电三寒础 第9章动态电路的复频域分折 第二节 拉氏反变换的部分分式展开法 拉氏反变换：FS→f) 求解方法：部分分式展开法。 1.电路中的象函数通常是两个有理多项式之比。 N(S) F(S)= aSm+aSm-+…+0n D(s) bs"+bs"-1+…+bn n≥m n>m F(S)为真分式 N(S) n=m 要把有理式化为为真分式F(S)=A+ D(S) 2.将有理函数分解成许多简单项之和。再利用拉氏 变换表求出原函数即可。 用部分分式展开有理分式F(⑤)时，首先必须求 出DS)=0的根
第9章 动态电路的复频域分析 第二节 拉氏反变换的部分分式展开法 拉氏反变换： F (s) → f (t) 求解方法：部分分式展开法。 n n n n m m b s b s b a s a s a D s N s F s + + + + + + = = − − 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 1. 电路中的象函数通常是两个有理多项式之比。 2. 将有理函数分解成许多简单项之和。再利用拉氏 变换表求出原函数即可。 用部分分式展开有理分式 F (s) 时，首先必须求 出 D(s) = 0 的根。 n m F(S)为真分式 n = m 要把有理式化为为真分式 n m ( ) N ( ) ( ) A 0 D S S F S = +
电五基础 第9章动态史路的复频域分折 一、DS=0含有实数单根 设Dg)=0含有n个实数单根：p1、p2、、pn F(S)= K1+K2++ K。 S-P S-P2 S-Pn K1、K2、、Km为待定系数，可按下述方法确定 求K1:等式两边都乘以(s-P1)。 BA=+-a,R+2】 令s=P1,则K1=【s-P,)F(S】 同理可得：K,=[【s-p,)Fs], 可园回
第9章 动态电路的复频域分析 一、D(s) = 0 含有实数单根 设 D(s) = 0 含有 n 个实数单根：p1、p2、…、pn。 n n s p K s p K s p K F s − + + − + − = 2 2 1 1 ( ) K1、K2、…、Kn为待定系数，可按下述方法确定 求 K1：等式两边都乘以 ( s – p1 ) 。 − + + − − = + − n n s p K s p K s p F s K s p 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 令 s = p1 ，则 1 1 1 ( ) ( ) s p K s p F s = = − 同理可得： pi i i s K s p F s = = ( − ) ( )
电五基础 第9章动态电路的复频域分折 s2+S+2 [例9-7]求F()= 、+6s2+116+6 的原函数f()。 解：首先求出D)=0的根 D(s)=s3+6s2+11s+6=(6+1)(s+2)(s+3) 故Ds)=0的根为：p1=-1、p2=-2、p3=-3。 F()= s2+5+2 则 K+K+K (5+1)(5+2)(s+3) S+1S+2 S+3 S2+5+2 K1=(S+1)F(S)=-1= (s+2)(s+3) S+S+2 K,=(+2F06G+0s+-:=-4 可园回
第9章 动态电路的复频域分析 [例9-7] 求 6 11 6 2 ( ) 3 2 2 + + + + + = s s s s s F s 的原函数 f (t) 。 解：首先求出 D(s) = 0 的根 ( ) 6 11 6 ( 1)( 2)( 3) 3 2 D s = s + s + s + = s + s + s + 故 D(s) = 0 的根为：p1= -1、p2= -2、p3= -3。 则 ( 1)( 2)( 3) 1 2 3 2 ( ) 1 2 3 2 + + + + + = + + + + + = s K s K s K s s s s s F s 1 ( 2)( 3) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 1 = + + + + = + s=− = s=− s s s s K s F s 4 ( 1)( 3) 2 ( 2) ( ) 2 2 2 2 = − + + + + = + s=− = s=− s s s s K s F s
电马县础 第9章动态电路的复频域分折 s2+S+2 [例9-7]求F(S)= g3+6s2+11s+6 的原函数f()。 解：已求得 K1=1K2=-4 K,=(5+3)F(s以 S2+S+2 (s+1)(s+2) 13 ≥4 s2+S+2 -4 4 F(S)= (S+1)(S+2)(s+3)s+1 S+2 S+3 利用拉氏变换表求出原函数 s+a f(t)=e-4e+4e-3 可目国
第9章 动态电路的复频域分析 4 ( 1)( 2) 2 ( 3) ( ) 3 2 3 3 = + + + + = + s=− = s=− s s s s K s F s [例9-7] 求 6 11 6 2 ( ) 3 2 2 + + + + + = s s s s s F s 的原函数 f (t) 。 解： 已求得 K1 = 1 K2 = −4 3 4 2 4 1 1 ( 1)( 2)( 3) 2 ( ) 2 + + + − + + = + + + + + = s s s s s s s s F s 利用拉氏变换表求出原函数 s a e at + − → 1 t t t f t e e e 2 3 ( ) 4 4 − − − = − +
电五基础 第9章动态电路的复频域分折 二、DS)=0含有复数根（属于单根） 设DS)=0有一对共轭复根 p1=-0+jω p2=-0-jw 则有K,=【(s+a-jo)F(s】,-a+o K2=[【s+a+jo)Fs】,a-o S+3 [例9-91求F(s)= (s+1)(s2+2s+5) 的原函数f()。 解：先求出Dg=0的根p1=-1,p2=-1+j2,p3=l1-j2 则 F(s)= K+ K2 K 5+15+1-2 5+1+j2 可园回
第9章 动态电路的复频域分析 二、D(s) = 0 含有复数根（属于单根） 设 D(s) = 0 有一对共轭复根 p ω p ω j j 2 1 = − − = − + 则有 s ω K s ω F s 1 j ( j ) ( ) =−+ = + − s ω K s ω F s 2 j ( j ) ( ) =−− = + + [例9-9] 求 ( 1)( 2 5) 3 ( ) 2 + + + + = s s s s F s 的原函数 f (t) 。 解：先求出 D(s) = 0 的根 p1= -1，p2= -1+j2，p3= -1-j2。 1 1 j2 1 j2 ( ) 1 2 2 + + + + − + + = s K s K s K 则 F s
电五基础 第9章动态电路的复频域分折 5+3 [例9-9]求F()= (S+1)(s2+2s+5) 的原函数f(。 解：已求得 F(s)=kt K s+1's+1-j2s+1+j2 K=6+wr6-=s23+5-=a5 S+3 K,=[【s+1-j2)F(w】-n= S+3 (s+1)(s+1+2) 5=-1+2 2+j2√2 ∠-45 2×j4 4 Ki- ∠45 4 可回回
第9章 动态电路的复频域分析 [例9-9] 求 ( 1)( 2 5) 3 ( ) 2 + + + + = s s s s F s 的原函数 f (t) 。 解： 1 1 j2 1 j2 ( ) 1 2 2 + + + + − + + = s K s K s K 已求得 F s 0.5 2 5 3 ( 1) ( ) 1 1 2 1 = + + + = + s=− = s=− s s s K s F s o 2 1 j2 1 j2 45 4 2 j2 j4 2 j2 ( 1)( 1 j2) 3 ( 1 j2) ( ) = − + = + + + + = + − s=− + = s=− + s s s K s F s o 2 45 4 2 = K
电五基础 第9章动态电路的复频域分折 S+3 [例9-9]求F(S)= (s+1)(s2+2s+5) 的原函数f()。 解： 已求得K=05K=2∠-5K;=2∠45 4 4 √2 2 0.5 ∠-45 ∠45° F(S)= 4 4 S+1 S+1-j2 s+1+2 查拉氏变换表 e a s+a AZ0 A∠-0 2 Ae-"cos(.ot+0)-→ s+a-jωs+a+jw f0=0.5e'+2x2e'c0s2t-45°) √2 则 2 =0.5e+V2e'cos(2t-45) 2 可回回
第9章 动态电路的复频域分析 [例9-9] 求 ( 1)( 2 5) 3 ( ) 2 + + + + = s s s s F s 的原函数 f (t) 。 解： 1 j2 45 4 2 1 j2 45 4 2 1 0.5 ( ) o o + + + + − − + + = s s s F s 已求得 K1 = 0.5 o 2 45 4 2 K = − o 2 45 4 2 = K 则 cos(2 45 ) 4 2 ( ) 0.5 2 o = + − − − f t e e t t t cos(2 45 ) 2 2 0.5 o = + − − − e e t t t s a e at + − → 1 查拉氏变换表 s a jω s a jω e t a t + + − + + − − + → A A 2 A cos( )
电五基础 第9章动态电路的复频域分折 三、DS)=0含有重根 设D⑤中含有(s-p1)3的因式，则p1为D⑤)=0 的三重根。对Fs)进行分解 F(S)= 产+R+n2 K12 求K1:等式两边都乘以(s-p1)3。 (S-P1)3F(S)=K1+K12(S-P1)+K13(S-P1)2 +-P,)P∑K1 2 (s-p,) 则K1=【ks-p,)3FS)】,=n 可园国
第9章 动态电路的复频域分析 三、D(s) = 0 含有重根 设 D(s) 中含有 ( s – p1 ) 3 的因式，则 p1 为 D(s) = 0 的三重根。对 F(s) 进行分解 = − + − + − + − = 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i s p K s p K s p K s p K F s 求 K11：等式两边都乘以 ( s – p1 ) 3 。 = − + − − = + − + − 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i s p K s p s p F s K K s p K s p 则 1 3 11 1 ( ) ( ) s p K s p F s = = −
电马基础 第9章动态电路的复频域分折 三、D)=0含有重根 K1K12 F)=G-A+( 0K, (S-p1)3F(S)=Ku+K1s-P1)+K13(-pP1) +6-Ag 求K12:上式两边对s求导一次，则K12被分离出来。 a=-nPrw]n 同理 g=2k-Ar 可回回
第9章 动态电路的复频域分析 三、D(s) = 0 含有重根 求 K12：上式两边对 s 求导一次，则K12被分离出来。 = − + − − = + − + − 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i s p K s p s p F s K K s p K s p = − + − + − + − = 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i s p K s p K s p K s p K F s 1 3 12 1 ( ) ( ) d d s p s p F s s K = = − 同理 1 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) d d 2! 1 s p s p F s s K = = −
电五基础 第9章动态史路的复频域分折 例9-101求F(S)= S+2 (s+1)2(s+3) 的原函数f()。 解： F(S)= (s+1)2 S+1 S+3 -+l- 2 K.=dks+1F=s+3+2 (5+3)2 1= -4 =+ol 3=- 4 1 2 4 f0=e+ -31 F(S)= (+1)2 S+1 S+3
第9章 动态电路的复频域分析 [例9-10] 求 ( 1) ( 3) 2 ( ) 2 + + + = s s s F s 的原函数 f (t) 。 解： ( 1) 1 3 ( ) 1 2 2 2 1 1 + + + + + = s K s K s K F s 2 1 3 2 ( 1) ( ) 1 1 2 1 1 = + + = + s=− = s=− s s K s F s 4 1 ( 3) ( 3) ( 2) ( 1) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 = + + − + = + s=− = s=− s s s s F s s K 4 1 ( 1) 2 ( 3) ( ) 2 3 2 3 = − + + = + s=− = s=− s s K s F s 3 4 1 1 4 1 ( 1) 2 1 ( ) 2 + − + + + + = s s s F s t t t f t te e e 3 4 1 4 1 2 1 ( ) − − − = + −