第二章平面解析几何 2.1坐标法 1.己知点A(1,2),B3,1),则到A,B两点距离相等的点P的坐标(x)满足的条件是( A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 解析：由已知，得PA=PBL, 即x1)2+0y-22 (x-3)2+0y-1)2 故4x-2y=5 答案B 2.已知在y轴上存在一点P到点A(1,2),B(3,7)的距离相等，则该点的纵坐标为() A.4.5 B.2 C.5.3 D.2.5 解析：设P(0y),则由12+(2y)2-32+(7-y2,得y=5.3.故选C 答案：C 3.己知点A,B的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则PA川+PB1的最小值为() A.20 B.12 C.5 D.4 解析：依题意，A(1,1)关于x轴的对称，点为A(1,-1), 则1PA+1PB1的最小值为4'B1=J(4-12+(3+1)2=5。 答案：C 4.已知A(1,2),Ba,6),且4B=5,则a的值为) A.4 B.4或-2 C.-2 D.-4或2 答案B 5.已知点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为 答案：(2,10)或(-10,10) 6.己知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当4B1取得最小值时，实数a的值是 解析由己知，得4B-2(@+要故当a时，MB取得最小值 答案 7.己知△BCD的顶点为B(4,-2),C(6,0),D(2,4),则边BD上的中线CN的长为 解析（方法一）由题意可知，N为BD的中点， 则N3,1),故1CM=(3-62-(1-02=V⑩ (方法二)B(4,-2),C(6,0),D2,4) .BC=(4-6)2+(-2-0)2-22 1CD1=(6-2)2+(0-42-4V2, 1BD1=(4-2)2+(-2-4)2=2V10 BC12+ICDP=BD12 ∴△BCD为直角三角形 'CN为Rt△BCD斜边上的中线， ∴1CNM2BD-1而. 答案√1而 8.已知点A(3,-2),B1,4),线段AC的中点M在y轴上，线段BC的中点N在x轴上.求：
第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 1.已知点 A(1,2),B(3,1),则到 A,B 两点距离相等的点 P 的坐标(x,y)满足的条件是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 解析:由已知,得|PA|=|PB|, 即√(𝑥-1) 2 + (𝑦-2) 2 = √(𝑥-3) 2 + (𝑦-1) 2 , 故 4x-2y=5. 答案:B 2.已知在 y 轴上存在一点 P 到点 A(1,2),B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( ) A.4.5 B.2 C.5.3 D.2.5 解析:设 P(0,y),则由 1 2+(2-y) 2=3 2+(7-y) 2 ,得 y=5.3.故选 C. 答案:C 3.已知点 A,B 的坐标分别为(1,1),(4,3),点 P 在 x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值为( ) A.20 B.12 C.5 D.4 解析:依题意,A(1,1)关于 x 轴的对称点为 A'(1,-1), 则|PA|+|PB|的最小值为|A'B|=√(4-1) 2 + (3 + 1) 2=5. 答案:C 4.已知 A(1,2),B(a,6),且|AB|=5,则 a 的值为( ) A.4 B.4 或-2 C.-2 D.-4 或 2 答案:B 5.已知点 M 到 x 轴和到点 N(-4,2)的距离都等于 10,则点 M 的坐标为 . 答案:(2,10)或(-10,10) 6.已知点 A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取得最小值时,实数 a 的值是 . 解析:由已知,得|AB|=√2(𝑎- 1 2 ) 2 + 49 2 ,故当 a= 1 2时,|AB|取得最小值. 答案: 1 2 7.已知△BCD 的顶点为 B(4,-2),C(6,0),D(2,4),则边 BD 上的中线 CN 的长为 . 解析:(方法一)由题意可知,N 为 BD 的中点, 则 N(3,1),故|CN|=√(3-6) 2 -(1-0) 2 = √10. (方法二)∵B(4,-2),C(6,0),D(2,4), ∴|BC|=√(4-6) 2 + (-2-0) 2=2√2, |CD|=√(6-2) 2 + (0-4) 2=4√2, |BD|=√(4-2) 2 + (-2-4) 2=2√10. ∵|BC|2+|CD|2=|BD|2 , ∴△BCD 为直角三角形. ∵CN 为 Rt△BCD 斜边上的中线, ∴|CN|=1 2 |BD|=√10. 答案:√10 8.已知点 A(3,-2),B(1,4),线段 AC 的中点 M 在 y 轴上,线段 BC 的中点 N 在 x 轴上.求:
(1)点C的坐标； (2)△ABC的面积 解(1)设C(x,y). A3,-2),B1,4) M空)N生，告) 3=0, 由题意可知{2 +4=0 2 解得化二子 故点C的坐标为(-3，-4)， (2)由(1) 知，AC|= -3-32+(4+2)2=2V⑥，1BC=-3-12+(4-42-4V5,4B1=(1-3)2+(4+2)2- 2V10. 因为ACP+ABP=BC2, 所以∠BAC=90° 所以Sa4BC2AB4C=20. 9.己知以点A(-3y)与点Bx,2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点 (1)若OC=1,求点B的坐标； (2)当4C取最小值时，求点B的坐标. 解由题意可知，成C的坐标为（受，生） 因为点C在x轴上 所以y=-2,所以A(-3,-2) )国为0q=1,所以1， 解得x=5或x=1 故点B的坐标为(5,2)或(1,2) 2)因为4q=(受+3)+0+22 ) +4,所以当x=-3时，AC取最小值2，此时，点B 的坐标为(-3,2)
(1)点 C 的坐标; (2)△ABC 的面积. 解:(1)设 C(x,y). ∵A(3,-2),B(1,4), ∴M( 𝑥+3 2 , 𝑦-2 2 ),N( 𝑥+1 2 , 𝑦+4 2 ). 由题意可知{ 𝑥+3 2 = 0, 𝑦+4 2 = 0, 解得{ 𝑥 = -3, 𝑦 = -4. 故点 C 的坐标为(-3,-4). (2)由(1) 知,|AC|=√(-3-3) 2 + (-4 + 2) 2=2√10,|BC|=√(-3-1) 2 + (-4-4) 2=4√5,|AB|=√(1-3) 2 + (4 + 2) 2= 2√10. 因为|AC|2+|AB|2=|BC|2 , 所以∠BAC=90°, 所以 S△ABC= 1 2 |AB||AC|=20. 9.已知以点 A(-3,y)与点 B(x,2)为端点的线段的中点 C 在 x 轴上,O 为原点. (1)若|OC|=1,求点 B 的坐标; (2)当|AC|取最小值时,求点 B 的坐标. 解:由题意可知,点 C 的坐标为( 𝑥-3 2 , 𝑦+2 2 ). 因为点 C 在 x 轴上, 所以 y=-2,所以 A(-3,-2). (1)因为|OC|=1,所以| 𝑥-3 2 |=1, 解得 x=5 或 x=1. 故点 B 的坐标为(5,2)或(1,2). (2)因为|AC|=√( 𝑥-3 2 + 3) 2 + (0 + 2) 2=√( 𝑥+3 2 ) 2 + 4,所以当 x=-3 时,|AC|取最小值 2,此时点 B 的坐标为(-3,2)