免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 解直角三角形 【探究目标】 1.目的与要求能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题 2.知识与技能能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形, 能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题 3.情感、态度与价值观通过解直角三角形的应用,培养学生学数学、用数学的意识 和能力,激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物 【探究指导】 教学宫殿 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如下图: 角角关系:两锐角互余,即∠A+∠B=90°;边边关系:勾股定理,即a2+b=c; 边角关系:锐角三角函数,即 b sin a=-cos a=-tan A=-cot a= C b B cos B==tan b=-cot B 解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形:(1)已知两条边(一直角边 和一斜边:两直角边):(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角;斜边和一锐角).这 两种情形的共同之处:有一条边.因此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边 用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是 实际问题抽象、匚数学问题(解直角三角形) 解决 求解得到 匚实际问题的解 解释 数学问题的解 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形),就是要舍去实际事物的具体内容,把事物 及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义,也 有助于把实际问题抽象为数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求 解 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解直角三角形 【探究目标】 1．目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．知识与技能 能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形， 能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识 和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物． 【探究指导】 教学宫殿 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图： 角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；边边关系：勾股定理，即 2 2 2 a + b = c ； 边角关系：锐角三角函数，即 b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A = = = = = = = = sin ,cos , tan ,cot sin ,cos , tan ,cot 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边 和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这 两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物 及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也 有助于把实际问题抽象为数学问题． 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求 解．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,如没有特殊要求外,边长保留四个有效 数字,角度精确到1′ 例1在△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形 (1)c=10,∠B=45°,求a,b,∠A (2)a=2√6,b=6√2,求c,∠A,∠B 思路与技巧求解直角三角形的方法多种多样,如(1)可以先求a或b,也可以先求∠A 依据都是直角三角形中的各元素间的关系,但求解时为了使计算简便、准确,一般尽量选择 正、余弦,尽量使用乘法,尽量选用含有已知量的关系式,尽量避免使用中间数据. 解答(1)∠A=90°-45 a=c.snA=10.sn45°=52 b=a=52 √6 sin a 4√62所以∠A=30° ∠B=90°-∠A=609 例2如图,①是R△ABC斜边上的高,BC=2√3,CD=2√2,求AC,A,∠A, ∠B(精确到1 思路与技巧在Rt△ABC中,仅已知一条直角边BC的长,不能直接求解.注意到BC 和CD在同一个Rt△BCD中,因此可先解这个直角三角形 解答在Rt△BCD中 BD=√BC2-CD2=√12-8=2 sin B-CD22√6 BC2√33 BD B BC233 用计算器求得∠B=54°44′ 于是∠A=90°-∠B=35°16′ 在Rt△ABC中, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效 数字，角度精确到 1′． 例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)c＝10，∠B＝45°，求 a，b，∠A； (2) a = 2 6,b = 6 2 ，求 c，∠A，∠B 思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求 a 或 b，也可以先求∠A， 依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择 正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据． 解答 (1)∠A＝90°-45°＝45° a = c sin A =10sin 45 = 5 2 b = a = 5 2 (2) 24 72 4 6 2 2 c = a + b = + = , 2 1 4 6 2 6 sin A = = 所以 A = 30 B = 90−A = 60 例 2 如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高， BC = 2 3 ，CD = 2 2 ,求 AC，AB，∠A， ∠B(精确到 1′)． 思路与技巧 在 Rt△ABC 中，仅已知一条直角边 BC 的长，不能直接求解．注意到 BC 和 CD 在同一个 Rt△BCD 中，因此可先解这个直角三角形． 解答 在 Rt△BCD 中 12 8 2 2 2 BD = BC −CD = − = 3 3 2 3 2 cos 3 6 2 3 2 2 sin = = = = = = BC BD B BC CD B 用计算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在 Rt△ABC 中
免费下载网址ht: Jiaoxie5uysl68com/ AB cos B AC= Abasin B=6×如=2√6 例3气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处,正在向正西北方向转移, 距台风中心300km的范围内将受其影响,问港口A是否会受到这次台风的影响? 思路与技巧如图19—48,就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km, Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,AB=400km,是AC可求 北 入 东 解答在Rt△ABC中 sn∠ABC 由于AB 所以AC=AB·sin∠ABC=400×sin45 400 200√2≈283<300 所以港口A将受到这次台风的影响 例4如图,两幢建筑物的水平距离为56.5m,从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物 的底部的俯角是42°,从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°,求这两幢 筑物的高度(精确到0.1m) E 思路与技巧如图,AB、①表示两幢建筑物 5m,根据俯 角、仰角的意义,∠DAE=42°,∠ACF=22°,于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解 解答在Rt△ABD中 ∠ADB=∠DAE=42° BD=56.5(m) AB=BD·tan∠ADB 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 6 3 6 sin 6 6 3 3 2 3 cos = = = = = = AC AB B B BC AB 例 3 气象台测得台风中心在某港口 A 的正东方向 400km 处，正在向正西北方向转移， 距台风中心 300km 的范围内将受其影响，问港口 A 是否会受到这次台风的影响? 思路与技巧 如图 19—48，就是要求出 A 到台风移动路线 BC 的距离是否大于 300km， Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝400km，是 AC 可求． 解答 在 Rt△ABC 中， 由于 ABC AB AC = sin 所以 AC＝AB·sin∠ABC＝400×sin45° 200 2 283 300 2 2 = 400 = 所以港口 A 将受到这次台风的影响． 例 4 如图，两幢建筑物的水平距离为 56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物 的底部的俯角是 42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是 22°，求这两幢 建筑物的高度(精确到 0．1m)． 思路与技巧 如图，AB、CD 表示两幢建筑物，AB⊥BD，CD⊥B D，BD＝56．5m，根据俯 角、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是 Rt△ABD、Rt△ACF 都可解． 解答 在 Rt△ABD 中， ∠ADB＝∠DAE＝42° BD＝56.5(m) AB＝BD·tan∠ADB
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ =56.5×tan42° ≈50.9(m) 在Rt△ACF中 AF=CF·tan∠ACF 所以CD=AB-AF 28.1(m) 答:两幢建筑物的高度分别为50.9m,28.1m 例5如图,沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5, 已知坝高6m,坝长50m求: (1)加宽部分横断面AFEB的面积 (2)完成这一工程需要多少土方? 思路与技巧只须求出梯形AFEB的下底EB的长,作AG⊥BC,FH⊥EB,垂足分别为G H,根据坡度的意义,可以求出坡AB、坡EF的水平长度 解答(1)作AG⊥BC,FH⊥EB,垂足分别为G、H,由题意得 HG=AF=2(m). AG=FH=6(m) 在Rt△ABG中,因为 AG BG 2 所以BG=2×6=12(m) 在Rt△FEH中,因为 EH2.5 所以EH=2.5×6=15(m) 所以EB=EH+HG-BG=15+2-12=5(m S形a0=1(4F+EB)x4G=(2+5)×6=2(m 所以 V=S×50=21×50=1050m 答:加宽部分横断面AFEB的面积为2lm,完成这一工程需要1050方土 例6海上有两条船,甲船在乙船的正南方向,甲船以每小时40海里的速度沿北偏东 0°方向航行,乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行,问两船会不会相撞?为什么? 思路与技巧根据题意画出图形,如图19-51,可知甲、乙两船的路线可能会成为直 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ＝56.5×tan42° ≈50.9(m) 在 Rt△ACF 中， AF＝CF·tan∠ACF =56.5×tan 22° ≈22.8(m) 所以 CD＝AB-AF ＝28.1(m) 答：两幢建筑物的高度分别为 50.9m，28.1m 例 5 如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽 2m，坡度由原来的 1：2 改为 1：2．5， 已知坝高 6m，坝长 50m 求： (1)加宽部分横断面 AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少土方? 思路与技巧 只须求出梯形 AFEB 的下底 EB 的长，作 AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为 G、 H，根据坡度的意义，可以求出坡 AB、坡 EF 的水平长度． 解答 (1)作 AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为 G、H，由题意得 HG＝AF＝2(m)．AG＝FH＝6(m) 在 Rt△ABG 中，因为 2 1 = = BG AG i 所以 BG＝2×6＝12(m) 在 Rt△FEH 中，因为 2.5 1 = = EH FH i 所以 EH＝2．5×6＝15(m) 所以 EB＝EH+HG-BG＝15+2-12＝5(m) 所以 ( ) ( ) ( ) 2 2 5 6 21 2 1 2 1 S梯形AFEB = AF + EB AG = + = m ( ) 3 V = S梯形AFEB 50 = 2150 = 1050 m 答：加宽部分横断面 AFEB 的面积为 2 21m ，完成这一工程需要1050 方土． 例 6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时 40 海里的速度沿北偏东 60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时 20 海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么? 思路与技巧 根据题意画出图形，如图 19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 角三角形中60°所对的直角边和斜边,两船同时出发,在相同的时间内所走路程的比如果 正好等于60°的正弦就会相撞,否则不会 北 南 解答如图,因为乙船的速度为每小时20海里,甲船的速度为每小时40海里,所以乙 船与甲船所走路程的比为1:2 sin 60 所以不会发生相撞 例7某市为改变城市交通状况,在大街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB.在地面上事先 划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3m远的D点测得树 的顶部A点的仰角为60°,树的底部B的仰角为30°,如图19-52,问距离B点8m远的 保护物是否在危险区内? E 思路与技巧本题的实质是要计算大树的高度,如果大于8m,说明保护物在危险区内 否则不在.由于大树不在哪一个直角三角形中,根据条件,过C作CE⊥AB,则可把AB放在 Rt△ACE和Rt△BCE中进行求解. 解答过C作CE⊥AB,垂足为E 由题意可知,CE=DB=3 在Rt△CEB中, BE=CEtn30°=3×y3=1.732(m) 在Rt△ACE中, AE= CE. tan60°=3×√3≈5.196(m) 所以AB=AE+BE=5.196+1.732=6.928(m)<8(m) 所以距离B点8m远的保护物不在危险区域内 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 角三角形中 60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果 正好等于 60°的正弦就会相撞，否则不会． 解答 如图，因为乙船的速度为每小时 20 海里，甲船的速度为每小时 40 海里，所以乙 船与甲船所走路程的比为 1：2． 又 2 1 2 3 sin 60 = 所以不会发生相撞． 例 7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树 AB．在地面上事先 划定以 B 为圆心，半径与 AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离 B 点 3m 远的 D 点测得树 的顶部 A 点的仰角为 60°，树的底部 B 的仰角为 30°，如图 19—52，问距离 B 点 8m 远的 保护物是否在危险区内? 思路与技巧 本题的实质是要计算大树的高度，如果大于 8m，说明保护物在危险区内， 否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过 C 作 CE⊥AB，则可把 AB 放在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中进行求解． 解 答 过 C 作 CE⊥AB，垂足为 E. 由题意可知，CE＝DB＝3m 在 Rt△CEB 中， BE CE 1.732(m) 3 3 = tan 30 = 3 在 Rt△ACE 中， AE = CE tan 60 = 3 3 5.196(m) 所以 AB＝AE+BE＝5.19 6+1 .732＝6.928(m)＜8(m) 所以距离 B 点 8m 远的保护物不在危险区域内．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 【探究活动】 提出问题运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗? 探究准备锐角△ABC(已知b,a和∠C).钝角△ABC(已知∠A,c,∠B)(∠A C的对边为a,b,c)如图 探究过程直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据,它 们只有在直角三角形中才成立,因此要想用它们来解斜三角形,必须把斜三角形转化为直角 三角形,转化的方法一般是作高,如图19-53甲可以作AD⊥BC于D,这样构造了两个直 角三角形Rt△ABD和Rt△ACD,Rt△ACD中,CD=bcos∠C,AD=bsin∠C,因为BC=a,所 tan B ad bsin∠C 以BD=a-bcos∠C,在Rt△ABD中, BDa-bcos∠C,得出∠B,进而求出∠ A=10-∠B∠C,AB=√AD2+BD2=V(bsn∠C)+(a+bcos4C) b2+a2-2 abcs Zc(cos2∠C+sn2∠C=1)同样方选,图乙中,可以过c作cD⊥ AB于D,先解Rt△ACD.再解Rt△CDB 探究评析“化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法,其做法 是通过作斜三角形的一条高,把斜三角形化为两个直角三角形,再根据条件分别在两个直角 三角形中做文章 例8如图,公路上A、B两处相距Ikm,测得城镇C在A处的北偏东35°方向,在B 处的北偏西40°方向.求城镇C到A处、B处的距离分别是多少? 北 C(城镇) A处 公路B处 思路与技巧弄清楚两个方向角是解决问题的第一步,根据题意∠1=35° 40°,AB=1km,发现△ABC不是直角三角形,故通过“化斜为直”转化,作CD⊥AB于D 如图19-55,则∠ACD=∠1=35°,∠BCD=∠2=40°,但是Rt△ACD与Rt△BCD都无法 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【探 究活动】 提出问题 运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗? 探究准备 锐角△ABC(已知 b，a 和∠C)．钝角△ABC(已知∠A，c，∠B)(∠A，∠B，∠ C 的对边为 a，b，c)如图． 探究过程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它 们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角 三角形，转化的方法一般是作高，如图 19—53 甲可以作 AD⊥BC 于 D，这样构造了两个直 角三角形 Rt△ABD 和 Rt△ACD，Rt△ACD 中，CD＝b cos∠C，AD＝b sin∠C，因为 BC＝a，所 以 BD＝ a - b cos∠C，在 Rt△ABD 中， a b C b C BD AD B − = = cos sin tan ，得出∠B，进而求出∠ A＝180°-∠B-∠C， ( ) ( ) 2 2 2 2 AB = AD + BD = bsin C + a + bcosC = b + a − 2abcosC 2 2 (cos sin 1) 2 2 C + C = 同样方法，图乙中，可以过 C 作 CD⊥ AB 于 D，先解 Rt△ ACD．再解 Rt△CDB． 探究评析 “化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法 是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角 三角形中做文章． 例 8 如图，公路上 A、B 两处相距 lkm，测得城镇 C 在 A 处的北偏东 35°方向，在 B 处的北偏西 40°方向．求城镇 C 到 A 处、B 处的距离分别是多少? 思路与技巧 弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意∠1＝35°，∠2＝ 4 0°,AB＝lkm，发现△ABC 不是直角三角形，故通过“化斜为直”转 化，作 CD⊥AB 于 D， 如图 19—55，则∠ACD＝∠l＝35°，∠BCD＝∠2＝40°，但是 Rt△ACD 与 Rt△BCD 都无法
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 直接求解,因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB=AB=1km的条件,设 法列方程求解 解答作CD⊥AB,垂足为D,设CD=x 则在Rt△ACD中, AD=x·tan∠ACD=x·tan35° 在Rt△CDB中, BD=x·tan∠BCD=x·tan40 因为AD+BD=AB=1 所以x(tan35°+tan40°)=1 1÷(tan35°+tan40°)≈0.6496(km) AC- CD CD ≈0.793(km) 于是 sin 55 sins0≈0848km) 答:城镇C到A处的距离约93km,到B处的距离约是0.848km 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 直接求解，因而可利用 CD 是这两个直角三角形的公共边以及 AD +DB＝AB＝lkm 的条件，设 法列方程求解． 解答 作 CD⊥AB，垂足为 D，设 CD＝x 则在 Rt△ACD 中， AD＝x·tan∠ACD＝x·tan35° 在 Rt△CDB 中， BD＝x·tan∠BCD＝x·tan40° 因为 AD+BD＝AB＝1 所以 x(tan35°+tan 40°)＝1 x＝1÷(tan35°+tan40°)≈0．6496(km) 于是 ( ) (k m) CD k m BC CD AC 0.848 sin 50 0.793 , sin 55 = = 答：城镇 C 到 A 处的距离约 93km，到 B 处的距离约是 0．848km．