CHEN,SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 量子物理部分习题解答 Chapter1 1.K的电子逸出功是2.2eV,Ni的电子逸出功是5.0eV,而1eV=1.6×10-12erg,波长为 4000A的紫光能否引起金属K和Ni的光电效应？ A:采用cmg5单位制(1erg=1gcm2s2=107J=6.2415×101eV)，将1=4000A带入公式 hc_6.63×10-2”ergs×3×109qmE=497×10-erg=3.11ey E=hw=元= 4000×10-8cm 与电子逸出功比较，可知该光可以引起K的光电效应而不能引起N的光电效应。 2.考虑相对论效应，则以速度ν运动的粒子的动能为 T=4oc2/W1-p2/c2-4oc2 其中，为粒子静止质量。试证明当p《c时，T≈o2 A:当v《c时，：≈0,1-2/c2≈1；又根据泰勒展开V1-x=三x,因此动能可以变形为 1132 T=c21-27E/1-1E*%c21-zW1-p21E*z2 3.计算红光入=6000A和X射线1=1A的一个光子的能量、动量和质量。 A:对于光子，能量E=hu=hc/a,动量p=h/a,质量由质能方程E=mc给出：将波长分别代 入以上公式即可得到能量、动量和质量 x/A e川 p/kg·m·s1 m/ka 6000 3.31×10-19 1.10×10-27 3.68×10-36 1 2.00×10-56.63×10-24 2.21×10-32 需要注意的是，对于光子，如下方程是不成立的 E=p2/2m 此外注意单位的统一， 一个题目里最好使用同一个单位制，我个人一般喜欢全部转换为国际单 位，比如动量单位写为kg·m·s1。而如果写成erg.s-m2这样是不伦不类的。 4,试求下列各粒子的de Broglie波长：(a)100eV的自由电子。(b)0.1eV,质量为1g的粒子。 A:对于实物粒子，我们可以用公式 e=p2/2m 计算动量，从而由公式入=h/p来计算de Broglie波长。 代入数据得到a)1.23A:(b)1.2×10-22m 1/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 1 / 34 量子物理部分习题解答 Chapter1 1. K 的电子逸出功是 2.2 eV，Ni 的电子逸出功是 5.0 eV，而 1 eV=1.6×10-12 erg，波长为 4000 Å 的紫光能否引起金属 K 和 Ni 的光电效应？ A: 采用 cm·g·s 单位制（1 erg = 1g·cm2 /s2 = 10−7 J = 6.2415×1011eV），将𝜆 = 4000Å带入公式 𝜖 = ℎ𝜐 = ℎ𝑐 𝜆 = 6.63 × 10−27𝑒𝑟𝑔 ∙ 𝑠 × 3 × 1010𝑐𝑚/𝑠 4000 × 10−8𝑐𝑚 = 4.97 × 10−12𝑒𝑟𝑔 = 3.11𝑒𝑉 与电子逸出功比较，可知该光可以引起 K 的光电效应而不能引起 Ni 的光电效应。 2. 考虑相对论效应，则以速度 v 运动的粒子的动能为 𝑇 = 𝜇0𝑐 2 /√1 − 𝑣 2/𝑐 2 − 𝜇0𝑐 2 其中𝜇0为粒子静止质量。试证明当𝑣 ≪ 𝑐时，𝑇 ≈ 1 2 𝜇0𝑣 2 . A: 当𝑣 ≪ 𝑐时，𝑣 𝑐 ≈ 0, 1 − 𝑣 2 /𝑐 2 ≈ 1; 又根据泰勒展开√1 − 𝑥 = 1 2 𝑥，因此动能可以变形为 𝑇 = 𝜇0𝑐 2 (1 − √1 − 𝑣 2/𝑐 2)/√1 − 𝑣 2/𝑐 2 ≈ 𝜇0𝑐 2 (1 − (1 − 1 2 𝑣 2 𝑐 2 ))/√1 − 𝑣 2/𝑐 2 ≈ 1 2 𝜇0𝑣 2 3. 计算红光𝜆 = 6000Å和 X 射线𝜆 = 1Å的一个光子的能量、动量和质量。 A: 对于光子，能量𝐸 = ℎ𝜐 = ℎ𝑐/𝜆，动量𝑝 = ℎ/𝜆，质量由质能方程𝐸 = 𝑚𝑐 2给出；将波长分别代 入以上公式即可得到能量、动量和质量。 𝜆/Å 𝜖/𝐽 𝑝/𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −1 𝑚/𝑘𝑔 6000 3.31 × 10−19 1.10 × 10−27 3.68 × 10−36 1 2.00 × 10−15 6.63 × 10−24 2.21 × 10−32 需要注意的是，对于光子，如下方程是不成立的 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 此外注意单位的统一，一个题目里最好使用同一个单位制，我个人一般喜欢全部转换为国际单 位，比如动量单位写为𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −1。而如果写成 erg·s·m-1这样是不伦不类的。 4，试求下列各粒子的 de Broglie 波长：(a) 100 eV 的自由电子。(b) 0.1 eV，质量为 1g 的粒子。 A: 对于实物粒子，我们可以用公式 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 计算动量，从而由公式𝜆 = ℎ/𝑝来计算 de Broglie 波长。 代入数据得到(a) 1.23 Å; (b) 1.2 × 10−22m
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 5,质量为m的粒子，在弹性力-kx作用下运动，试写出其Schrodinger方程。 A:写出薛定谔方程，首先应该先写出哈密顿算符为， h2 02 月-编票+分如 则其含时薛定谔方程、定态薛定谔方程分别为 Aψ(x)=E(x) h品Ψ(x,)=Ψx,) 注意：注明波函数的变量，且如果未明确说写定态薛定谔方程时，最好将含时薛定谔方程和定态 薛定谔方程都写出来。 6,写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的薛定谔方程，并求其解。 A:由于被束缚在圆周上，因此相当于是一个一维问题，不含时波函数的自变量为角度，其薛定 谔方程为： h2 d2 2ma0(0)=E(8) 其通解为 o)Aun()+Bcos) 考虑自然边界条件，()=(0+2π)，得到 av2mE n,nEZ 方 又由归一化条件得到 AR+B2=元 故薛定谔方程的解为 (0)=√1/元sin(n0+6) 其中n∈Z,tan6=B/A. 7,已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为妙=√2/asn(一x),其中a为势阱长度。试计 算：(a)粒子动量的平方：(b)n取何值时，粒子在区间0，a的几率最大 A:(a)已知 e=p2/2m 又已知对于一维方势阱中的粒子，其能量为 2/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 2 / 34 5，质量为 m 的粒子，在弹性力-kx 作用下运动，试写出其 Schrödinger 方程。 A: 写出薛定谔方程，首先应该先写出哈密顿算符为， 𝐻̂ = − ℎ 2 2𝑚 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 1 2 𝑘𝑥 2 则其含时薛定谔方程、定态薛定谔方程分别为 𝐻̂𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 Ψ(𝑥,𝑡) = 𝐻̂Ψ(𝑥,𝑡) 注意：注明波函数的变量，且如果未明确说写定态薛定谔方程时，最好将含时薛定谔方程和定态 薛定谔方程都写出来。 6，写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的薛定谔方程，并求其解。 A: 由于被束缚在圆周上，因此相当于是一个一维问题，不含时波函数的自变量为角度 θ，其薛定 谔方程为： − ℏ 2 2𝑚𝑎 2 𝑑 2 𝑑𝜃 2 𝜓(𝜃) = 𝐸𝜓(𝜃) 其通解为 𝜓(𝜃) = 𝐴𝑠𝑖𝑛( 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ 𝜃) + 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ 𝜃) 考虑自然边界条件，𝜓(𝜃) = 𝜓(𝜃 + 2𝜋)，得到 𝑎√2𝑚𝐸 ℏ = 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 又由归一化条件得到 𝐴 2 + 𝐵 2 = 1 𝜋 故薛定谔方程的解为 𝜓(𝜃) = √1/𝜋𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃 + 𝛿) 其中𝑛 ∈ 𝑍,𝑡𝑎𝑛𝛿 = 𝐵/𝐴. 7，已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为𝜓 = √2/𝑎𝑠𝑖𝑛( 𝑛𝜋 𝑎 𝑥)，其中 a 为势阱长度。试计 算：(a) 粒子动量的平方；(b) n 取何值时，粒子在区间[0, 1 4 𝑎]的几率最大。 A: (a)已知 𝜖 = 𝑝 2 /2𝑚 又已知对于一维方势阱中的粒子，其能量为
CHEN,SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 2maz 故粒子动量的平方为 p=2mE =nin'hnh? a- 4a2,n=1,23 或者利用粒子的动量算符计算 ()所求概率为 1 P∈0，= 所以当n=3时，所求概率最大。 注意：粒子出现在某区域的概率是对该区域的波函数平方积分。另外粒子动量不处于本征态，没 有确定值，测量的均值为0，与经典物理有很大区别。 9,证明p(x)=ek红是动量算符px的本征函数，并说明k的取值情况。 A:动量算符在坐标表象下的表达式为 我=-h录 将动量算符作用于(x)=ekx而得到 x(x)=-ihkekx pxekx 其中px=-h为实数，得证。所以k为纯虚数或0. 10,试计算2离子25和2p轨道上电子的电离能， A:2为单电子原子，中心核电荷数为3，利用单电子原子模型，能量为 72 En=-2nz (d.u.) 代入n=2,得到 1E.=E-2=au 14,验证 =c1(1+czr)e-ar 是氢原子薛定谔方程的解，并确定c1,c2,a和能量E。 3/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 3 / 34 𝐸 = 𝑛 2𝜋 2ℏ 2 2𝑚𝑎 2 故粒子动量的平方为 𝑝 2 = 2𝑚𝐸 = 𝑛 2𝜋 2ℏ 2 𝑎 2 = 𝑛 2ℎ 2 4𝑎 2 , 𝑛 = 1, 2, 3 . 或者利用粒子的动量算符计算 𝑝 2 = ⟨𝜓|𝑝̂ 2 |𝜓⟩ = ∫ 𝜓 ∗ (𝑥)(−𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥) 2𝜓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 0 = 𝑛 2ℎ 2 4𝑎 2 , 𝑛 = 1, 2, 3 . (b)所求概率为 𝑃(𝑥 ∈ [0, 1 4 𝑎]) = ∫ |𝜓(𝑥)| 2𝑑𝑥 1 4 𝑎 0 = 1 4 (1 − 2𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 ) 所以当 n=3 时，所求概率最大。 注意：粒子出现在某区域的概率是对该区域的波函数平方积分。另外粒子动量不处于本征态，没 有确定值，测量的均值为 0，与经典物理有很大区别。 9，证明𝜓(𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥是动量算符𝑝̂𝑥的本征函数，并说明 k 的取值情况。 A: 动量算符在坐标表象下的表达式为 𝑝̂𝑥 = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥 将动量算符作用于𝜓(𝑥) = 𝑒 𝑘𝑥而得到 𝑝̂𝑥𝜓(𝑥) = −𝑖ℏ𝑘𝑒 𝑘𝑥 = 𝑝𝑥𝑒 𝑘𝑥 其中𝑝𝑥 = −𝑖𝑘ℏ为实数，得证。所以 k 为纯虚数或 0. 10，试计算 Li2+离子 2s 和 2p 轨道上电子的电离能。 A: Li 2+为单电子原子，中心核电荷数为 3，利用单电子原子模型，能量为 𝐸𝑛 = − 𝑍 2 2𝑛 2 (𝑎. 𝑢. ) 代入 n=2，得到 𝐼. 𝐸. = 𝐸∞ − 𝐸2 = 9 8 𝑎. 𝑢. 14，验证 𝜓 = 𝑐1(1 + 𝑐2𝑟)𝑒 −𝑎𝑟 是氢原子薛定谔方程的解，并确定𝑐1, 𝑐2, 𝑎和能量 E
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FAL) A:考虑到题目中的妙=()，因此只需考虑哈密顿算符的径向部分，即 21a (1)首先考虑c2=0的情况 中=G1e-ar 显然，当a=me2/h2时，中满足薛定谔方程，此时 然后求归一化系数为 -自-用 =(月 =0 a=me2/h2 E=-2 (2)考虑c2≠0的情况 aa+onem=（-ea0-gr）片+六ac-ar-era-六cde 若满足该函数是该哈密顿量的本征函数，则要求右式括号内的系数为0，同时满足 [片(4a2-a2-e2c)-六a2c=k1+c2则要求编(4a-a2-e2c)=荒a2 -e0-e2=0a=+g m 将a=2+g带入元(4a2-a2-票e2c2)=六a2,解得 c2=-2 则 me2 a=20 求得本征能量为 4/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 4 / 34 A: 考虑到题目中的𝜓 = 𝜓(𝑟)，因此只需考虑哈密顿算符的径向部分，即 𝐻̂ = − ℏ 2 2𝑚 1 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟) − 𝑒 2 𝑟 (1)首先考虑𝑐2 = 0的情况 𝜓 = 𝑐1𝑒 −𝑎𝑟 𝐻̂𝜓 = [ 𝑎ℏ 2 − 𝑚𝑒 2 𝑚𝑟 − 𝑎 2ℏ 2 2𝑚 ] 𝜓 显然，当𝑎 = 𝑚𝑒 2 /ℏ 2时，𝜓满足薛定谔方程，此时 𝐸 = − 𝑎 2ℏ 2 2𝑚 = − 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 然后求归一化系数为 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 = ( 𝑚3 𝜋 ) 1/2 ( 𝑒 ℏ ) 3 故 { 𝑐1 = ( 𝑚3 𝜋 ) 1/2 ( 𝑒 ℏ ) 3 𝑐2 = 0 𝑎 = 𝑚𝑒 2 /ℏ 2 𝐸 = − 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 (2)考虑𝑐2 ≠ 0的情况 𝐻̂(1 + 𝑐2𝑟)𝑒 −𝑎𝑟 = [(− ℏ 2 (𝑐2 − 𝑎) 𝑚 − 𝑒 2) 1 𝑟 + ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 𝑐2] 𝑒 −𝑎𝑟 若满足该函数是该哈密顿量的本征函数，则要求右式括号内1 𝑟 的系数为 0，同时满足 [ ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 𝑐2] = 𝑘(1 + 𝑐2)，则要求 ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) = ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 − ℏ 2 (𝑐2 − 𝑎) 𝑚 − 𝑒 2 = 0, 𝑎 = 𝑐2 + 𝑚𝑒 2 ℏ 2 将𝑎 = 𝑐2 + 𝑚𝑒 2 ℏ 2 带入ℏ 2 2𝑚 (4𝑎𝑐2 − 𝑎 2 − 2𝑚 ℏ 2 𝑒 2 𝑐2) = ℏ 2 2𝑚 𝑎 2，解得 𝑐2 = − 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 则 𝑎 = 𝑚𝑒 2 2ℏ2 求得本征能量为
CHEN,SUJIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) B=六c2=- 方2 最后求得归一化系数c (月 6= 故9-器 (E=- 15,求氢原子中处于中1状态的电子矢径r的平均值r)。 A:中1态的波函数为 1 中=后e7a 则矢径的平均值为 注意：三维空间中对矢径积分的体积元为4r2dr,而不是dr。 16,求氢原子中处于1态的电子出现在r=2a的球内的几率 A:中1s态的波函数为 1 中=辰re-a Pr<2a)=1w.4m2=1-吕*076 注意：体积元及积分区域。 17,求氢原子中处于中2p,状态的电子出现在0≤45的圆锥内的几率。 A:考虑2p,状态的波函数角度部分 3 10= 5/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 5 / 34 𝐸 = − ℏ 2 2𝑚 𝑎 2 = − 𝑚𝑒 4 8ℏ 2 最后求得归一化系数𝑐1 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 故 { 𝑐1 = ( 𝑎 3 𝜋 ) 1/2 𝑐2 = − 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 𝑎 = 𝑚𝑒 2 2ℏ 2 𝐸 = − 𝑚𝑒 4 8ℏ 2 15，求氢原子中处于𝜓1𝑠状态的电子矢径 r 的平均值〈𝑟〉。 A: 𝜓1𝑠态的波函数为 𝜓 = 1 √𝜋 𝑎0 −3/2 𝑒 −𝑟/𝑎0 则矢径的平均值为 〈𝑟〉 = ⟨𝜓|𝑟|𝜓⟩ = ∫ 𝑟|𝜓| 2 ∙ 4𝜋𝑟 2𝑑𝑟 +∞ 0 = 4 𝑎0 3 ∫ 𝑟 3𝑒 −2𝑟/𝑎0𝑑𝑟 +∞ 0 = 3 2 𝑎0 注意：三维空间中对矢径积分的体积元为4𝜋𝑟 2𝑑𝑟，而不是𝑑𝑟。 16，求氢原子中处于𝜓1𝑠态的电子出现在𝑟 = 2𝑎0的球内的几率。 A: 𝜓1𝑠态的波函数为 𝜓 = 1 √𝜋 𝑎0 −3/2 𝑒 −𝑟/𝑎0 而 𝑃(𝑟 < 2𝑎0) = ∫ |𝜓| 2 ∙ 4𝜋𝑟 2𝑑𝑟 2𝑎0 0 = 1 − 13 𝑒 4 ≈ 0.76 注意：体积元及积分区域。 17，求氢原子中处于𝜓2𝑝𝑧状态的电子出现在𝜃 ≤ 45°的圆锥内的几率。 A: 考虑𝜓2𝑝𝑧状态的波函数角度部分 𝑌10 = √ 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜃
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FAL) 那么几率为 p0s克=会s9mao-0-网=s2 18,求氢原子中处于中321状态的电子的角动量与z轴的夹角。 A:=2,m=1,故 L=√0+1h=V6h,L2=mh=h 故夹角为 0rcoarcco1rad 6 1 19,处于=2的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 A:l=2,s=±j=,手则计算得到 仙=+h==e+可=受a w=0+西a-要。 记自旋角动量和轨道角动量的夹角为8，如图所示，则由余弦定理 c059=2-2-5 2(L)S) 代入数据，得到 (S) 0=arccos3≈62° 0-号18s 21,设氢原子的电子处在状态沙=G中210+c2211+C331-1,其中中，210,211,31-1都是归一 化的。试由c子，c经，c的物理意义计算： (1)能量平均值，(2)能量是-0.125a.u.的几率，(3)角动量平方的平均值，(4)角动量平方 时2h2的几案，(5)角动量z分量的平均值，(6)角动量z分量是2h的几率。 (1)根据其物理意义，能量为 回=-+站-品au) 1 (2)P(E=-0.125a.u.)=c+c 6/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 6 / 34 那么几率为 𝑃(𝜃 ≤ 𝜋 4 ) = ∫ ∫ 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 𝜋/4 0 2𝜋 0 = 1 8 (4 − √2) ≈ 0.32 18，求氢原子中处于𝜓321状态的电子的角动量与 z 轴的夹角。 A: l=2, m=1, 故 𝐿 = √(𝑙 + 1)𝑙ℏ = √6ℏ, 𝐿𝑧 = 𝑚ℏ = ℏ 故夹角为 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐿𝑧 𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 √6 = 1.15𝑟𝑎𝑑 = 65.9° 19，处于 l=2 的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 A: 𝑙 = 2, 𝑠 = ± 1 2 ,𝑗 = 5 2 , 3 2，则计算得到 〈𝐿〉 = √(𝑙 + 1)𝑙ℏ = √6ℏ,〈𝑆〉 = √𝑠(𝑠 + 1)ℏ = √3 2 ℏ 〈𝐽〉 = √𝑗(𝑗 + 1)ℏ = √35 2 ℏ, √15 2 ℏ 记自旋角动量和轨道角动量的夹角为𝜃，如图所示，则由余弦定理 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 〈𝐽〉 2 − 〈𝐿〉 2 − 〈𝑆〉 2 2〈𝐿〉〈𝑆〉 代入数据，得到 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 √2 3 ≈ 62° 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − √2 2 = 135° 21，设氢原子的电子处在状态𝜓 = 𝑐1𝜓210 + 𝑐2𝜓211 + 𝑐3𝜓31−1，其中𝜓, 𝜓210, 𝜓211, 𝜓31−1都是归一 化的。试由𝑐1 2 , 𝑐2 2 , 𝑐3 2的物理意义计算： （1）能量平均值，（2）能量是-0.125a.u.的几率，（3）角动量平方的平均值，（4）角动量平方 时2ℏ 2的几率，（5）角动量 z 分量的平均值，（6）角动量 z 分量是2ℏ的几率。 A: (1) 根据其物理意义，能量为 〈𝐸〉 = −(𝑐1 2 + 𝑐2 2 ) 1 8 − 𝑐3 2 1 18 (𝑎. 𝑢. ) (2) 𝑃(𝐸 = −0.125𝑎. 𝑢. ) = 𝑐1 2 + 𝑐2 2
CHEN,SUJIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) (3)(亿2)=22 (4)P《L2)=2h3)=1 5)亿z)=(c经-c学)h (6)P(Lz=2h)=0 Chapter2 4,用变分法求锂原子的第二电离势。 A:锂原子的第二电离势即一U,其中心是类氦原子，是类氢原子。 参考讲义第六章，设计尝试变分函数为 3 哈密顿量为 能量期待值 w=@=-6a+言=-智 对能量期待值求导得到 -2以-号-0=号 dw 故有能量为 E1=Wla=43/16=-7.22a.u 又由类氢原子的能量公式得到 故锂原子的第二电离势为 1.E.2=E2-E1=2.72a.u.=74.1eV 5,写出锂原子基态的行列式波函数 1s1a1s(2)a(2)1s(3a3 0(1,2,3)= (1)B(1)）1s(2)B(2)1s(3)B(3 2s(1)a(1)2s(2)a(2)2s(3)a(3) 7/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 7 / 34 (3) 〈𝐿 2 〉 = 2ℏ 2 (4) P(〈𝐿 2 〉 = 2ℏ 2 ) = 1 (5) 〈𝐿𝑧 〉 = (𝑐2 2 − 𝑐3 2 )ℏ (6) 𝑃(𝐿𝑧 = 2ℏ) = 0 Chapter2 4，用变分法求锂原子的第二电离势。 A: 锂原子的第二电离势即 Li+→Li 2+，其中 Li+是类氦原子，Li2+是类氢原子。 参考讲义第六章，设计尝试变分函数为 Φ(1, 2) = 𝜑(1)𝜑(2) = 𝜆 3 𝜋 𝑒 −𝜆(𝑟1+𝑟2) 哈密顿量为 𝐻̂ = − 1 2 ∇1 2 − 3 𝑟1 − − 1 2 ∇2 2 − 3 𝑟2 + 1 𝑟12 能量期待值 𝑊 = ⟨Φ|𝐻̂|Φ⟩ = 𝜆 2 − 6𝜆 + 5 8 𝜆 = 𝜆 2 − 43 8 𝜆 对能量期待值求导得到 𝑑𝑊 𝑑𝜆 = 2𝜆 − 43 8 = 0, 𝜆 = 43 16 故有能量为 𝐸1 = 𝑊|𝜆=43/16 = −7.22𝑎. 𝑢. 又由类氢原子的能量公式得到 𝐸2 = − 9 2 𝑎. 𝑢. 故锂原子的第二电离势为 𝐼. 𝐸.2 = 𝐸2 − 𝐸1 = 2.72𝑎. 𝑢. = 74.1𝑒𝑉 5，写出锂原子基态的行列式波函数 A: Φ(1, 2, 3) = 1 √6 | 1𝑠(1)𝛼(1) 1𝑠(2)𝛼(2) 1𝑠(3)𝛼(3) 1𝑠(1)𝛽(1) 1𝑠(2)𝛽(2) 1𝑠(3)𝛽(3) 2𝑠(1)𝛼(1) 2𝑠(2)𝛼(2) 2𝑠(3)𝛼(3) |
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FAL) 6,证明波函数 2=aB8a88a8 是氨原子忽略电子间相互作用的薛定谔方程的鲜，并求其本征值。 A:写出氨原子忽略电子间相互作用的哈密顿算符为 A=(1)+n(2) 其中 0=-好-2i=12 记 p1=1s·a,p2=2sa 注意到 i0p,O=-21e,O1.i01p2@》=-2p20 0=a)+i21万p:（d》oz2》-1pza》-lo2川 =-ze.apz(2-lp.alp2川-2ae,a》oa2》-lza四》-p.②训 51 =2方p.四》-pm2》-l,a-e,2训 得证。 本征值为 E=-Za.u.-68ev 8,基态钇(Y)原子的可能价电子组态为4d5s或45s'。由光谱实验可确定其光谱基项为 D2,试判断它的基态是哪种电子组态。 A:首先考虑4d5s2电子组态，容易得到其光谱项为D,其光谱基项为2Dn。 对于4d25s电子组态，首先考虑d2的光谱项有 心101光谐项 8/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 8 / 34 6，证明波函数 Φ(1, 2) = 1 √2 | 1𝑠(1)𝛼(1) 1𝑠(2)𝛼(2) 2𝑠(1)𝛼(1) 2𝑠(2)𝛼(2) | 是氦原子忽略电子间相互作用的薛定谔方程的觧，并求其本征值。 A: 写出氦原子忽略电子间相互作用的哈密顿算符为 𝐻̂ = ℎ̂(1) + ℎ̂(2) 其中 ℎ̂(𝑖) = − 1 2 ∇𝑖 2 − 2 𝑟𝑖 , 𝑖 = 1, 2 记 𝜑1 = 1𝑠 ∙ 𝛼,𝜑2 = 2𝑠 ∙ 𝛼 注意到 ℎ̂(𝑖)|𝜑1(𝑖)⟩ = −2|𝜑1(𝑖)⟩, ℎ̂(𝑖)|𝜑2(𝑖)⟩ = − 1 2 |𝜑2(𝑖)⟩ 则 𝐻̂Φ = [ℎ̂(1) + ℎ̂(2)] ∙ 1 √2 [|𝜑1(1)⟩ ∙ 𝜑2(2)⟩ − |𝜑2(1)⟩ ∙ |𝜑1(2)⟩] = − 2 √2 [|𝜑1(1)⟩ ∙ 𝜑2(2)⟩ − |𝜑2(1)⟩ ∙ |𝜑1(2)⟩] − 1 2√2 [|𝜑1(1)⟩ ∙ 𝜑2(2)⟩ − |𝜑2(1)⟩ ∙ |𝜑1(2)⟩] = − 5 2 ∙ 1 √2 [|𝜑1(1)⟩ ∙ 𝜑2(2)⟩ − |𝜑2(1)⟩ ∙ |𝜑1(2)⟩] = − 5 2 Φ 得证。 本征值为 𝐸 = − 5 2 𝑎. 𝑢. = −68𝑒𝑉 8，基态钇（Y）原子的可能价电子组态为 4d 15s2或 4d 25s1。由光谱实验可确定其光谱基项为 2D3/2，试判断它的基态是哪种电子组态。 A: 首先考虑 4d 15s2电子组态，容易得到其光谱项为 2D，其光谱基项为 2D3/2。 对于 4d 25s1电子组态，首先考虑 d 2的光谱项有 Ms M 1 0 -1 光谱项
CHEN,SUJIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FALL) 010 G,F,D G.3FD.3P 0 2 5 2 G,3F,D,p,5 .1 2 4 2 G,3F,D,3P -2 1 3 1 G.3FD 1 1 G,F 010 16 由此4d5s可知有光谱项2G,D,p,p,S,共90个微观态，其光谱基项为F 而已知实验测定光谱基项为2Dp,因此基态价电子组态为45s2。 9,试写出C原子和As原子的光谱基项。 A:C原子的基态价电子组态为3523p,其光谱基项为P3。 As原子的基态价电子组态为3d4s24p2。Sm-3/2,此四重态的L=0,其光谱基项为“5n 11,求pd电子组态的光谱项。 0 光谱项 1 BF,IF 2 2 4 2 ,F,D,D 6 3 3F,F,3D,D,3P,iP 3E 1E 3D iD 3p ip 3F.1F.3D.1D.3p.1p 故光谱项有车，1，D,D,p,p。 12,如果考虑自旋-轨道耦合，下列普项能分裂成几个能级：D,3G,s A:J的取值范围为L+5,L+S-1,L-S1 (1)对于D,其S=0,=2,只有一个能级D2。 (2)对于3G,其S=1,L=4,包括三个能级G,3G,3G. (3)对于6s,其S=5/2,L=0,只有一个能级6Gs2。 13,组态p2和pd的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？ A:p2的光谱项包括D,p,S,pd的谱项包括F,F,D,D,p,P。 要求△S=0,△L=0,±1，则允许的跃迁包括1)D→5，p,D,(2)p-D,p;(3)S→p 14,谱项p的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？ 9/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 9 / 34 4 0 1 0 1G 3 1 2 1 1G, 3 F 2 1 3 1 1G, 3 F, 1D 1 2 4 2 1G, 3 F, 1D, 3P 0 2 5 2 1G, 3 F, 1D, 3P, 1 S -1 2 4 2 1G, 3 F, 1D, 3P -2 1 3 1 1G, 3 F, 1D -3 1 2 1 1G, 3 F -4 0 1 0 1G 由此 4d 25s1可知有光谱项 2G, 4 F, 2 F, 1D, 4P, 2P, 2 S，共 90 个微观态，其光谱基项为 4 F3/2。 而已知实验测定光谱基项为 2D3/2，因此基态价电子组态为 4d 15s2。 9，试写出 Cl 原子和 As 原子的光谱基项。 A: Cl 原子的基态价电子组态为 3s 23p5，其光谱基项为 2P3/2。 As 原子的基态价电子组态为 3d 104s24p3。Smax=3/2, 此四重态的 L=0，其光谱基项为 4 S3/2。 11，求 pd 电子组态的光谱项。 A: Ms M 1 0 -1 光谱项 3 1 2 1 3 F, 1 F 2 2 4 2 3 F, 1 F, 3D, 1D 1 3 6 3 3 F, 1 F, 3D, 1D, 3P, 1P 0 3 6 3 3 F, 1 F, 3D, 1D, 3P, 1P -1 3 6 3 3 F, 1 F, 3D, 1D, 3P, 1P -2 2 4 2 3 F, 1 F, 3D, 1D -3 1 2 1 3 F, 1 F 故光谱项有 3 F, 1 F, 3D, 1D, 3P, 1P。 12，如果考虑自旋-轨道耦合，下列普项能分裂成几个能级：1D, 3G, 6 S A: J 的取值范围为 L+S, L+S-1, ., |L-S| (1) 对于 1D，其 S=0，L=2，只有一个能级 1D2。 (2) 对于 3G，其 S=1，L=4，包括三个能级 3G5, 3G4, 3G3。 (3) 对于 6 S，其 S=5/2，L=0，只有一个能级 6G5/2。 13，组态 p 2和 pd 的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？ A: p 2的光谱项包括 1D, 3P, 1 S，pd 的谱项包括 3 F, 1 F, 3D, 1D, 3P, 1P。 要求ΔS=0, ΔL=0，±1，则允许的跃迁包括(1) 1D→1 F, 1P, 1D; (2) 3P→3D, 3P; (3) 1 S→1P 14，谱项 2P 的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？
CHEN.SUIA 2019-12 量子物理部分习题解答(2019FAL) A:对于该谱项，S=1/2,=1,J=3/2,1/2:参考第一章19题的解法。 仙=+亚a=2A份=58+D= 切=0+西=空号。 记自旋角动量和轨道角动量的夹角为0，如图所示，则由余弦定理 cos8=2-2-52 2(L)S (亿) 代入数据，得到 1 9=arccos6*65.9 =144.7 15,p组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量与z轴可能的夹角有哪 些？ A 山S)=S2)=号九，S)=0,V2h,故两个电子的自旋角动量夹角为180°或arc6os1/3=70.5°。 (2)考虑S=1的情况，此时Sz)=-九，0，九，故总自旋角动量与z轴的夹角为45°、90°、135° 16,对于给定的1值，求和 了Wme.pr 与角度日和φ无关。当=1时，验证这一结论的正确性。 A:当1，三个球谐函数的表达式为 3 3 Y0= 3 ⑧Tsin0e-lp 则求和为 pP=laP+P+-P=cas0+品mo+)=os0+云m20 2 2 2 3 得证。 10/34
CHEN, SIJIA 2019-12 量子物理部分习题解答（2019FALL） 10 / 34 A: 对于该谱项，S=1/2，L=1，J=3/2, 1/2；参考第一章 19 题的解法。 〈𝐿〉 = √(𝐿 + 1)𝐿ℏ = √2ℏ,〈𝑆〉 = √𝑆(𝑆 + 1)ℏ = √3 2 ℏ 〈𝐽〉 = √𝐽(𝐽 + 1)ℏ = √15 2 ℏ, √3 2 ℏ 记自旋角动量和轨道角动量的夹角为𝜃，如图所示，则由余弦定理 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 〈𝐽〉 2 − 〈𝐿〉 2 − 〈𝑆〉 2 2〈𝐿〉〈𝑆〉 代入数据，得到 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 √6 ≈ 65.9° 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − √6 3 = 144.7° 15，pd 组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量与 z 轴可能的夹角有哪 些？ A: (1) 〈𝑆1 〉 = 〈𝑆2 〉 = √3 2 ℏ,〈𝑆〉 = 0, √2ℏ，故两个电子的自旋角动量夹角为 180°或 arccos1/3=70.5°。 (2) 考虑 S=1 的情况，此时〈𝑆𝑧 〉 = −ℏ, 0, ℏ，故总自旋角动量与 z 轴的夹角为 45°、90°、135° 16，对于给定的 l 值，求和 ∑ |𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜑)| 2 𝑙 𝑚=−𝑙 与角度 θ 和 ϕ 无关。当 l=1 时，验证这一结论的正确性。 A: 当 l=1，三个球谐函数的表达式为 𝑌10 = √ 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑌11 = √ 3 8𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒 𝑖𝜑, 𝑌1−1 = √ 3 8𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒 −𝑖𝜑 则求和为 ∑ |𝑌𝑙𝑚(𝜃,𝜑)| 2 𝑙 𝑚=−𝑙 = |𝑌10| 2 + |𝑌11| 2 + |𝑌1−1 | 2 = 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 3 8𝜋 𝑠𝑖𝑛2𝜃(1 + 1) = 3 4𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 3 4𝜋 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 3 4𝜋 得证