2=2. 所以 a=2,c=√2. 故椭圆 C 的离心率 e= 𝑐 𝑎 = √2 2 . (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =0, 即 tx0+2y0=0
解得1弘 又8+2y呢-4.所以4-r40-2少-(o+}°02-好+呢+等4-6+空+ 244-+骨40<x64 国为学+景40<4，当且仅当64时等号成立所以1B8 所以线段AB长度的最小值为2VZ
解得 t=- 2𝑦 0 𝑥0 . 又𝑥0 2+2𝑦0 2=4,所以|AB|2=(x0-t) 2+(y0-2)2=(𝑥0 + 2𝑦 0 𝑥0 ) 2 +(y0-2)2=𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 4𝑦 0 2 𝑥0 2 +4=𝑥0 2 + 4-𝑥0 2 2 + 2(4-𝑥0 2 ) 𝑥0 2 +4= 𝑥0 2 2 + 8 𝑥0 2+4(0<𝑥0 2≤4). 因为𝑥0 2 2 + 8 𝑥0 2≥4(0<𝑥0 2≤4),当且仅当𝑥0 2=4 时等号成立,所以|AB|2≥8. 所以线段 AB 长度的最小值为 2√2