志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时 等差数列的性质及应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知在等差数列{an}中，a2+as=16,则a5的值为( A.8 B.10 C.16 D.24 答案：A 解析：由题意可知a2+a8=2a5=16,则a5=8. 2.己知在等差数列{an}中，a5+a6+a=15,那么a3+a4++a9等于() A21 B.30 C.35 D.40 答案：C 解析：因为a5+a6+=(a5+a)十a6=2a6+a6=3a6=15, 所以a6=5. 所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a）+a6=7a6=35. 3.已知等差数列{an}的公差为d(d0),且as+a6+a1o+a13=32,若am=8,则m等于() A.8 B.4 C.6 D.12 答案：A 解析：因为a3+a6+a10+a13=4ag=32, 所以a8=8,即m=8 4.设x是a与b的等差中项，x2是a2与-b2的等差中项，则a,b的关系是() A.a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b D.a=b=0 答案C 解析：由等差中项的定义知，学 2 得362 2 (学)，即26-36-0 故a=-b或a=3b 5.在等差数列{a}中，a1=8,a5=2,若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，则新的等差数列的 公差为 ()
1 第 2 课时 等差数列的性质及应用 课后· 基础巩固 1.已知在等差数列{an}中,a2+a8=16,则 a5 的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.24 答案:A 解析:由题意可知 a2+a8=2a5=16,则 a5=8. 2.已知在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么 a3+a4+…+a9 等于( ) A.21 B.30 C.35 D.40 答案:C 解析:因为 a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15, 所以 a6=5. 所以 a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35. 3.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 等于( ) A.8 B.4 C.6 D.12 答案:A 解析:因为 a3+a6+a10+a13=4a8=32, 所以 a8=8,即 m=8. 4.设 x 是 a 与 b 的等差中项,x 2 是 a 2 与-b 2的等差中项,则 a,b 的关系是( ) A.a=-b B.a=3b C.a=-b 或 a=3b D.a=b=0 答案:C 解析:由等差中项的定义知,x= 𝑎+𝑏 2 ,x 2= 𝑎 2 -𝑏 2 2 , 得 𝑎 2 -𝑏 2 2 = ( 𝑎+𝑏 2 ) 2 ,即 a 2 -2ab-3b 2=0. 故 a=-b 或 a=3b. 5.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在每相邻两项间各插入一个数,使之成等差数列,则新的等差数列的 公差为 ( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A月 B子 c. D.-1 答案：B 解析：设插入的四个数为xy,,,则新的数列为a1,x,2y,a,a4厂，a5,共9项， 故d=5-2-83 91 84 6.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是 答案：3 解析：由m和2n的等差中项为4，则m+2n=8, 又由2m和n的等差中项为5，则2m+n-10. 两式相加，得m+n=6. 因此m与n的等差中项为=3， 2 故应填3. 7.己知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积 为 答案：15V3 解析：不妨设角A=120°，c<b, 则a=b+4,c=b-4, 于是c0s120°04- 2b(b-4) 解得b=10,所以a=14,c=6. 所以Sa4 c-becsin120°-15v3, 8.已知数列{ar}为等差数列，a+a+a13乏，则tan(ata12)的值为 答案：V3 解析：a1+a+a13受 3a受a-0欧ta2=2a号 ∴tan(ata12)=-tan=V3 9.构成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数， 解：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则由题意，得 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d)=40, 2
2 A. 3 4 B.- 3 4 C.- 6 7 D.-1 答案:B 解析:设插入的四个数为 x,y,z,r,则新的数列为 a1,x,a2,y,a3,z,a4,r,a5,共 9 项, 故 d=𝑎5 -𝑎1 9-1 = 2-8 8 =- 3 4 . 6.若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5,则 m 与 n的等差中项是 . 答案:3 解析:由 m 和 2n 的等差中项为 4,则 m+2n=8, 又由 2m 和 n 的等差中项为 5,则 2m+n=10. 两式相加,得 m+n=6. 因此 m 与 n 的等差中项为𝑚+𝑛 2 = 6 2 =3. 故应填 3. 7.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积 为 . 答案:15√3 解析:不妨设角 A=120°,c<b, 则 a=b+4,c=b-4, 于是 cos 120°= 𝑏 2+(𝑏-4) 2 -(𝑏+4) 2 2𝑏(𝑏-4) =- 1 2 , 解得 b=10,所以 a=14,c=6. 所以 S△ABC= 1 2 bcsin 120°=15√3. 8.已知数列{an}为等差数列,a1+a7+a13= π 2 ,则 tan(a2+a12)的值为 . 答案:√3 解析:∵a1+a7+a13= π 2 , ∴3a7= π 2 ,a7= π 6 ,∴a2+a12=2a7= π 3 . ∴tan(a2+a12)=tan π 3 = √3. 9.构成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数. 解:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则由题意,得 { (𝑎-3𝑑) + (𝑎-𝑑) + (𝑎 + 𝑑) + (𝑎 + 3𝑑) = 26, (𝑎-𝑑)(𝑎 + 𝑑) = 40
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 10.在等差数列{an}中： (1)a2+a3+a10+a11=48,求a6+a7; (2)a1-4-Qa8-a12+a15=2,求a3+a13 (3)a3+a11=10,求a2+a4+a15. 解：(1)，a2+a11=a3+a10=a6+a7, 而2+3+a10+a11=48, ∴.2(a6+a7)=48,故a6+a7=24, (2),a1+a15=a4+a12=2a8, 而a1+a5-(a4+a12+a8)=2, 即2ag-3a8=2,.ag=-2, ∴.a3+a13=2a8=-4. (3).a3+a11=2a7=10,∴.a7=5. 又a2+a4+a15=a7+a7+a7=37, ∴.a2+a4+a15=15. 拓展提高 1.若数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+ag=39,则a3+a6+a9=(） A39 B.20 C.19.5 D.33 答案D 解析：，a1+a4+a7=3a4=45,∴.a4=15. a2+a5+ag=39,∴.3a5=39,.a5=13, ∴.d=a5-a4=-2 ∴.a6=a5+d=11 a3+a6+a9=3a6=3×11=33. 2.(多选题)若数列{an}满足an+am+2=2am+1(n∈N+),且a1+a+a3=9,a4=8,则下列说法正确的是() A.数列{an}是等差数列 3
3 解得{ 𝑎 = 13 2 , 𝑑 = 3 2 或 { 𝑎 = 13 2 , 𝑑 = - 3 2 . 故所求四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 10.在等差数列{an}中: (1)a2+a3+a10+a11=48,求 a6+a7; (2)a1-a4-a8-a12+a15=2,求 a3+a13; (3)a3+a11=10,求 a2+a4+a15. 解:(1)∵a2+a11=a3+a10=a6+a7, 而 a2+a3+a10+a11=48, ∴2(a6+a7)=48,故 a6+a7=24. (2)∵a1+a15=a4+a12=2a8, 而 a1+a15-(a4+a12+a8)=2, 即 2a8-3a8=2,∴a8=-2, ∴a3+a13=2a8=-4. (3)∵a3+a11=2a7=10,∴a7=5. 又 a2+a4+a15=a7+a7+a7=3a7, ∴a2+a4+a15=15. 拓展提高 1.若数列{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9=( ) A.39 B.20 C.19.5 D.33 答案:D 解析:∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15. ∵a2+a5+a8=39,∴3a5=39,∴a5=13, ∴d=a5-a4=-2, ∴a6=a5+d=11, a3+a6+a9=3a6=3×11=33. 2.(多选题)若数列{an}满足 an+an+2=2an+1(n∈N+),且 a1+a2+a3=9,a4=8,则下列说法正确的是( ) A.数列{an}是等差数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org B数列{am,的公差是盟 c.数列{a}的首项是号 D.数列{a}的通项公式是am受2 答案：ABCD 解析：数列{an}满足an+an+2-2an+i(n∈N+),则数列{an}为等差数列， ,a1+2+a53=9,a4=8, ∴.3a1+3d=9,a1+3d=8, ∴d-za-dn-2 3.若数列{am}满足am= 学am12m气n∈N,则on的最小值为 an+2n 答案：-8 解析：am+12m+0,整理得an+1an=2n+1)am-2naml, an+2n 两边同时除以a10,可得2m出--1，则数列巴是公差为1的等差数列，二=品m1)x1,即 an+1 an an a1 2n 当n≥3时，am>0;当n=2时，am=-8,∴.am的最小值是-8. 4已知数列a}满足递推公式a-3a1+3-1m≥2)，又a1=5,则使得色+为等差数列的实数 = 答案月 解析：由已知得a1=5,a2=23,a3=95, 令b2则b16加2b-95兴 27 :bi+b9=2h,心1=克 5.已知数列{an}是等差数列，若a4+a+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14-77,且ak=13,则公差 d= ,k= 答案号18 4
4 B.数列{an}的公差是5 2 C.数列{an}的首项是1 2 D.数列{an}的通项公式是 an= 5𝑛 2 -2 答案:ABCD 解析:数列{an}满足 an+an+2=2an+1(n∈N+),则数列{an}为等差数列, ∵a1+a2+a3=9,a4=8, ∴3a1+3d=9,a1+3d=8, ∴d=5 2 ,a1= 1 2 ,∴an= 5𝑛 2 -2. 3.若数列{an}满足 a1=- 4 3 ,an+1= 2(𝑛+1)𝑎𝑛 𝑎𝑛+2𝑛 (n∈N+),则 an 的最小值为 . 答案:-8 解析:∵an+1= 2(𝑛+1)𝑎𝑛 𝑎𝑛+2𝑛 ,整理得 an+1an=2(n+1)·an-2nan+1, 两边同时除以 an+1an 可得2(𝑛+1) 𝑎𝑛+1 − 2𝑛 𝑎𝑛 =1,则数列{ 2𝑛 𝑎𝑛 }是公差为 1 的等差数列,∴ 2𝑛 𝑎𝑛 = 2 𝑎1 +(n-1)×1,即 an= 2𝑛 𝑛- 5 2 . ∵当 n≥3 时,an>0;当 n=2 时,an=-8,∴an 的最小值是-8. 4.已知数列{an}满足递推公式 an=3an-1+3 n -1(n≥2),又 a1=5,则使得{ 𝑎𝑛+𝜆 3 𝑛 }为等差数列的实数 λ= . 答案:- 1 2 解析:由已知得 a1=5,a2=23,a3=95, 令 bn= 𝑎𝑛+𝜆 3 𝑛 ,则 b1= 5+𝜆 3 ,b2= 23+𝜆 9 ,b3= 95+𝜆 27 . ∵b1+b3=2b2,∴λ=- 1 2 . 5.已知数列{an}是等差数列,若 a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且 ak=13,则公差 d= ,k= . 答案: 2 3 18
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：由已知，得3a=17,11a9=77, ∴m号aw-7 又=am+2d∴d-号 ∴a以=a+(k-9)子-7+k-9=13, 解得k=18. 6.己知等差数列{an}是递增数列，若a2+a4=16,a1a5=28,则通项an= 答案：3n-1 解析：设公差为d,,a2+a4=a1+a5=16, 由a1+a5=16, (a1as=28, 解二4份=24 ,等差数列{an}是递增数列， .a1=2,a5=14. d器-号3 5-1 ∴.am=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 挑战创新 己知数列{an}是等差数列，且a1+a2+as=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bm},试求 出数列{bn}的通项公式. 解(1)a1+a2+a3=12,.a2=4, ,as=2+(8-2)d, .16=4+6d,.d=2, .∴.am=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n (2)已知数列{am}的通项公式为an=2n 则a2=4,a4=8,a8=16,…,Q2m=2×2n=4n. 当n>1时，a2m-a2m-1)=4n-4(n-1)=4. ∴.{b}是以4为首项，4为公差的等差数列 5
5 解析:由已知,得 3a7=17,11a9=77, ∴a7= 17 3 ,a9=7. 又 a9=a7+2d,∴d=2 3 , ∴ak=a9+(k-9)· 2 3 =7+ 2 3 (k-9)=13, 解得 k=18. 6.已知等差数列{an}是递增数列,若 a2+a4=16,a1a5=28,则通项 an= . 答案:3n-1 解析:设公差为 d,∵a2+a4=a1+a5=16, ∴由{ 𝑎1 + 𝑎5 = 16, 𝑎1𝑎5 = 28, 解得{ 𝑎1 = 2, 𝑎5 = 14或{ 𝑎1 = 14, 𝑎5 = 2. ∵等差数列{an}是递增数列, ∴a1=2,a5=14. ∴d=𝑎5 -𝑎1 5-1 = 12 4 =3, ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 挑战创新 已知数列{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中,依次取出第 2 项,第 4 项,第 6 项,…,第 2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求 出数列{bn}的通项公式. 解:(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4, ∵a8=a2+(8-2)d, ∴16=4+6d,∴d=2, ∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n. (2)已知数列{an}的通项公式为 an=2n, 则 a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n. 当 n>1 时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以 4 为首项,4 为公差的等差数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ∴.bm=b1+(m-1)d=4+4n-1)=4n. 6
6 ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n