1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间中向量的坐标及向量的坐标运算 基础巩固 1.若a=(a,a2,4s),b=(b1,b2,b3),则2=2=3是a/b的( b1 b2 b3 A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 2.己知a=(-3,1,2),b=(1,x,-1),若ab=2,则x的值为( A.-7 B.7 C.3 D.-3 解析：由-3×1+x+2×(-1)=2,得x=7.故选B. 答案B 3.己知A正=(-3,5,1)，m=(1,1,1),则号A正-m=() A(3好引 B(3子》 c(3) D（3,7) 解析号丽=(2，号 号丽m(3子》 答案：A 4.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 A.√65 B C.4 D.8 解析：a=22+(-1)2+22=3,b=3, ∴0os=22242L= lallbl 3×3 sn=v画 9 ..S=allblsin=V65. 答案：A 5.(多选题)与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2) D(作-1引 答案：CD 6.己知向量a=(2,4,x),b=(2y,2),若1a=6,且a⊥b,则x+y的值为 解析：由a-(2,4,x,得1a-V22+42+x2-6, x=±4 又a⊥b,∴.ab=4+4y+2r=0. 6-支6= x=-4, ∴x+y=1或x+y=-3. 答案：1或-3 7.若向量a=(1,2,2),b(-2,1,1),a与b夹角的余弦值为2则= 解析：因为cosa2 =由题意知>0，所以l 2+5v6 答案：1 8.己知AP-(x+1-3,-1),P元-(-1-x,3-y,4-),且APIP元，AF-2PB,且AP与PE的方向相同，则 X= = ,2= 答案-133 9.己知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),求b的坐标及ab
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第 1 课时 空间中向量的坐标及向量的坐标运算 基础巩固 1.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则“ 𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 = 𝑎3 𝑏3 ”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2.已知 a=(-3,1,2),b=(1,x,-1),若 a·b=2,则 x 的值为( ) A.-7 B.7 C.3 D.-3 解析:由-3×1+x+2×(-1)=2,得 x=7.故选 B. 答案:B 3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-3,5,1),m=(1,1,1),则 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ -m=( ) A.(-3, 7 3 ,- 1 3 ) B.(-3,- 7 3 , 1 3 ) C.(3, 7 3 , 1 3 ) D.(-3,7, 1 3 ) 解析:∵ 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (-2, 10 3 , 2 3 ), ∴ 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ -m=(-3, 7 3 ,- 1 3 ). 答案:A 4.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.√65 B.√65 2 C.4 D.8 解析:∵|a|=√2 2 + (-1) 2 + 2 2=3,|b|=3, ∴cos= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 2×2-1×2+2×1 3×3 = 4 9 ,sin= √65 9 , ∴S=|a||b|sin=√65. 答案:A 5.(多选题)与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2) D.( 1 3 ,-1, 2 3 ) 答案:CD 6.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y 的值为 . 解析:由 a=(2,4,x),得|a|=√2 2 + 4 2 + 𝑥 2=6, ∴x=±4. 又 a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0. ∴{ 𝑥 = 4, 𝑦 = -3 或 { 𝑥 = -4, 𝑦 = 1. ∴x+y=1 或 x+y=-3. 答案:1 或-3 7.若向量 a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a 与 b 夹角的余弦值为1 6 ,则 λ= . 解析:因为 cos=𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 𝜆 √𝜆 2+5·√6 = 1 6 ,由题意知 λ>0,所以 λ=1. 答案:1 8.已知𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x+1,y-3,z-1),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(-1-x,3-y,4-z),且𝐴𝑃⃗⃗⃗ ∥ 𝑃𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗ =2𝑃𝐵⃗⃗⃗ ,且𝐴𝑃⃗⃗⃗ 与𝑃𝐵⃗⃗⃗ 的方向相同,则 x= ,y= ,z= . 答案:-1 3 3 9.已知 a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),求 b 的坐标及 a·b
解.b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)-(2,-4,2), ∴.ab=(1,-2,1)(2,4,2)=1×2+(-2)×(-4)t1×2=2+8+2=12. 10.己知AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AP=(x-4,-2,0),且A,B,C,P四点共面，求x的值 解：由已知，得AB=(-2,2,-2),AC-(-1,6,-8),AP-(x-4,-2,0),且点P在平面ABC内， 则A下=AB+uAC 即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+4-1,6,-8) (x-4=-2λ-u, 得-2=21+64，即x=11. (0=-21-84, 拓展提高 1.己知BA=(0,-3,-3),AC=(-1,1,0),则向量AB与AC的夹角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 解析国为cos丽，C需=万=又丽，心∈0，司所以丽心60 答案：C 2.在△4BC中，∠C=90°，且CB=(-6,1,2,CA=(-3,2,-),则k的值为() A.V10 B.-v10 C.25 D.±√10 解析：CB=(-6,1,2,CA=(-3,2,-, ∴.CB.CA=(-6)×(-3)+2+2k×(-月=-2k2+20=0, .k=±v10 答案D 3.已知a=(cosa,l,sina),b=(sina,l,cosa,则向量a+b与a-b的夹角是() A.90° B.60° C.30° D.0° 解析：，a+b=(cosa+sina,2,sina+cosa,a-b=-(cosa-sina,0,sina-cosa),∴.(a+b)(a-b)=cos2a- sin-a+sin-a-cos a=0. ∴.(a+b)⊥(a-b),∴.a+b与a-b的夹角为90°.故选A 答案：A 4.己知a=(1,2,y,b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则() Ax=1 Bx=2=4 Cx-2=月 D.x=1,y=-1 解析：a=(1,2,-y),b=(x,1,2),.a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2) 1+2x=1(2-x) ,(a+2b)∥(2a-b),∴.存在1∈R使a+2b=2a-b),即4=3入， 解得x= 4-y=1(-2y-2) (y=-4 答案B 5.己知PA-(-x,1,-),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1).若PA1AB,PA1AC,则 x= 解析：PA=(-x,1,-z) AB=(-1,-1,-1),AC-(2,0,1) PA⊥AB,PA⊥AC, ∴.P万.AB=0,PA.AC=0 200g= 答案-12 6.己知P0=(2cosB-3cosa,2sinB-3sina,0),则|P01的取值范围是 解析：P01=(2cosB-3cosa)2+(2sinB-3sina)2+02 =13-12(cosacosB sinasinB)
解:∵b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2), ∴a·b=(1,-2,1)·(2,-4,2)=1×2+(-2)×(-4)+1×2=2+8+2=12. 10.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,6,-8),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x-4,-2,0),且 A,B,C,P 四点共面,求 x 的值. 解:由已知,得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,6,-8),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x-4,-2,0),且点 P 在平面 ABC 内, 则𝐴𝑃⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐶⃗⃗ , 即(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8), 得{ 𝑥-4 = -2𝜆-𝜇, -2 = 2𝜆 + 6𝜇, 0 = -2𝜆-8𝜇, 即 x=11. 拓展提高 1.已知𝐵𝐴⃗⃗⃗ =(0,-3,-3),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,1,0),则向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗ 的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:因为 cos= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | = 3 3√2×√2 = 1 2 ,又∈[0,π],所以=60°. 答案:C 2.在△ABC 中,∠C=90°,且𝐶𝐵⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),𝐶𝐴⃗⃗ =(-3,2,-k),则 k 的值为( ) A.√10 B.-√10 C.2√5 D.±√10 解析:∵𝐶𝐵⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),𝐶𝐴⃗⃗ =(-3,2,-k), ∴𝐶𝐵⃗⃗⃗ · 𝐶𝐴⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k 2+20=0, ∴k=±√10. 答案:D 3.已知 a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析:∵a+b=(cos α+sin α,2,sin α+cos α),a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α),∴(a+b)·(a-b)=cos2α- sin2α+sin2α-cos2α=0, ∴(a+b)⊥(a-b),∴a+b 与 a-b 的夹角为 90°.故选 A. 答案:A 4.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x= 1 3 ,y=1 B.x= 1 2 ,y=-4 C.x=2,y=- 1 4 D.x=1,y=-1 解析:∵a=(1,2,-y),b=(x,1,2),∴a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2). ∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在 λ∈R,使 a+2b=λ(2a-b),即{ 1 + 2𝑥 = 𝜆(2-𝑥), 4 = 3𝜆, 4-𝑦 = 𝜆(-2𝑦-2), 解得{ 𝑥 = 1 2 , 𝑦 = -4. 答案:B 5.已知𝑃𝐴⃗⃗⃗ =(-x,1,-z),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(2,0,1).若𝑃𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝑃𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐶⃗⃗ ,则 x= ,z= . 解析:∵𝑃𝐴⃗⃗⃗ =(-x,1,-z), 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(2,0,1), 𝑃𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝑃𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐶⃗⃗ , ∴𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0,𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =0, ∴{ 𝑥-1 + 𝑧 = 0, -2𝑥-𝑧 = 0, ∴ { 𝑥 = -1, 𝑧 = 2. 答案:-1 2 6.已知𝑃𝑄⃗⃗⃗ =(2cos β-3cos α,2sin β-3sin α,0),则|𝑃𝑄⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 解析:|𝑃𝑄⃗⃗⃗ |=√(2cos𝛽-3cos𝛼) 2 + (2sin𝛽-3sin𝛼) 2 + 0 2 =√13-12(cos𝛼cos𝛽 + sin𝛼sin𝛽)
=√13-12cos(a-B). .'cosa-∈[-l,1], ∴.PQ1的取值范围为[1,5] 答案1,5] 7.已知a=(2,-1,2)与b共线，且满足ab=-18,求向量b. 解：设b=(22,-1,2), 由a-b=41+1+41=-18,得1=-2， 即b=(-4,2,-4). 挑战创新 已知AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2). (I)求以AB,AC为邻边的平行四边形面积： (2)若1a=v3,且a分别与AB,AC垂直，求向量a的坐标 解(1)AB-(-2,-1,3),AC-(1,-3,2)为 c0s- ∴.以AB,AC为邻边的平行四边形面积 S=ABIIACIsin=7V3. x2+y2+z2=3, (2)设a=(xy,),由题意，得-2x-y+3z=0, x-3y+2z=0, x=1,x=-1, 解得y=1,或y=-1, z=1z=-1, 即a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)
=√13-12cos(𝛼-𝛽). ∵cos(α-β)∈[-1,1], ∴|𝑃𝑄⃗⃗⃗ |的取值范围为[1,5]. 答案:[1,5] 7.已知 a=(2,-1,2)与 b 共线,且满足 a·b=-18,求向量 b. 解:设 b=(2λ,-λ,2λ), 由 a·b=4λ+λ+4λ=-18,得 λ=-2, 即 b=(-4,2,-4). 挑战创新 已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,-3,2). (1)求以𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ 为邻边的平行四边形面积; (2)若|a|=√3,且 a 分别与𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗ 垂直,求向量 a 的坐标. 解:(1)∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,-3,2), ∴cos= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | = -2+3+6 √14×√14 = 1 2 , ∴sin= √3 2 , ∴以𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗ 为邻边的平行四边形面积 S=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗ |sin=7√3. (2)设 a=(x,y,z),由题意,得{ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 3, -2𝑥-𝑦 + 3𝑧 = 0, 𝑥-3𝑦 + 2𝑧 = 0, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1 或 { 𝑥 = -1, 𝑦 = -1, 𝑧 = -1, 即 a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1)