第八章 常微分方程 第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节二阶常系数线性微分方程
第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 一、微分方程的基本概念 二、分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
第一节常微分方程的基本概念与分离变量法 一、微分方程的基本概念 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程.特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为常微分方程， 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数， 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程。在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数． 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为 常微分方程． 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程． 一、微分方程的基本概念
微分方程的解：如果将函数=y(x)代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数，如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解， 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件. 阶常微方程的初始条件为y(x。)=y。,其中x。, y。是两个已知数， 二阶微分方程的初始条件为v(x)=y: y'(x0=y%
如果将函数y = y ( x ) 代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解． 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件． 一阶常微方程的初始条件为 0 0 y( x ) = y ,其 中 0 x ， 0 y 是两个已知数. 二阶微分方程的初始条件为 0 0 0 0 ( ) , ( ) . y x y y x y = = 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
例1验证函数y=Ce+C,e2(C,C为任意常数) 为二阶微分方程y”-3y'+2y=0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0)=0,y(0)=1的特解. y=Cje*+C2e2,y=Ce*+2Ce2x y"=Ce*+4Ce2x 将y,y,y"代入方程y"-3y+2y=0左端，得 Ce*+4Ce2x-3(Ce*+2C2e2*)+2(Cje*+C2e2x) =(C1-3C1+2C1)e+(4C2-6C2+2C2)e2x=0 所以，函数y=Ce+Ce2是所给微分方程的解.又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解， ✉I
例 1 验证函数 x x y C C 2 1 2 = e + e ( 1 2 C C, 为任意常数) 为二阶微分方程 y − 3y + 2 y = 0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0) = 0, y(0) =1的特解． 所以，函数y = C e1 x +C2 2x e 是所给微分方程的解．又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解． x x y C C 2 1 2 = e + e , 2 1 2 e 2 e , x x y C C = + 2 1 2 e 4 e , x x y C C = + 将y, y , y 代入方程 y − 3y + 2 y = 0左端，得 解 e 4 e 3( e 2 e ) 2( e e ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x x x x x x C + C − C + C + C +C ( 3 2 )e (4 6 2 )e 0 2 = 1 − 1 + 1 + 2 − 2 + 2 = x x C C C C C C
由初始条件y(O)=0,我们得C+C,=0,由初始条件 y(0)=1,得C,+2C2=1.所以C2=1,C=-1.于是，满 足所给初始条件的特解为y=-e+e2. 定义1 (线性相关，线性无关)设函数y,(x),y2(x) 是定义在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的数 k,k2,使得对于(a,b)内的任一x恒有 ky1+k2y2=0 成立， 则称函数y,y2在（α，b)内线性相关，否则称为线性 无关
由初始条件y(0) = 0，我们得C1 + C2 = 0，由初始条件 y(0) =1，得 2 1. C1 + C2 = 所以C2 = 1，C1 = −1．于是，满 足所给初始条件的特解为 x x y 2 = −e + e ． 设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间( , ) a b 内的函数，若存在两个不全为零的数 1 2 k , k ，使得对于( , ) a b 内的任一 x 恒有 成立，则称函数 1 2 y , y 在( , ) a b 内线性相关，否则称为线性 无关． 0 k1 y1 + k 2 y2 = 定义1 （线性相关，线性无关）
y,y线性相关的充分必要条件是在（α，b)区间内 y2 恒为常数.若不恒为常数，则y,y2线性无关.当y Y2 与2线性无关，函数y=Cy+C2y2中含有两个独立 的任意常数C和C2. 二、分离变量法 定义2形如 f(x)8(y)的方程， 称为可分离 变量的方程. 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数
1 2 y , y 线性相关的充分必要条件是 2 1 y y 在( , ) a b 区间内 恒为常数．若 2 1 y y 不恒为常数，则 1 2 y , y 线性无关．当 1 y 与 2 y 线性无关，函数 1 1 2 2 y = C y +C y 中含有两个独立 的任意常数 C1和C2 ． 定义 2 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y = 的方程，称为可分离 变量的方程. 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数． 二、分离变量法
可分离变量方程的解法： (1)分离变量：将该方程化为等式一边只含变量y, 而另一边只含变量x的形式，即 =f(xd其中8()≠0 8(y) (2)两边积分： (3)计算上述不定积分，得通解. ☑D☒☒
可分离变量方程的解法： （1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即 f x x g y y ( )d ( ) d = 其中g( y) 0 （2）两边积分： f x x g y y ( )d ( ) d = （3）计算上述不定积分，得通解
例2求y+xy=0的通解 解方程变形为 x -XV. 分离变量得 -t6=0 两边积分得 ∫g-jd, 求积分得 1ny-2+C, 所以 即 y-tee"=Ce(C=te), 方程通解为y=Ce之 (C为任意常数)
例2 求y'+xy = 0的通解． 解 方程变形为 xy x y = − d d , 分离变量得 x x y y d d = − (y 0 ), 两边积分得 = − x x y y d d , 求积分得 1 2 2 1 ln | y |= − x +C , 所以 2 1 1 2 2 1 2 1 | | e e e x C x C y − + − = = , 即 2 2 1 1 1 1 2 2 e e e ( e ) x x C C y C C − − = = = , 方程通解为 2 2 1 e x y C − = （ C 为任意常数）
例3设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t=O)时的速度为零。求降落 伞下落速度与时间t的函数关系 解设降落伞下落速度为v(1时伞所受空气阻力为 -w(负号表示阻力与运动方向相反，k为常数).另外， 伞在下降过程中还受重力P=g作用，故由牛顿第二定律 得mdy=mg-且有初始条件：v,=0于是，所给问题归 dv dt 结为求解初值问题 m =mg-kv dt 0三0
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t = 0)时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为 − kv（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）．另外， 伞在下降过程中还受重力P = mg作用，故由牛顿第二定律 得 mg kv t v m = − d d 且有初始条件：v | t=0= 0于是，所给问题归 结为求解初值问题 0 d , d | 0, t v m mg kv t v = = − =