2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 基础巩固 1.已知直线1过点P(-2,a),Qa,4),若直线1的斜率为1，则a的值为( A.1 B.4 C.1或4 D.1或-4 解析po=4-l,解得a=1. -2-a 答案：A 2.若斜率为3a-1的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是() A.(-0.) B.(+) C.(3,+o) D.(-0,3) 解析由已知，得3a-1<0,解得a 答案：A 3.设点P在y轴上，点M与点N关于y轴对称，若直线PM的斜率为2，则直线PV的斜率为 () A.2 B.-2 c D月 解析：设P(0,),Ma,b),则N(-a,b) k知w的-2的-2， 0-a a =-2 答案B 4.已知斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7),(-1,b),则a,b的值为( A.a=4,b=0 B.a=-4.b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3 解析由已知，得焉=器-2，解得a46-3 a-3 答案C 5(多选题)若向量a-(侵，)是直线1的一个方向向量，则直线1的法向量可以是() A() B() C.(23) D.(-2,-3) 答案：CD 已知斜率为-的直线上有P(m,3),0(1,2)两点，则实数m= ,该直线的一个方向向量 一个法向量为 解析由己知得号宁解得m2 a(1,》b-(（仔，1)分别为该直线的一个方向向量和一个法向量. 答案-2(1，)（传1）（后两空的答案不唯一） 7.过原点作直线1，使1与连接A(1,1)和(1，-1)两点的线段相交，则直线1的倾斜角0的取值范 围是 答案0u臣) 8.己知点M(5,3)和点N(-3,2),若直线PM和PN的斜率分别为2和二，则点P的坐标 解析设P%则览2器一号 解得x=1y=-5,故P(1,-5)
2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 基础巩固 1.已知直线 l 过点 P(-2,a),Q(a,4),若直线 l 的斜率为 1,则 a 的值为( ) A.1 B.4 C.1 或 4 D.1 或-4 解析:kPQ= 𝑎-4 -2-𝑎 =1,解得 a=1. 答案:A 2.若斜率为 3a-1 的直线的倾斜角是钝角,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞, 1 3 ) B.( 1 3 , + ∞) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 解析:由已知,得 3a-1<0,解得 a<1 3 . 答案:A 3.设点 P 在 y 轴上,点 M 与点 N 关于 y 轴对称,若直线 PM 的斜率为 2,则直线 PN 的斜率为 ( ) A.2 B.-2 C.1 2 D.- 1 2 解析:设 P(0,y0),M(a,b),则 N(-a,b). ∵kPM= 𝑦 0 -𝑏 0-𝑎 =2,∴ 𝑦 0 -𝑏 𝑎 =-2, ∴kPN= 𝑦 0 -𝑏 0-(-𝑎) =-2. 答案:B 4.已知斜率为 2 的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b),则 a,b 的值为( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3 解析:由已知,得 7-5 𝑎-3 = 𝑏-5 -1-3 =2,解得 a=4,b=-3. 答案:C 5.(多选题)若向量 a=( 1 2 ,- 1 3 )是直线 l 的一个方向向量,则直线 l 的法向量可以是( ) A.( 1 2 , 1 3 ) B.(- 1 3 , 1 2 ) C.(2,3) D.(-2,-3) 答案:CD 6.已知斜率为- 1 3的直线上有 P(m,3),Q(1,2)两点,则实数 m= ,该直线的一个方向向量 为 ;一个法向量为 . 解析:由已知,得 3-2 𝑚-1 =- 1 3 ,解得 m=-2. a=(1,- 1 3 ),b=( 1 3 ,1)分别为该直线的一个方向向量和一个法向量. 答案:-2 (1,- 1 3 ) ( 1 3 ,1)(后两空的答案不唯一) 7.过原点作直线 l,使 l 与连接 A(1,1)和 B(1,-1)两点的线段相交,则直线 l 的倾斜角 θ 的取值范 围是 . 答案:[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) 8.已知点 M(5,3)和点 N(-3,2),若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和- 7 4 ,则点 P 的坐标 为 . 解析:设 P(x,y),则 𝑦-3 𝑥-5 =2, 𝑦-2 𝑥+3 =- 7 4 , 解得 x=1,y=-5,故 P(1,-5)
答案(1，-5) 9.己知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是 钝 解直线AB的斜率 =月 直钱BC的斜率c 直线CA的斜率e4=-l. 0.3 由kB>0,kC4>0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBc<0知，直线BC的倾斜角为钝角. 10.己知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,使得直线AB的斜率为2，求出点B的坐标 解若点B在x轴上，则可设B0.0),x0F3.则直线AB的斜率k-042,解得和=l,即B1,0).若点 x0-3 B在y轴上，则可设B0,w)w4.则直线AB的斜率人0-2，解得0=2即B0,2),故点B的 坐标为(1,0)或(0，-2) 拓展提高 1若直线1的一个方向向量与y轴的正方向成60°角，则直线1的倾斜角为() A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 答案C 2.若直线1过点A(1,2),且不过第四象限，则直线1的斜率k的最大值是() A.0 B.1 D.2 解析：如图，过点A作直线1与x轴平行，将直线I绕点A按逆时针方向旋转，可知当直线I过点 O时，1的斜率k取最大值，此时k=2. 答案D 3.(多选题)己知直线11的斜率为1，直线2的斜率为a,其中a为实数，当两直线的夹角在区间 (0,量)内变动时，a的取值可能是( B23 C.3 D 3 4 解析：由题意可知，山的倾斜角为则h的倾斜角的取值范国为（侣，羽）（任）， 故a的取值范国为停U(1,V 故选项A,B符合题意. 答案：AB 4.若三点A(0,2),B2,5),C(3,b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是 解析：由题意可知，秋c,即品+器 2.0 3-0 故号 答案4号 5.己知直线1的倾斜角a1=15°，直线1与2的交点为A,若直线☑绕点A按逆时针方向旋转 60°后与直线h重合，则直线2的斜率为 解析：如图，设直线h的倾斜角为，则由题意知 601
答案:(1,-5) 9.已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是 钝角. 解:直线 AB 的斜率 kAB= 1-2 -4-3 = 1 7 . 直线 BC 的斜率 kBC= -1-1 0-(-4) =- 1 2 . 直线 CA 的斜率 kCA= -1-2 0-3 =1. 由 kAB>0,kCA>0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角; 由 kBC<0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角. 10.已知点 A(3,4),在坐标轴上有一点 B,使得直线 AB 的斜率为 2,求出点 B 的坐标. 解:若点 B 在 x 轴上,则可设 B(x0,0),x0≠3.则直线 AB 的斜率 k= 0-4 𝑥0-3 =2,解得 x0=1,即 B(1,0).若点 B 在 y 轴上,则可设 B(0,y0),y0≠4.则直线 AB 的斜率 k= 𝑦 0 -4 0-3 =2,解得 y0=-2,即 B(0,-2).故点 B 的 坐标为(1,0)或(0,-2). 拓展提高 1.若直线 l 的一个方向向量与 y 轴的正方向成 60°角,则直线 l 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 答案:C 2.若直线 l 过点 A(1,2),且不过第四象限,则直线 l 的斜率 k 的最大值是( ) A.0 B.1 C.1 2 D.2 解析:如图,过点 A 作直线 l 与 x 轴平行,将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转,可知当直线 l 过点 O 时,l 的斜率 k 取最大值,此时 k=2. 答案:D 3.(多选题)已知直线 l1 的斜率为 1,直线 l2 的斜率为 a,其中 a 为实数,当两直线的夹角在区间 (0, π 12)内变动时,a 的取值可能是( ) A.√3 2 B.2√3 3 C.√3 D.√3 4 解析:由题意可知,l1 的倾斜角为π 4 ,则 l2 的倾斜角的取值范围为( π 6 , π 4 ) ∪ ( π 4 , π 3 ), 故 a 的取值范围为( √3 3 ,1)∪(1,√3). 故选项 A,B 符合题意. 答案:AB 4.若三点 A(0,2),B(2,5),C(3,b)能作为三角形的三个顶点,则实数 b 满足的条件是 . 解析:由题意可知,kAB≠kAC,即 5-2 2-0 ≠ 𝑏-2 3-0 , 故 b≠ 13 2 . 答案:b≠ 13 2 5.已知直线 l1 的倾斜角 α1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,若直线 l2 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°后与直线 l1 重合,则直线 l2 的斜率为 . 解析:如图,设直线 l2 的倾斜角为 α2,则由题意知
180°-0+15°=60°，解得=135° 故k=tan=tan135°=-1. 答案-1 6.已知一条光线从点A(-2,3)射入，经x轴上点P反射后，通过点B(5,7),求点P的坐标 解：由已知，得点A(-2,3)关于x轴的对称点为A(-2-3)根据题意可知，P,A,B三点共线，故 KPA=KA'B. 设P0,则器=器解得x品故点P的坐标为（品，0） 10 挑战创新 己知直线1经过A(-1,m),B(m,1)两点，问：当m取何值时，(1)1与x轴平行；(2)1与y轴平行；(3)1 的斜率为(4)1的一个法向量为a-(3,2)2 解(1)当直线1与x轴平行时，A,B两点的纵坐标相等，故m=1. (2)当直线1与y轴平行时，A,B两点的横坐标相等，故m=-1. (③)由u器=得m号 (4)由题意可知，AB=(m+1,1-m),AB⊥a, 故3(m+1)+2(1-m)=0,解得m=-5
180°-α2+15°=60°,解得 α2=135°. 故 k=tan α2=tan 135°=-1. 答案:-1 6.已知一条光线从点 A(-2,3)射入,经 x 轴上点 P 反射后,通过点 B(5,7),求点 P 的坐标. 解:由已知,得点 A(-2,3)关于 x 轴的对称点为 A'(-2,-3).根据题意可知,P,A',B 三点共线,故 kPA'=kA'B. 设 P(x,0),则 -3-0 -2-𝑥 = -3-7 -2-5 ,解得 x= 1 10.故点 P 的坐标为( 1 10 ,0). 挑战创新 已知直线 l 经过 A(-1,m),B(m,1)两点,问:当 m 取何值时,(1)l 与 x 轴平行;(2)l 与 y 轴平行;(3)l 的斜率为1 3 ;(4)l 的一个法向量为 a=(3,2)? 解:(1)当直线 l 与 x 轴平行时,A,B 两点的纵坐标相等,故 m=1. (2)当直线 l 与 y 轴平行时,A,B 两点的横坐标相等,故 m=-1. (3)由 kAB= 1-𝑚 𝑚+1 = 1 3 ,得 m= 1 2 . (4)由题意可知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(m+1,1-m),𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⊥a, 故 3(m+1)+2(1-m)=0,解得 m=-5