信号处理理论与算法 短时傅里叶变换与Gabor3变换 张朋 自动化工程学院
信号处理理论与算法 短时傅里叶变换与Gabor变换 张 朋 自动化工程学院
连续信号的短时傅立叶变换 傅立叶变换（FT) 原超拿 X(j)=["x(t)e-dr x)=2元JX(U2e0 4sine ●傅里叶变换存在三方面不足 4sin30 时间、频率“定位”的不足 3π 4sin5e 5π •对于非平稳信号的局限性 4sin7e 7π •分辨率上的局限性 傅里叶变换联系了时间和频率
傅立叶变换（FT） ( ) () j t X j x t e dt 1 () ( ) 2 j t xt X j e d 傅里叶变换联系了时间和频率 连续信号的短时傅立叶变换 •傅里叶变换存在三方面不足 •时间、频率“定位”的不足 •对于非平稳信号的局限性 •分辨率上的局限性
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) 用基函数8，n(t)=g(t-t)eR来代替傅立叶变换中的基函数e2r STFT定义： 给定信号x(t)∈L(R)其STFT定义为： STFT,(t,)=x()gia()dt =[x(t)g'(r-t)e-dr = 式中8.(t)=g(t-t)e2i Ig()1 8.(t)l=1 窗函数8(T)取对称函数
用基函数 j t g ( ) g(t )e , 来代替傅立叶变换中的基函数 j t e 短时傅立叶变换（STFT） 连续信号的短时傅立叶变换 给定信号 其STFT定义为 ： 式中 窗函数 取对称函数。 ( ) ( ) 2 x t L R j j x t x g t e d x g t e STFT t x g d ( ) ( ) ( ), ( ) ( , ) ( ) ( ) * * , j t g ( ) g( t)e , || g( ) || 1 || ( ) || 1 gt, g( ) STFT定义：
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) STFT.(t,) 0.25 0.2 0.15 (sM)x 0.1 0.05 0 8.(t)=8(x-t)e2i 60 90 80 20 40 20 FT的基函数eP乘以方窗 ts/s 0 w/rad/s 基函数的改变 FT的基函数能否用来进行分窗呢？
FT的基函数 乘以方窗 , () ( ) j t g g te j e 基函数的改变 STFT (t,) x FT的基函数能否用来进行分窗呢？ 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT）
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) X(T
τ x(τ) 0 FT FT FT Ω 0 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT）
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) STFT的基本思想 在传统的FT框架中，把非平稳信号看出是 一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是 通过时域加窗来实现，并通过一个平移参 数来覆盖整个时域。 ■STFT的有限支撑特性， 实现时-频定位 时域加窗，频域呢？
STFT的基本思想 在传统的FT框架中，把非平稳信号看出是 一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是 通过时域加窗来实现，并通过一个平移参 数来覆盖整个时域。 STFT的有限支撑特性，实现时-频定位 时域加窗，频域呢？ 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT）
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) 窗函数的增加是否引起信号频谱的损失？ 设血函数为g02石 则其傅里叶变换为 g-2g=e 窗函数的影响： ["STFT(t.dt="x(t)g(r-t)e drdt =∫x(r)emrg(r-t)didr =eg2eer ="x(r)e dr =x(2)
窗函数的增加是否引起信号频谱的损失？ 设窗函数为 则其傅里叶变换为 2 1 4 ( ) 2 t a gt e a 2 2 1 4 ( ) 2 t a jt a g e e dt e a 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT） 2 4 STFT( , ) ( ) ( ) () ( ) 1 ( ) 2 () ( ) j j j t a j t dt x g t e d dt x e g t dtd x e e dtd a xe d x 窗函数的影响：
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT) STFT的时-频分辨率 8.(t)=g(x-t)e2i SFFT,(t,2)=X(v)G"(v-2)edv G(v)和X(v)分别是窗函数和信号的傅里叶变换 表明频域加窗
1 * 2 (, ) ( ) ( ) j t x SFFT t X G e d G(v)和X(v)分别是窗函数和信号的傅里叶变换 表明频域加窗 j t g ( ) g( t)e , STFT的时-频分辨率 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT）
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) STFT的时-频分辨率 8.n(t)=g(t-t)e2 基函数g(x)的时间中心。=t(t是移位变量)， 时宽A=Jr-P18,n(e)Pdr=∫rlg(e)dr G,(D)的频率中心w。=2, 带宽A号=∫w-2}Gaw)Pdw=京U21Gw)Pdw
基函数 的时间中心 （ t是移位变量）， 时宽 的频率中心 ， 带宽 ( ) , gt t 0 2 2 2 22 , 1 1 ( ) | ( )| | ( )| t tg d g d E E ( ) Gt, 0 2 2 2 22 1 1 2 2 , ( ) | ( )| | ( )| E E G d Gd t j t g ( ) g ( t ) e , STFT的时 -频分辨率 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换（STFT）
连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶变换(STFT) STFT的时-频分辨率 STFT的基函数g.2(t)具有时一频平面上的一个如下的分辨“细 胞”：其中心在（亿，2）处，其大小为△。·△，。不管取何值（即移到 何处)，该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT 的时一频分辨率。 STFT的时一频分辨率
STFT的基函数 具有时－频平面上的一个如下的分辨“细 胞”：其中心在 处，其大小为 。不管取何值（即移到 何处），该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT 的时－频分辨率。 ( ) , t g (t,) STFT的时-频分辨率 短时傅立叶变换（STFT） 连续信号的短时傅立叶变换 t1 t2 Ω2 Ω1 STFT的时－频分辨率