志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,且4a1,2a,a3成等差数列.若a1=l,则S4=(） A.7 B.8 C.15 D.16 答案：C 解析：设等比数列的公比为q,则由4a1,2a2,a3成等差数列，得4a2=4a1+a3, ∴.4a1q=4a1+a1q, 又a1=1, .q2-4g+4=0,解得q=2. S411-2=15 1-g 2.已知等比数列{am}的通项公式为an=2×3n1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和 Sn=()】 A3”-1 B.3(3”-1) C D.392 4 答案D 解析：由题意，得数列{an}的偶数项所组成的新数列的首项为a2=2×32-1=6,公比为G-32-9, 因此Sn-619=391 1.9 4 3在等比数列a中，若a*m*a*a+a器a号则哈+品++立+等于() 31 as A是 B C.31 D.4 答案：C 解析：由已知得a+am+as+a+as号+号+as+asg+as对-a(位+日+1+q+q2）=器 +1g号 1
1 第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用 课后· 基础巩固 1.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3成等差数列.若 a1=1,则 S4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 答案:C 解析:设等比数列的公比为 q,则由 4a1,2a2,a3成等差数列,得 4a2=4a1+a3, ∴4a1q=4a1+a1q 2 , 又 a1=1, ∴q 2 -4q+4=0,解得 q=2. ∴S4= 𝑎1(1-𝑞 4 ) 1-𝑞 =15. 2.已知等比数列{an}的通项公式为 an=2×3 𝑛-1 ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn=( ) A.3 n -1 B.3(3n -1) C. 9 𝑛 -1 4 D. 3(9 𝑛 -1) 4 答案:D 解析:由题意,得数列{an}的偶数项所组成的新数列的首项为 a2=2×3 2-1=6,公比为 q 2=3 2=9, 因此 Sn= 6(1-9 𝑛 ) 1-9 = 3(9 𝑛 -1) 4 . 3.在等比数列{an}中,若 a1+a2+a3+a4+a5= 31 16,a3= 1 4 ,则 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + 1 𝑎3 + 1 𝑎4 + 1 𝑎5 等于( ) A. 31 4 B. 31 2 C.31 D.4 答案:C 解析:由已知得 a1+a2+a3+a4+a5= 𝑎3 𝑞 2 + 𝑎3 𝑞 +a3+a3q+a3q 2=a3( 1 𝑞 2 + 1 𝑞 + 1 + 𝑞 + 𝑞 2) = 31 16, ∴ 1 𝑞 2 + 1 𝑞 +1+q+q2= 31 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ++++=1+4-3 a3 as 4 4.若等比数列{an}的公比为gg≠1)，则数列a3,a6,a9,…,a5m,…的前n项和为() A(12) B.11-g3n 1-q 1-q3 C.31-g3n D21-g2n) 1-q3 1-q 答案：C 解析：k,a是等比数列，且首项为a,公比为尝，S产裁选C 1-g3 5.设数列{xn}满足logx+1=1+lOgaXn,且x1+x2+…+x100=100,则x101+x102+…+x200-() A.100a B.101a2 C.101a100 D.100a10o 答案D 解析：由条件得xn+1=axn且xn>0,a>0,时l, 故数列{xm}是公比为a的等比数列， 从而x101+x102+…+x200=a100(x1+xn+…+x100)=100a100 6.若数列{am}是等比数列，且前n项和为Sm=3n1+1,则= 答案月 解析根据等比数列前n项和公式的特点可知，S3”+1,故1=子 7.若等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q= 答案2 解析：设数列{am}的公比为q,由已知可得q1,则奇数项也构成等比数列，其公比为q,首项为a, 即-g2s41g2 1-q 1-g2 由题意得-2-2a,解得1+g-3, 1-q 1-q2 即q=2. 8.已知数列{an}为等差数列，其公差为-2，且am是as与ag的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N+,则 S10= 答案：110 23
2 ∴ 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + 1 𝑎3 + 1 𝑎4 + 1 𝑎5 = 1 𝑎3 q 2+q+1+ 1 𝑞 + 1 𝑞 2 =4× 31 4 =31. 4.若等比数列{an}的公比为 q(q≠1),则数列 a3,a6,a9,…,a3n,…的前 n项和为( ) A. 𝑎1(1-𝑞 2𝑛 ) 1-𝑞 B. 𝑎1(1-𝑞 3𝑛 ) 1-𝑞 3 C. 𝑎3(1-𝑞 3𝑛 ) 1-𝑞 3 D. 𝑎2(1-𝑞 2𝑛 ) 1-𝑞 答案:C 解析:∵a3,a6,…,a3n 是等比数列,且首项为 a3,公比为𝑎6 𝑎3 =q3 ,∴Sn= 𝑎3(1-𝑞 3𝑛 ) 1-𝑞 3 .故选 C. 5.设数列{xn}满足 logaxn+1=1+logaxn,且 x1+x2+…+x100=100,则 x101+x102+…+x200=( ) A.100a B.101a 2 C.101a 100 D.100a 100 答案:D 解析:由条件得 xn+1=axn 且 xn>0,a>0,a≠1, 故数列{xn}是公比为 a 的等比数列, 从而 x101+x102+…+x200=a100(x1+x2+…+x100)=100a 100 . 6.若数列{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3 𝑛-1+t,则 t= . 答案:- 1 3 解析:根据等比数列前 n 项和公式的特点可知,Sn= 1 3 ·3 n+t,故 t=- 1 3 . 7.若等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公比 q= . 答案:2 解析:设数列{an}的公比为 q,由已知可得 q≠1,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q 2 ,首项为 a1, 即 S2n= 𝑎1(1-𝑞 2𝑛 ) 1-𝑞 ,S 奇= 𝑎1[1-(𝑞 2 ) 𝑛 ] 1-𝑞 2 . 由题意得𝑎1(1-𝑞 2𝑛 ) 1-𝑞 = 3𝑎1(1-𝑞 2𝑛 ) 1-𝑞 2 ,解得 1+q=3, 即 q=2. 8.已知数列{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7是 a3与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N+,则 S10= . 答案:110
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a号=a3a,又因为公差为-2，所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.通项公式为a=20+0m-1-2)=22-2n,所以S1010@1,a10=5×(20+2)=110. 2 9.设Sn为等比数列{am}的前n项和，若a1=l,且3S,2,S成等差数列，求an. 解：设等比数列{am}的公比为q, 则an=a1d1=g”- 因为3S,2S2,S成等差数列， 所以2×(2S2)=3S1+S,即4S=3+S3, 即4(a1+a)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q): 整理得q2-3q=0, 解得q=3或q=0(舍去)， 所以等比数列{am}的首项为a1=l,公比为q=3, 故an=3-l 10.已知数列{am}是等比数列，Sn为其前n项和. (0设ss品求am (2)若S4,S10,S7成等差数列，证明a1,a1,a4也成等差数列. (1)解：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. (-g3= 由已知得q1,于是 1- 2 -器 1-q = 解得 a1=2, 故a0g12(月》-(92 (2)证明：，S4,S10,S7成等差数列， ∴.9f1,S4+S7=2S10, :.11-g2+11-q☑=2a11-g0 1-0 1-q 1-q 整理得g+q-2g10,.1+q3=2, ∴.a1+aq=2a1,∴.a1+a4=2a7, 即a1,a7,a4也成等差数列. 拓展提高 3
3 解析:因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以𝑎7 2=a3a9,又因为公差为-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n,所以 S10= 10(𝑎1+𝑎10) 2 =5×(20+2)=110. 9.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,求 an. 解:设等比数列{an}的公比为 q, 则 an=a1q n-1=qn-1 . 因为 3S1,2S2,S3 成等差数列, 所以 2×(2S2)=3S1+S3,即 4S2=3+S3, 即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是 4(1+q)=3+(1+q+q2 ), 整理得 q 2 -3q=0, 解得 q=3 或 q=0(舍去). 所以等比数列{an}的首项为 a1=1,公比为 q=3, 故 an=3 n-1 . 10.已知数列{an}是等比数列,Sn 为其前 n 项和. (1)设 S3= 3 2 ,S6= 21 16,求 an; (2)若 S4,S10,S7成等差数列,证明 a1,a7,a4也成等差数列. (1)解:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 q≠1,于是{ 𝑎1 (1-𝑞 3 ) 1-𝑞 = 3 2 , 𝑎1 (1-𝑞 6) 1-𝑞 = 21 16 , 解得{ 𝑎1 = 2, 𝑞 = - 1 2 . 故 an=a1q n-1=2·(- 1 2 ) 𝑛-1 =-(- 1 2 ) 𝑛-2 . (2)证明:∵S4,S10,S7 成等差数列, ∴q≠1,S4+S7=2S10, ∴ 𝑎1(1-𝑞 4 ) 1-𝑞 + 𝑎1(1-𝑞 7 ) 1-𝑞 = 2𝑎1(1-𝑞 10) 1-𝑞 , 整理得 q 4+q7=2q 10 ,∴1+q3=2q 6 , ∴a1+a1q 3=2a1q 6 ,∴a1+a4=2a7, 即 a1,a7,a4 也成等差数列. 拓展提高
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1设等比数列a;的前n项和为S,若等-3，则空等于( S6 A号 B明 C.2 D.3 答案B 解析学-3设5吃则%-水 又数列{an}是等比数列， ∴.S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=4k S+2+4=7张毫=爱=号 2.已知等比数列{an}的前n项和Sm=3”+a,则数列{a}的前n项和为() A受 B婴 c哈 D.9-1 答案：A 解析：依题意，等比数列{am}的前n项和为Sm=3”+a, 所以a1=3+a,a2=-(9+a)-(3+a=6,a3=(27+a)-(9+a=18, 即a吃=a1×a3,解得a=-l, 所以a1=2,9=3, 所以数列{a品}的首项为4，公比为9， 所以教列{}的前n项和，g-学 1.9 00.下列选 3(多选题)在等比数列{a}中，公比为q,其前n项积为Tn并且满足a1>1,aa0o-l>0,9- 项中，正确的结论有() A.01成立的最大自然数n等于198 答案：ABD 解析：对于A,,99a100-1>0, .a7g97>1,.(a1g8)2q>1. a1>1,.q>0. 4
4 1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 𝑆6 𝑆3 =3,则 𝑆9 𝑆6 等于( ) A. 8 3 B. 7 3 C.2 D.3 答案:B 解析:∵ 𝑆6 𝑆3 =3,设 S3=k,则 S6=3k. 又数列{an}是等比数列, ∴S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=4k. ∴S9=k+2k+4k=7k.∴ 𝑆9 𝑆6 = 7𝑘 3𝑘 = 7 3 . 2.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3 n+a,则数列{𝑎𝑛 2}的前 n 项和为( ) A. 9 𝑛 -1 2 B. 9 𝑛 -1 4 C. 9 𝑛 -1 8 D.9 n -1 答案:A 解析:依题意,等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 n+a, 所以 a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18, 即𝑎2 2=a1×a3,解得 a=-1, 所以 a1=2,q=3, 所以数列{𝑎𝑛 2}的首项为 4,公比为 9, 所以数列{𝑎𝑛 2}的前 n 项和 Tn= 4(1-9 𝑛 ) 1-9 = 9 𝑛 -1 2 . 3.(多选题)在等比数列{an}中,公比为 q,其前 n 项积为 Tn,并且满足 a1>1,a99·a100-1>0, 𝑎99 -1 𝑎100-1 1 成立的最大自然数 n 等于 198 答案:ABD 解析:对于 A,∵a99a100-1>0, ∴𝑎1 2·q 197>1,∴(a1·q 98) 2·q>1. ∵a1>1,∴q>0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又a99-1 1,且a1001,T199=(a1a199)(a2a198)(a99a101)a1001成立的最大自然数n 等于198，故D正确 综上所述，正确的结论是ABD, 4.己知数列{an}满足a2+a5=18,a3a4=32,若数列{an}为等差数列，其前n项和为Sm则S6=_ 若{am}为单调递减的等比数列，其前n项和为Tm=63,则n= 答案：546 解析：，数列{an}为等差数列， a1+a6=2+a5=18,则S6-6a+6=54; 2 数列{an}为等比数列，a2a5=a3a4=32, 则2，a5是方程x2.18x+32=0的两根 又数列{a}单调递减，m=16,as-2,则g是 3别 1吃 =63,.n=6 5.如果lgx+lgx2+…+lgx0=110,那么lgx+lg2x+…+lg0x= 答案：2046 解析：由已知(1+2+…+10)1gx=110 .551gx=110,lgx=2 .lgx+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=2.2=2046. 6.某公司今年获得利润500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年利润都比上一年增加30%，则7 年后该公司实现的总利润为 万元 答案591.3- 解析：设第n年的利润为am万元， 则an+1=an+an×30%=1.3am,则=1.3. an
5 又 𝑎99-1 𝑎100-1 1,且 a1001,T199=(a1·a199)·(a2·a198)…(a99·a101)a1001 成立的最大自然数 n 等于 198,故 D 正确. 综上所述,正确的结论是 ABD. 4.已知数列{an}满足 a2+a5=18,a3a4=32,若数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,则 S6= ; 若{an}为单调递减的等比数列,其前 n 项和为 Tn=63,则 n= . 答案:54 6 解析:∵数列{an}为等差数列, ∴a1+a6=a2+a5=18,则 S6= 6(𝑎1+𝑎6) 2 =54; ∵数列{an}为等比数列,∴a2a5=a3a4=32, 则 a2,a5 是方程 x 2 -18x+32=0 的两根. 又数列{an}单调递减,∴a2=16,a5=2,则 q= 1 2 . ∵Tn= 32(1- 1 2 𝑛 ) 1- 1 2 =63,∴n=6. 5.如果 lg x+lg x 2+…+lg x 10=110,那么 lg x+lg2 x+…+lg10x= . 答案:2 046 解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110, ∴55lg x=110,∴lg x=2. ∴lg x+lg2 x+…+lg10x=2+2 2+…+2 10=2 11 -2=2 046. 6.某公司今年获得利润 500 万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润都比上一年增加 30%,则 7 年后该公司实现的总利润为 万元. 答案: 5 000 3 (1.3 7 -1) 解析:设第 n 年的利润为 an 万元, 则 an+1=an+an×30%=1.3an,则 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =1.3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 所以数列{am}是首项为500，公比为1.3的等比数列，所以7年后该公司实现的总利润为 S,a1(1-g2=500x113 1- 1-13 5g1.3.)万元 7.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=l,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： (2)求a1+a3+…+a2m+1. 解(1因为S1=a1=1,且数列{S}是以2为公比的等比数列，所以Sn-2n1, 又当n≥2时，an=Sn-Sn1-2n2(2-1)=2m-2 所以an= 1,n=1, 2n-2,n≥2. (2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列， 故as+as++a2n+12L:42=24 1-4 3 所以a1+as+…+a2n1=1+241=2a+1+ 3 3 挑战创新 在数列fa}中am宁前n项和S满足S1S.-(⑤)+(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sm; (2)若S,(S+2),3S2+S)成等差数列，求实数1的值 解由S-8-目+1 得a1-⑤+'n∈N 又a1=3故a=-n∈N,》 从而s1-()门]n∈N (2)(知，55-号5费 由S,1(S+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 3×+)-2×侣+)，解得1-2 6
6 所以数列{an}是首项为 500,公比为 1.3 的等比数列,所以 7 年后该公司实现的总利润为 S7= 𝑎1(1-𝑞 7 ) 1-𝑞 = 500×(1-1.3 7 ) 1-1.3 = 5 000 3 (1.3 7 -1)万元. 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a3+…+a2n+1. 解:(1)因为 S1=a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列,所以 Sn=2 𝑛-1 , 又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 𝑛-2 (2-1)=2 𝑛-2 , 所以 an={ 1,𝑛 = 1, 2 𝑛-2 ,𝑛 ≥ 2. (2)a3,a5,…,a2n+1是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, 故 a3+a5+…+a2n+1= 2(1-4 𝑛 ) 1-4 = 2(4 𝑛 -1) 3 . 所以 a1+a3+…+a2n+1=1+ 2(4 𝑛 -1) 3 = 2 2𝑛+1+1 3 . 挑战创新 在数列{an}中,a1= 1 3 ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=( 1 3 ) 𝑛+1 (n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t的值. 解:(1)由 Sn+1-Sn=( 1 3 ) 𝑛+1 , 得 an+1=( 1 3 ) 𝑛+1 (n∈N+), 又 a1= 1 3 ,故 an=( 1 3 ) 𝑛 (n∈N+). 从而 Sn= 1 2 [1- ( 1 3 ) 𝑛 ](n∈N+). (2)由(1)知,S1= 1 3 ,S2= 4 9 ,S3= 13 27. 由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 1 3 +3×( 4 9 + 13 27)=2×( 1 3 + 4 9 )t,解得 t=2