2.7抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 1若抛物线y合的准线方程为=1，则a的值是( ) A号 B号 C.4 D.-4 解析抛物线己的标准方程为，故其准线方程为一是又抛物线的准钱方程为l,则 -1,解得a=-4 答案D 2设椭圆飞+子@>h>0的上焦点与抛物线一4的焦点相同，离心率为测此椭圆的方程 为() A号+-1 B+ =1 16 C28x2 3+322-1 D256 3+642=1 解析：因为抛物线y4的焦点为(0，)所以椭圆的上焦点为(0，)，即c品 又因为离心率为号所以总=克 所以a吉6-a区=号 所以辅圆的方程为62+642=1 3 答案D 3.若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线，则抛物线的方程为() Ay2=-16x B.1y2=-8x C.y2=16x D.y2=4x 解析：由题意知，抛物线y2-2x(p0)的准线为x=垂直于x轴，圆x2+y2+4x=0垂直于x轴的 一条切线为x=4,则-4，即p=8.故抛物线的方程为2=16x 答案C 4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点若△ OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=() A.2 B.4 C.3 D.3 解析：因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距 离等于圆的半径.因为圆的面积为9π，所以圆的半径为3.又圆心在OF的垂直平分线 上，0F=2所以3+-3，所以p=4 答案：B 5.已知抛物线y2=2x(P>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点若△PQF是边长为2的正 三角形，则p的值是() A.2-V3 B.2+v3 C.3-1 D.2-V3或2+V3 解析由题意，得r传.0)设P倍⅓)Q倍为)n则由抛物线的定义及1PA=Q,得跨+ 是年+号所以y=呢 又y12,所以1=2. 所以1PQ1=2bn=2, 所以=l,所以PF=克+2=2， 2p 2 解得p=2+V3或p=2-V3 答案：D 6.若抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值是1，则p=
2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 1.若抛物线 y= 1 𝑎 x 2 的准线方程为 y=1,则 a 的值是( ) A.1 4 B.- 1 4 C.4 D.-4 解析:抛物线 y= 1 𝑎 x 2 的标准方程为 x 2=ay,故其准线方程为 y=- 𝑎 4 .又抛物线的准线方程为 y=1,则 - 𝑎 4 =1,解得 a=-4. 答案:D 2.设椭圆𝑦 2 𝑎2 + 𝑥 2 𝑏 2=1(a>b>0)的上焦点与抛物线 y=4x 2 的焦点相同,离心率为1 2 ,则此椭圆的方程 为( ) A.𝑥 2 3 + 𝑦 2 4 =1 B.𝑥 2 12 + 𝑦 2 16=1 C.128𝑥 2 3 +32y 2=1 D.256𝑥 2 3 +64y 2=1 解析:因为抛物线 y=4x 2 的焦点为(0, 1 16),所以椭圆的上焦点为(0, 1 16),即 c= 1 16. 又因为离心率为1 2 ,所以𝑐 𝑎 = 1 2 , 所以 a= 1 8 ,b=√𝑎 2-𝑐 2 = √3 16. 所以椭圆的方程为256𝑥 2 3 +64y 2=1. 答案:D 3.若抛物线 y 2=2px(p≠0)的准线为圆 x 2+y2+4x=0 的一条切线,则抛物线的方程为( ) A.y 2=-16x B.y 2=-8x C.y 2=16x D.y 2=4x 解析:由题意知,抛物线 y 2=2px(p≠0)的准线为 x=- 𝑝 2 ,垂直于 x 轴,圆 x 2+y2+4x=0 垂直于 x 轴的 一条切线为 x=-4,则 𝑝 2 =4,即 p=8.故抛物线的方程为 y 2=16x. 答案:C 4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y 2=2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点.若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9π,则 p=( ) A.2 B.4 C.3 D.√3 解析:因为△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距 离等于圆的半径.因为圆的面积为 9π,所以圆的半径为 3.又圆心在 OF 的垂直平分线 上,|OF|=𝑝 2 ,所以𝑝 2 + 𝑝 4 =3,所以 p=4. 答案:B 5.已知抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两个点.若△PQF 是边长为 2 的正 三角形,则 p 的值是( ) A.2-√3 B.2+√3 C.√3-1 D.2-√3或 2+√3 解析:由题意,得 F( 𝑝 2 ,0),设 P( 𝑦 1 2 2𝑝 ,𝑦1 ),Q( 𝑦 2 2 2𝑝 ,𝑦2 ),y1≠y2,则由抛物线的定义及|PF|=|QF|,得 𝑦 1 2 2𝑝 + 𝑝 2 = 𝑦 2 2 2𝑝 + 𝑝 2 ,所以𝑦1 2 = 𝑦2 2 . 又 y1≠y2,所以 y1=-y2. 所以|PQ|=2|y1|=2, 所以|y1|=1,所以|PF|= 1 2𝑝 + 𝑝 2 =2, 解得 p=2+√3或 p=2-√3. 答案:D 6.若抛物线 y 2=2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值是 1,则 p=
解析：设抛物线的焦点为F,则F(,0),F=xQxo≥0)， 由题意，得1 OFn=l,所以Qmin+号-1(o20), 即0+号=1，解得p=2. 答案2 7已知抛物线)=ar(a>0)的准线为11与双曲线子y-1的两条渐近线分别交于4B两点若 4B引=4，则a= 解析由抛物线)y-(a>0),可知抛物线的准线为)=后 由双曲线号y-1,可知渐近线为y一 因为1B-4,所以由双由线的对称性，可知直线广石与)=之的交点为(2)将点的坐标代 入=可得-1，所以a号 答 8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，M为抛物线上一点，且lMF=31OFl,△ MFO的面积为16vZ,则抛物线的方程为 解析抛物线-2px(p>0)的焦点为F(0 设M0,o,由M=31OF可得，(xo)+=() 又因为y6-2po,所以(xo-)+2p0-()/, 即x行+pxo-2p2=0, 解得x0=p或0=-2p(舍去). 所以M,±V2p),所以SAMFO-2××V2p=16V2,解得p-±8 因为p>0,所以p=8.故抛物线的方程为y2=16x 答案y2-16x 9.若抛物线y2-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线的方程和 点M的坐标 解由抛物线的定义知，焦点为F(,0)则准线为x 由题意，设点M到准线的距离为|MM,则MN=MF=10,即(-9)=10，解得p-2. 故抛物线的方程为2=4x,将M(-9,y)的坐标代入2-.4x,解得y=±6. 则M(-9,6)或(-9,6). 10.己知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A,B是抛物线C上的两个动点 (AB不垂直于x轴)，且AF+BF=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方 程 解：设地物线的方程为y2=2px(p>0) 则其准线为=号 设A(x1),B(22)月 AF+BF1=8. ∴x1+++号-8，即x1+n=8-p. :Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上， ∴.I2A=QB, 即(6-x)2+(y)2= (6-x2)2+(-y22 又y2=2px1,y2=2p2, .(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. AB与x轴不垂直，x12. ∴.x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0, 即p=4
解析:设抛物线的焦点为 F,则 F( 𝑝 2 ,0),|QF|=xQ+ 𝑝 2 (xQ≥0). 由题意,得|QF|min=1,所以 xQmin+ 𝑝 2 =1(xQ≥0), 即 0+ 𝑝 2 =1,解得 p=2. 答案:2 7.已知抛物线 y=ax2 (a>0)的准线为 l,l 与双曲线𝑥 2 4 -y 2=1 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若 |AB|=4,则 a= . 解析:由抛物线 y=ax2 (a>0),可知抛物线的准线为 y=- 1 4𝑎 . 由双曲线𝑥 2 4 -y 2=1,可知渐近线为 y=± 1 2 x. 因为|AB|=4,所以由双曲线的对称性,可知直线 y=- 1 4𝑎与 y=- 1 2 x 的交点为(2,- 1 4𝑎 ),将点的坐标代 入 y=- 1 2 x,可得- 1 4𝑎 =-1,所以 a= 1 4 . 答案: 1 4 8.已知抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F,O 为坐标原点,M 为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△ MFO 的面积为 16√2,则抛物线的方程为 . 解析:抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F( 𝑝 2 ,0). 设 M(x0,y0),由|MF|=3|OF|可得,(𝑥0 - 𝑝 2 ) 2 + 𝑦0 2 = ( 3𝑝 2 ) 2 . 又因为𝑦0 2=2px0,所以(𝑥0 - 𝑝 2 ) 2 +2px0=( 3𝑝 2 ) 2 , 即𝑥0 2+px0-2p 2=0, 解得 x0=p 或 x0=-2p(舍去). 所以 M(𝑝, ± √2𝑝),所以 S△MFO= 1 2 × 𝑝 2 × √2p=16√2,解得 p=±8. 因为 p>0,所以 p=8.故抛物线的方程为 y 2=16x. 答案:y 2=16x 9.若抛物线 y 2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求抛物线的方程和 点 M 的坐标. 解:由抛物线的定义知,焦点为 F(- 𝑝 2 ,0),则准线为 x= 𝑝 2 . 由题意,设点 M 到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即 𝑝 2 -(-9)=10,解得 p=2. 故抛物线的方程为 y 2=-4x,将 M(-9,y)的坐标代入 y 2=-4x,解得 y=±6. 则 M(-9,6)或(-9,-6). 10.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点 (AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0),求抛物线的方 程. 解:设抛物线的方程为 y 2=2px(p>0), 则其准线为 x=- 𝑝 2 . 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵|AF|+|BF|=8, ∴x1+ 𝑝 2 +x2+ 𝑝 2 =8,即 x1+x2=8-p. ∵Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上, ∴|QA|=|QB|, 即√(6-𝑥1 ) 2 + (-𝑦1 ) 2 = √(6-𝑥2 ) 2 + (-𝑦2 ) 2 . 又𝑦1 2=2px1,𝑦2 2=2px2, ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB 与 x 轴不垂直,∴x1≠x2. ∴x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0, 即 p=4
故抛物线方程为y2=8x
故抛物线方程为 y 2=8x