数学物理方法 严镇军编著 中国科学技术大学出版社
书 数学物理方法 严镇军 编著 中国科学技术大学出版社
前言 本书是在中国科学技术大学一些“偏工”的系及专业使用的数 学物理方法讲义的基础上编写的.原讲义写于1980年，18年间重 印了3次，每次重印都作了一些修改.开设这门课的目的，是为了 适应部分系和专业的要求，用较少的学时讲授原来开设的复变函 数和数学物理方程这两门课.近年来，随着学校体制等各方面的改 革，新设置了很多的系和专业，开设这门课的系和专业越来越多， 为适应这种情况，才决定把原讲义修改出书. 这次成书，根据诸位同仁的意见，并参照我历年来的讲稿，对 原讲义作了很大的修改，删去了一些不必要的内容，并增加了保形 变换一章，对许多问题自以为处理得比较简洁.根据多年的教学经 验，全书内容除极少量带星号的外（打星号的内容全书不超过4学 时)，可以在一学期（每周4学时）内讲完.书中有些小节的例题较 多，是供学生自学之用的，不一定讲授.书末附有全部习题的答案， 供使用本书的教师和学生参考， 根据多年经验，各章的学时分配可大致如下表 复变函数第1章第2章第3章第4章第5章第6章第7章 学 时 3677°564 数学物理方程第1章第2章第3章第4章第5章 学时77839 这个学时分配表仅供教学参考（如果学时紧张，可不讲复变函 数部分第6章).笔者教这门课近十届，虽积累了许多教学经验，但 不敢说这本教材能尽如人意.复变函数和数学物理方程的内容都 极为丰富，且后者（尤其是其中的特殊函数）内容很庞杂，在学时少 的情况下，内容越庞杂的教材是越难写好的. 最后还是老话一句，书中这样那样的不妥之处在所难免，不过
前!!言 本书是在中国科学技术大学一些!偏工"的系及专业使用的数 学物理方法讲义的基础上编写的!原讲义写于$%,'年#$,年间重 印了.次#每次重印都作了一些修改!开设这门课的目的#是为了 适应部分系和专业的要求#用较少的学时讲授原来开设的复变函 数和数学物理方程这两门课!近年来#随着学校体制等各方面的改 革#新设置了很多的系和专业#开设这门课的系和专业越来越多# 为适应这种情况#才决定把原讲义修改出书! 这次成书#根据诸位同仁的意见#并参照我历年来的讲稿#对 原讲义作了很大的修改#删去了一些不必要的内容#并增加了保形 变换一章#对许多问题自以为处理得比较简洁!根据多年的教学经 验#全书内容除极少量带星号的外$打星号的内容全书不超过0学 时%#可以在一学期$每周0学时%内讲完!书中有些小节的例题较 多#是供学生自学之用的#不一定讲授!书末附有全部习题的答案# 供使用本书的教师和学生参考! 根据多年经验#各章的学时分配可大致如下表& 复 变 函 数 第$章 第&章 第.章 第0章 第#章 第3章 第"章 学!!时 . 3 " " # 3 0 数学物理方程 第$章 第&章 第.章 第0章 第#章 学!!时 " " , . % !!这个学时分配表仅供教学参考$如果学时紧张#可不讲复变函 数部分第3章%!笔者教这门课近十届#虽积累了许多教学经验#但 不敢说这本教材能尽如人意!复变函数和数学物理方程的内容都 极为丰富#且后者$尤其是其中的特殊函数%内容很庞杂#在学时少 的情况下#内容越庞杂的教材是越难写好的! 最后还是老话一句#书中这样那样的不妥之处在所难免#不过 !
笔者在中国科学技术大学39年的教学生涯已打句号，只好留待诸 君去修正了 本书承教研室多年的同事季孝达和陆英老师协助校对，他们 两位也多次教过这门课，在这里向他们表示感谢. 严镇军 1998年2月 于中国科学技术大学
笔者在中国科学技术大学.%年的教学生涯已打句号#只好留待诸 君去修正了! 本书承教研室多年的同事季孝达和陆英老师协助校对#他们 两位也多次教过这门课#在这里向他们表示感谢! 严镇军! !! $%%,年&月!!!! 于中国科学技术大学!!
目 次 前言 .(I) 复变函数 第1章复数和平面点集.(3) 1.1复数. 1.1.1复数集.(3) 1.1.2共轭复数.(4) 1.1.3关于复数模的不等式.(6) 1.1.4复数的几何表示.（8) 1.1.5复数的乘方和开方.(13) 1.2复数序列的极限、无穷远点.(14) 1.3平面点集.(16) 1.3.1基本概念.(16) 1.3.2区城与曲线.(17) 习题.(18) 第2章复变数函数 .(23) 2.1复变数函数.(23) 2.2函数的极限和连续性.(26) 2.3导数和解析函数的概念.(28) 2.4柯西-黎曼方程.(30) 2.5初等函数.(33) 2.5.1指数函数 . (33) 2.5.2三角函数和双曲函数 (34) 2.5.3对数函数. .(37) 0
书 目!!次 前言 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!" 复 变 函 数 第!章 复数和平面点集 !!!!!!!!!!!!!! !!" "#" 复数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!" !!"#"#" 复数集 !!!!!!!!!!!!!!!!! !!" !!"#"#$ 共轭复数 !!!!!!!!!!!!!!!! !%" !!"#"#! 关于复数模的不等式 !!!!!!!!!!! !&" !!"#"#% 复数的几何表示 !!!!!!!!!!!!! !'" !!"#"#( 复数的乘方和开方 !!!!!!!!!!!! !"!" "#$ 复数序列的极限#无穷远点 !!!!!!!!!! !"%" "#! 平面点集 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !"&" !!"#!#" 基本概念 !!!!!!!!!!!!!!!! !"&" !!"#!#$ 区域与曲线 !!!!!!!!!!!!!!! !")" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"'" 第"章 复变数函数 !!!!!!!!!!!!!!!! !$!" $#" 复变数函数 !!!!!!!!!!!!!!!!! !$!" $#$ 函数的极限和连续性 !!!!!!!!!!!!! !$&" $#! 导数和解析函数的概念 !!!!!!!!!!!! !$'" $#% 柯西!黎曼方程 !!!!!!!!!!!!!!! !!*" $#( 初等函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!" !!$#(#" 指数函数 !!!!!!!!!!!!!!!! !!!" !!$#(#$ 三角函数和双曲函数 !!!!!!!!!!! !!%" !!$#(#! 对数函数 !!!!!!!!!!!!!!!! !!)"
2.5.4一般暴函数.（39) 2.5.5反三角函数.（41) 习题.(42) 第3章解析函数的积分表示.(46) 3.1复变函数的积分.(46） 3.1.1定义和计算方法.（46) 3.1.2长大不等式.（50) 3.2柯西积分定理.（51) 3.3柯西积分公式 .(54) 3.4原函数. .(59) 3.5解析函数与调和函数的关系 .(61） 3.6平面场.（65) 习题. (70) 第4章解析函数的级数表示.（74) 4.1幂级数.（74) 4.1.1复数项级数.(74) 4.1.2幂级数及其收敛圆.(75) 4.2解析函数的泰勒展开.（78) 4.3解析函数的洛朗展开.(83) 4.3.1洛朗级数和洛朗定理 .(83) 4.3.2解析函数在孤立奇点的洛朗展开 .(87) 4.4孤立奇点的分类.（91) 44.1函数在有限孤立奇点附近的性状.（91) 4.4.2函数在无穷远点附近的性状.(96) 习题.（98） 第5章留数及其应用.(103) 5.1留数定理.(103) 5.2定积分的计算 .(107) 52.1I=广R(sin0,eos0》d出型的积分 .(107) 永
!!$#(#% 一般幂函数 !!!!!!!!!!!!!! !!+" !!$#(#( 反三角函数 !!!!!!!!!!!!!! !%"" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !%$" 第#章 解析函数的积分表示 !!!!!!!!!!!! !%&" !#" 复变函数的积分 !!!!!!!!!!!!!! !%&" !!!#"#" 定义和计算方法 !!!!!!!!!!!! !%&" !!!#"#$ 长大不等式 !!!!!!!!!!!!!! !(*" !#$ 柯西积分定理 !!!!!!!!!!!!!!! !("" !#! 柯西积分公式 !!!!!!!!!!!!!!! !(%" !#% 原函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !(+" !#( 解析函数与调和函数的关系 !!!!!!!!! !&"" !#& 平面场 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !&(" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !)*" 第$章 解析函数的级数表示 !!!!!!!!!!!! !)%" %#" 幂级数 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !)%" !!%#"#" 复数项级数 !!!!!!!!!!!!!! !)%" !!%#"#$ 幂级数及其收敛圆 !!!!!!!!!!! !)(" %#$ 解析函数的泰勒展开 !!!!!!!!!!!! !)'" %#! 解析函数的洛朗展开 !!!!!!!!!!!! !'!" !!%#!#" 洛朗级数和洛朗定理 !!!!!!!!!! !'!" !!%#!#$ 解析函数在孤立奇点的洛朗展开 !!!!! !')" %#% 孤立奇点的分类 !!!!!!!!!!!!!! !+"" !!%#%#" 函数在有限孤立奇点附近的性状 !!!!! !+"" !!%#%#$ 函数在无穷远点附近的性状 !!!!!!! !+&" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !+'" 第%章 留数及其应用 !!!!!!!!!!!!!!! !"*!" ("" 留数定理 !!!!!!!!!!!!!!!!! !"*!" ("$ 定积分的计算 !!!!!!!!!!!!!!! !"*)" !!("$"" #$ " $# * %!,-.!"/0,!#1!型的积分 !!!!! !"*)" $
5.2.2三条引理.(110) 5.2.3有理函数的积分.(112) 5.2.4h=」R()Dcomrdr及 12= R-)(m>0)型的款分.4 5.2.5杂例.(115) 米5.2.6多值函数的积分.(120) 5.3辐角原理.（125) 习题.(131)） 第6章保形变换.(135) 6.1保形变换的概念 .(135) 6.1.1导数的几何意义.(135) 6.1.2保形变换的概念.(137) 6.2分式线性变换 (139) 6.3初等函数的映照.(146) 6.3.1幂函数和根式函数.(146) 6.3.2指数函数和对数函数.(149) *6.3.3儒可夫斯基变换.(152) 米6.4用保形变换求平面场的复势.(155) 习题.(157) 第7章拉普拉斯变换.(160) 7.1拉普拉斯变换的定义.(160) 7.2拉普拉斯变换的基本运算法则.(163》 7.3拉普拉斯变换的反演公式.(174) 附表7.1拉普拉斯变换基本法则表 .(180) 附表7.2拉普拉斯变换表.(181) 习题.(186)
!!("$"$ 三条引理 !!!!!!!!!!!!!!! !""*" !!("$"! 有理函数的积分 !!!!!!!!!!!! !""$" !!("$"% #" $ " &2 '2 %!(#/0,)(1(及 #$ $ " &2 '2 %!(#,-.)(1(!)#*#型的积分 !! !""%" !!("$"( 杂例 !!!!!!!!!!!!!!!!! !""(" !!$("$"& 多值函数的积分 !!!!!!!!!!!! !"$*" ("! 辐角原理 !!!!!!!!!!!!!!!!! !"$(" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"!"" 第&章 保形变换 !!!!!!!!!!!!!!!!! !"!(" &"" 保形变换的概念 !!!!!!!!!!!!!! !"!(" !!&"""" 导数的几何意义 !!!!!!!!!!!! !"!(" !!&"""$ 保形变换的概念 !!!!!!!!!!!! !"!)" &"$ 分式线性变换 !!!!!!!!!!!!!!! !"!+" &"! 初等函数的映照 !!!!!!!!!!!!!! !"%&" !!&"!"" 幂函数和根式函数 !!!!!!!!!!! !"%&" !!&"!"$ 指数函数和对数函数 !!!!!!!!!! !"%+" !!$&"!"! 儒可夫斯基变换 !!!!!!!!!!!! !"($" $&"% 用保形变换求平面场的复势 !!!!!!!!! !"((" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"()" 第'章 拉普拉斯变换 !!!!!!!!!!!!!!! !"&*" )#" 拉普拉斯变换的定义 !!!!!!!!!!!! !"&*" )"$ 拉普拉斯变换的基本运算法则 !!!!!!!! !"&!" )"! 拉普拉斯变换的反演公式 !!!!!!!!!! !")%" 附表)"" 拉普拉斯变换基本法则表 !!!!!!!! !"'*" 附表)"$ 拉普拉斯变换表 !!!!!!!!!!!! !"'"" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"'&" %
数学物理方程 第1章数学物理中的偏微分方程.(193) 1.1偏微分方程的一些基本概念 .(193) 1.2三个典型方程及其物理背景 .(196) 1.2.1理想弦的横振动方程.(197) 1.2.2热传导方程.(200) 1.2.3扩散方程.(202) 1.2.4静电场的场势方程.(203) 1.2.5自由电磁波方程 (203) 1.3定解条件和定解问题 .(205) 1.3.1初始条件和初始问题.(205) 1.3.2边界条件和边值问题.(206) 1.3.3混合问题.(208) 1.3.4定解问题的适定性概念.(210) 1.4关于定解问题的解法. (211) 1.4.1达朗贝尔公式.(211) 米1.4.2广义解.(214) 1.5叠加原理和齐次化原理.(215) 1.5.1叠加原理.(215) 1.5.2齐次化原理.(218) 习题.(220》 第2章分离变量法.(223) 2.1有界弦的自由振动.(223) 2.2极坐标系下△2u=0的边值问题.(228) 2.3固有值问题的施图姻-刘维尔理论.(231) 2.4非齐次情形 . .(243) 2.4.1边界条件是齐次的非齐次发展方程的混合问题 .(243）
数学物理方程 第!章 数学物理中的偏微分方程 !!!!!!!!!! !"+!" "#" 偏微分方程的一些基本概念 !!!!!!!!! !"+!" "#$ 三个典型方程及其物理背景 !!!!!!!!! !"+&" !!"#$#" 理想弦的横振动方程 !!!!!!!!!! !"+)" !!"#$#$ 热传导方程 !!!!!!!!!!!!!! !$**" !!"#$#! 扩散方程 !!!!!!!!!!!!!!! !$*$" !!"#$#% 静电场的场势方程 !!!!!!!!!!! !$*!" !!"#$#( 自由电磁波方程 !!!!!!!!!!!! !$*!" "#! 定解条件和定解问题 !!!!!!!!!!!! !$*(" !!"#!#" 初始条件和初始问题 !!!!!!!!!! !$*(" !!"#!#$ 边界条件和边值问题 !!!!!!!!!! !$*&" !!"#!#! 混合问题 !!!!!!!!!!!!!!! !$*'" !!"#!#% 定解问题的适定性概念 !!!!!!!!! !$"*" "#% 关于定解问题的解法 !!!!!!!!!!!! !$""" !!"#%#" 达朗贝尔公式 !!!!!!!!!!!!! !$""" !!$""%"$ 广义解 !!!!!!!!!!!!!!!! !$"%" "#( 叠加原理和齐次化原理 !!!!!!!!!!! !$"(" !!"#(#" 叠加原理 !!!!!!!!!!!!!!! !$"(" !!"#(#$ 齐次化原理 !!!!!!!!!!!!!! !$"'" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$$*" 第"章 分离变量法 !!!!!!!!!!!!!!!! !$$!" $#" 有界弦的自由振动 !!!!!!!!!!!!! !$$!" $#$ 极坐标系下&$*3*的边值问题 !!!!!!!! !$$'" $#! 固有值问题的施图姆!刘维尔理论 !!!!!!! !$!"" $#% 非齐次情形 !!!!!!!!!!!!!!!! !$%!" !!$#%#" 边界条件是齐次的非齐次发展方程的混合问题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$%!"
2.4.2一般非齐次混合问题.(247) 2.4.3泊松方程的边值问题.(250) 习题.(252) 第3章特殊函数(256) 3.1贝塞尔函数.(256) 3.2贝塞尔函数的性质 . (261) 3.2.1母函数和积分表示 .(261) 3.2.2微分关系和递推公式.(262) 3.2.3渐近公式、衰减振荡性和零点.(266) 3.3贝塞尔方程的固有值问题.(268) 3.4勒让德方程的固有值问题.(274) 3.5勒让德多项式的母函数和递推公式.(278) 3.6函数的傅里叶-勒让德展开.(281) 习题. .(287) 第4章积分变换方法.(291) 4.1用傅里叶变换解题 (291) 4.1.1傅里叶变换 . (291) 4.1.2解题举例 .(293) 4.2用拉普拉斯变换解题.(298) 习题.(303) 第5章基本解和解的积分表达式.(305) 5.18函数.(305) 5.2场势方程的边值问题.(313) 5.2.1Lu=0型方程的基本解 .(313) 5.2.2格林函数及其物理意义 .(316) 5.2.3用镜像法求格林函数 (319) 5.2.4二维情形 .(325) 5.3山，=Lu型方程柯西问题的基本解. (330) 5.4。=Lu型方程柯西问题的基本解.(335) 5.4.1柯西问题解的积分表示.(335) 0
!!$#%#$ 一般非齐次混合问题 !!!!!!!!!! !$%)" !!$#%#! 泊松方程的边值问题 !!!!!!!!!! !$(*" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$($" 第#章 特殊函数 !!!!!!!!!!!!!!!!! !$(&" !#" 贝塞尔函数 !!!!!!!!!!!!!!!! !$(&" !#$ 贝塞尔函数的性质 !!!!!!!!!!!!! !$&"" !!!#$#" 母函数和积分表示 !!!!!!!!!!! !$&"" !!!#$#$ 微分关系和递推公式 !!!!!!!!!! !$&$" !!!#$#! 渐近公式$衰减振荡性和零点 !!!!!!! !$&&" !#! 贝塞尔方程的固有值问题 !!!!!!!!!! !$&'" !#% 勒让德方程的固有值问题 !!!!!!!!!! !$)%" !#( 勒让德多项式的母函数和递推公式 !!!!!! !$)'" !#& 函数的傅里叶!勒让德展开 !!!!!!!!!! !$'"" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$')" 第$章 积分变换方法 !!!!!!!!!!!!!!! !$+"" %#" 用傅里叶变换解题 !!!!!!!!!!!!! !$+"" !!%#"#" 傅里叶变换 !!!!!!!!!!!!!! !$+"" !!%#"#$ 解题举例 !!!!!!!!!!!!!!! !$+!" %#$ 用拉普拉斯变换解题 !!!!!!!!!!!! !$+'" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!*!" 第%章 基本解和解的积分表达式 !!!!!!!!!! !!*(" (#" "函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!*(" (#$ 场势方程的边值问题 !!!!!!!!!!!! !!"!" !!(#$#" +*3*型方程的基本解 !!!!!!!!! !!"!" !!(#$#$ 格林函数及其物理意义 !!!!!!!!! !!"&" !!(#$#! 用镜像法求格林函数 !!!!!!!!!! !!"+" !!(#$#% 二维情形 !!!!!!!!!!!!!!! !!$(" (#! *,3+*型方程柯西问题的基本解 !!!!!!! !!!*" (#% *,3+*型方程柯西问题的基本解 !!!!!!! !!!(" !!(#%#" 柯西问题解的积分表示 !!!!!!!!! !!!(" (
5.4.2降维法.(340) 米5.4.3自由波的传播.(342) 5.4.4推迟势公式.(348) 习题.(349) 习题答案 . (352) @了
!!(#%#$ 降维法 !!!!!!!!!!!!!!!! !!%*" !!$(#%#! 自由波的传播 !!!!!!!!!!!!! !!%$" !!(#%#% 推迟势公式 !!!!!!!!!!!!!! !!%'" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!%+" 习题答案 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!($" )
复变数
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