1.2.5空间中的距离 1如图，正三棱柱ABC-A1B1C的各棱长均为2，E,F分别为AB,AC的中点，则EF的长是 () A.2 B.3 C.5 D./7 答案C 2.己知平面a的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在a内，则点P(-2,1,4)到a的距离为() A.10 B.3 c D号 案D 3.如图，BOc平面a,AOL平面a,BC⊥OB,BC与平面a的夹角为30°，AO=BO=BC=1,则AC的 长为() 0 B A② B.3 C.v2 D.2V2 解析：如图，作CD⊥平面a于点D,则∠DBC=30°， A ∴.∠BCD=60° ∴.=120°，即=120° ∴.AC12=(A0+0元+BC)2=A0P+10元P+BCP+2A0.0B+20B.BC+2A0.BC=3+2cos 120°=2 ∴AC=VZ 答案：C 4.如图，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BD⊥DC,BD=DC=1,点E在A4上，且 AE-AA12DC⊥BE,则点B到平面EDC的距离为( D A B A 8 C.5 3
1.2.5 空间中的距离 1.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,E,F 分别为 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是 ( ) A.2 B.√3 C.√5 D.√7 答案:C 2.已知平面 α 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在 α 内,则点 P(-2,1,4)到 α 的距离为( ) A.10 B.3 C.8 3 D.10 3 答案:D 3.如图,BO⊂平面 α,AO⊥平面 α,BC⊥OB,BC 与平面 α 的夹角为 30°,AO=BO=BC=1,则 AC 的 长为( ) A.√2 2 B.√3 C.√2 D.2√2 解析:如图,作 CD⊥平面 α 于点 D,则∠DBC=30°, ∴∠BCD=60°. ∴=120°,即=120°. ∴|𝐴𝐶⃗⃗ | 2=(𝐴𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ) 2=|𝐴𝑂⃗⃗⃗ | 2+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ | 2+|𝐵𝐶⃗⃗⃗ | 2+2𝐴𝑂⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ +2𝐴𝑂⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =3+2cos 120°=2. ∴AC=√2. 答案:C 4.如图,在直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,BD⊥DC,BD=DC=1,点 E 在 AA1 上,且 AE=1 4 AA1= 1 2 ,DC1⊥BE,则点 B 到平面 EDC1 的距离为( ) A.√3 3 B.√5 3 C.√5 D.2√5 3
解析：以D为原点，DE,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐标系如 图所示 则D00,0),A(1-1,0),B1,00),C01,0).C1(01,2,1(1-1日) ∴DC=0,1,2,DE=(1,-1, 设平面EDC1的法向量为n=(xy,I), D呢n=xy+i=0, (DCn=y+2=0, 5 解得x=·, y=-2. ∴n(-2,,点B到平面EDC的距离d西= 答案B 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，己知棱A1A=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1的距离 是 解析：以D为原点，DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示 0 则C(0,12,0),D1(0,0,5) 设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x0). 设平面A1BCD1的法向量n=(a,b,c), 由n⊥BC,n⊥CD,得nBC-(a,b,c)(←-x,0,0)=-ar=0, ∴.a=0, nCD1-(a,b,c(0,-12,5)=-12b+5c=0 b-7 .可取n=(0,5,12),B1B-0,0,-5), 点A,到平面ABCD,的距离d-智 m :直线B1G与平面ABCD,的距离为号 答案智 6.在直三棱柱ABC-A1B1C中，∠BAC-AB=AC=AA1=L,已知G和E分别为AB1和CC的中 点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF,则线段DF的长度的取 值范围为 解析：以A为坐标原点，AB,AC,AA的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐标 系，如图所示
解析:以 D 为原点,𝐷𝐵⃗ ⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系如 图所示. 则 D(0,0,0),A(1,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),E 1,-1,1 2 . ∴𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ = 1,-1,1 2 . 设平面 EDC1 的法向量为 n=(x,y,1), 则{ 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ ·𝑛 = 𝑥-𝑦 + 1 2 = 0, 𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛 = 𝑦 + 2 = 0, 解得{ 𝑥 = - 5 2 , 𝑦 = -2. ∴n=(- 5 2 ,-2,1),∴点 B 到平面 EDC1 的距离 d=|𝑛· ⃗𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑛| = 5 2 3√5 2 = √5 3 . 答案:B 5.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知棱 A1A=5,AB=12,则直线 B1C1 与平面 A1BCD1 的距离 是 . 解析:以 D 为原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系, 如图所示. 则 C(0,12,0),D1(0,0,5), 设 B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0). 设平面 A1BCD1 的法向量 n=(a,b,c), 由 n⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,n⊥𝐶𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得 n·𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0, ∴a=0, n·𝐶𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0, ∴b= 5 12c, ∴可取 n=(0,5,12),𝐵⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵⃗ =(0,0,-5), ∴点 B1 到平面 A1BCD1 的距离 d=|𝐵⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 60 13. ∴直线 B1C1 与平面 A1BCD1 的距离为60 13. 答案: 60 13 6.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=π 2 ,AB=AC=AA1=1,已知 G 和 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中 点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点),若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的取 值范围为 . 解析:以 A 为坐标原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标 系,如图所示
则40,00)，1(0,1).G(20,1),x,00),D0y0),GD-(2-1）,EF=(x-1,2) 因为GD1EF,所以x+2-1-0,DF√x2+7=5y2-4y+1=503)2+号 当y时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故 一1不能取故答案为[停) 答案唱) 7.己知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别是AB,BC的中点，求直线 AC到平面PEF的距离， 解：以D为坐标原点，DA,DC,D丽的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示」 1 则D0,0,0),P(0,01),41,00),C0,10),(1,2）,1(31,C) ,AC∥EF,ACt平面PEF,EFC平面PEF, ∴AC∥平面PEF ∴，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离 又A正-（，20}，设n-(x)为平面PEF的一个法向量，则 np呢=x+3y-z=0, 令x=2,得 -EF=-ix+iy=0 )2=-3,故国223)则点A到年而PEF的距离为d西=哥故直钱4C到平面PEF的 距离为罗 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC-90°，AB=BB,=1,直线B1C与平面ABC所成的角为30°， 试求点C到平面AB1C的距离. 解：以A为坐标原，点，AB,AC,AA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标 系，如图所示 B 在Rt△B1BC中，BB1=1,∠B1CB=30°，∴.BC=V3,B1C=2 ∴A(0,0,0),B(1,0,0),C0,V2,0),A(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,V2,1) 设n=(x,y,)是平面AB1C的法向量，则n⊥AB,且n⊥AC 即ng=x+z=0, (nAC=√Zy=0
则 A(0,0,0),E 0,1,1 2 ,G 1 2 ,0,1 ,F(x,0,0),D(0,y,0),𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ = - 1 2 ,y,-1 ,𝐸𝐹⃗⃗ = x,-1,- 1 2 . 因为 GD⊥EF,所以 x+2y-1=0,DF=√𝑥 2 + 𝑦 2 = √5𝑦 2-4𝑦 + 1 = √5(𝑦- 2 5 ) 2 + 1 5 . 当 y= 2 5 时,线段 DF 长度的最小值是√5 5 ;当 y=1 时,线段 DF 长度的最大值是 1,而不包括端点,故 y=1 不能取,故答案为[ √5 5 ,1). 答案:[ √5 5 ,1) 7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD⊥平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求直线 AC 到平面 PEF 的距离. 解:以 D 为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝑃⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系, 如图所示. 则 D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E 1,1 2 ,0 ,F 1 2 ,1,0 . ∵AC∥EF,AC⊄平面 PEF,EF⊂平面 PEF, ∴AC∥平面 PEF. ∴直线 AC 到平面 PEF 的距离即为点 A 到平面 PEF 的距离. 又𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 0,1 2 ,0 ,设 n=(x,y,z)为平面 PEF 的一个法向量,则{ 𝑛·𝑃𝐸⃗⃗⃗ = 𝑥 + 1 2 𝑦-𝑧 = 0, 𝑛·𝐸𝐹⃗⃗ = - 1 2 𝑥 + 1 2 𝑦 = 0. 令 x=2,得 y=2,z=3,故 n=(2,2,3).则点 A 到平面 PEF 的距离为 d=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = √17 17 .故直线 AC 到平面 PEF 的 距离为√17 17 . 8.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 所成的角为 30°, 试求点 C1 到平面 AB1C 的距离. 解:以 A 为坐标原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标 系,如图所示. 在 Rt△B1BC 中,BB1=1,∠B1CB=30°,∴BC=√3,B1C=2, ∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√2,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,√2,1). 设 n=(x,y,z)是平面 AB1C 的法向量,则 n⊥𝐴𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且 n⊥𝐴𝐶⃗⃗ . 即{ 𝑛·𝐴𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥 + 𝑧 = 0, 𝑛·𝐴𝐶⃗⃗ = √2𝑦 = 0
令x9则0-9 in-() 点G到平面4B1C的距离d=男=要
令 x= √2 2 ,则 y=0,z=- √2 2 . ∴n= √2 2 ,0,- √2 2 , ∴点 C1 到平面 AB1C 的距离 d=|𝐵1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| 𝑛 = |- √2 2 | = √2 2