第四章实体三铰拱 §4-1概述 1、拱式结构的特征及应用： 应用：门、窗、桥、巷道、窑洞 特征：杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。和曲梁比较 三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。 优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比 较均匀：若合理选择拱轴，弯矩为0，主要承受压力。 缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承： 2、拱的形式： 静定结构：三铰拱。有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、 做成折线即为三较刚架 超静定结构：无铰拱、两铰拱 3、各部分名称： 跨度L、 拱高：拱顶到两支承边线距离， 拱脚铰、拱顶铰 对称拱、斜拱（不对称拱） :矢跨比（高跨比）。高跨比对拱的主要性能有比较大的影响(1一110)。若f→0， 三铰共线或接近共线，瞬变体系。 4、计算方法： 数解法、图解法 §4-2三铰拱的数解法 竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和同跨同荷载的相应简 支梁比较。 一、支座反力的计算： 三铰拱 三铰拱相当梁：
第四章 实体三铰拱 §4-1 概述 1、拱式结构的特征及应用： 应用：门、窗、桥、巷道、窑洞 特征：杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。和曲梁比较 三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。 优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比 较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为 0，主要承受压力。 缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承； 2、 拱的形式： 静定结构：三铰拱。 有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、 做成折线即为三铰刚架 超静定结构：无铰拱、两铰拱 3、各部分名称： 跨度 L、 拱高：拱顶到两支承边线距离，f 拱脚铰、拱顶铰 对称拱、斜拱（不对称拱） f/l：矢跨比（高跨比）。高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。若 f→0， 三铰共线或接近共线，瞬变体系。 4、计算方法： 数解法、图解法 §4-2 三铰拱的数解法 竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和同跨同荷载的相应简 支梁比较。 一、 支座反力的计算： 三铰拱 三铰拱相当梁：
图示 R P2 v 对三较拱：∑M,=0乃=∑P0= ∑M,=0=∑= ∑X=0, H,=H。=H ∑M=0,H='以-Rl-a 结论：(1)三较拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同： (2)水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比n有关，n十， H:fn↓，H↑)和拱轴形状无关。当荷载及跨度不变时，f↑，H↓，f+,H↑，f +0,H→∞，f0三拱共线瞬变体系。 (3)竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内 2、内力的计算 任一横截面K:位置由坐标x、y及该处拱轴切线的倾角中确定。 取隔离体： ∑Mx=0,Mx=[Vx-Bx-a】-=Mg- >y=0.Q=V cos-P coso-Hsin o=O%coso-Hsn ∑X=0,N=Osin+Hcos 得出： MK=MK-HyK Qk=-中-Hsin中
图示 对三铰拱： 0 0, i i A B B P a M V V l = = = 0 0, i i B A A Pb M V V l = = = 0, X H H H = = = A B 1 1 1 1 ( ) 0, A C V l P l a M H f − − = = 结论：（1）三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同； （2）水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比 f/l 有关，f/l↑， H↓；f/l↓，H↑）和拱轴形状无关。当荷载及跨度不变时，f↑，H↓，f↓，H↑，f →0，H→∞，f=0 三拱共线瞬变体系。 （3）竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内 2、内力的计算 任一横截面 K：位置由坐标 x、y 及该处拱轴切线的倾角φ确定。 取隔离体： M = M = V x − P (x − a )− Hy = M − Hy K K A K 0 1 1 0, 0, cos cos sin cos sin 0 1 ' Y = Q =VA − P − H = QK − H 0, sin cos ' 0 X = N == QK + H 得出： { MK=MK 0 -H•yK QK=QK 0cosψK- HsinψK
Nk=Qx0sin中x+Hcos中s 1}规定正负问题： 2)截面法求内力： 3)比较出公式适用范围（适用范围：竖向荷载（包括竖向均布荷载和集中力）作 用下的三铰平拱、带拉杆的拱)。 结论：(1)三铰撰的弯矩小于相当梁的弯矩； (2)N较大，Q较小 3、受力特点（比较法，由公式） 1)竖向荷载下，梁没有水平反力，拱则有水平推力，所以拱要求比梁更为坚固的 基础或支承结构。 2)由于水平推力的存在，三铰拱截面上的M比简支梁小，所以拱比梁能更有效地 发挥材料作用，适用于较大跨度或较重荷载。 3)在竖向荷载作用下，梁内无N,而拱内N较大，且一般为压力，所以拱可以用 抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造，例如：砖、石、砼，便宜，造价低。 总之，拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。抗压更有利于抗压性能好的材料，但 三铰拱的基础比梁大：因此屋架中三铰拱常带拉杆，减少对墙或柱的推力。 4、拱内力图的绘制 曲线，沿拱轴逐点计算和描绘。 (1)沿拱轴将拱截成为若干相等的小段： (2)计算各截面处的y,tan,sin,cos (3)利用公式逐一计算各截面的M、Q、N值： (4)逐点描绘 理论上讲，只要用截面法求出拱截面的内力方程，就能作出内力图（内力图的特性 改变和梁、刚架不同)，但由于拱轴线B曲线，一般为二次方程，则求出的内力方程为 高阶方程，且沿轴线作图比较困难。 因此通常用近似法作拱的内力图：用水平线代替拱轴线，用截面法求出一系列截面的内 力，在水平线上用描点法作出（按比例定位，用曲线板相连）。 微分关系复杂 区段叠加法不适用 也可采用叠加法绘制。 例4-1试绘制图4-9贴所示三较拱的内力图。三较供的拱轴为一匏物线，当坐标原 在左支座时，它的方程可由下式表达 y=新u-x) [解】先求支座反力，根据公式(4-4)、(4-5).(4-6)可得 R-P-10X10x920X10x6X3.105X10N=15N F,-F-10X10x3+20X10X6x9=15x10N=15
NK=QK 0 sinψK+ HcosψK 1}规定正负问题； 2}截面法求内力； 3）比较出公式适用范围（适用范围：竖向荷载（包括竖向均布荷载和集中力）作 用下的三铰平拱、带拉杆的拱）。 结论：（1）三铰拱的弯矩小于相当梁的弯矩； （2）N 较大，Q 较小 3、受力特点（比较法，由公式） 1）竖向荷载下，梁没有水平反力，拱则有水平推力，所以拱要求比梁更为坚固的 基础或支承结构。 2）由于水平推力的存在，三铰拱截面上的 M 比简支梁小，所以拱比梁能更有效地 发挥材料作用，适用于较大跨度或较重荷载。 3）在竖向荷载作用下，梁内无 N，而拱内 N 较大，且一般为压力，所以拱可以用 抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造，例如：砖、石、砼，便宜，造价低。 总之，拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。抗压更有利于抗压性能好的材料，但 三铰拱的基础比梁大；因此屋架中三铰拱常带拉杆，减少对墙或柱的推力。 4、拱内力图的绘制 曲线，沿拱轴逐点计算和描绘。 （1） 沿拱轴将拱截成为若干相等的小段； （2） 计算各截面处的 y,tan,sin,cos （3） 利用公式逐一计算各截面的 M、Q、N 值； （4） 逐点描绘 理论上讲，只要用截面法求出拱截面的内力方程，就能作出内力图（内力图的特性 改变和梁、刚架不同），但由于拱轴线 B 曲线，一般为二次方程，则求出的内力方程为 高阶方程，且沿轴线作图比较困难。 因此通常用近似法作拱的内力图：用水平线代替拱轴线，用截面法求出一系列截面的内 力，在水平线上用描点法作出（按比例定位，用曲线板相连）。 微分关系复杂 区段叠加法不适用 也可采用叠加法绘制
o kN Ihriiiitinginn B×1.5m=12 M图（位kN:m 随4-9 F4-9.105x10×6:100X10X3=2.5×10N=2.5N 力求出后，即可根据式(4-7)、(4-8)，(4-9)绘制其内力图。为此，将拱蔚分成八等分，然后 表4-1算出拱上各个燕面的M,Fa,Fw值，最后再根据表中所得数值绘得M,F。,F图，如 4-9cd所示 为了说明表4一1，现以离左支座的水平臣离为1.Sm处的截面1为例，计算其内力如下： 当x=1.5m时，由拱轴方程可求得 =41-z,=2-1.5)×1.5=1.75m m-竖=判1-20）-1-2x没)-可
故 e.m45 于是 sn1=0=0.707 据式4-)、(4-8》.(4-9)求得该面的弯矩剪力及特力分别为 M=M1-F4y1=105×103×1.5-82.5×10×1.75=157.5×10-144.4×10 =13.1×10Nm=13.1kNm Fa=Fcc0s1-F4an=105×10×0.707-82.5×10×0.707 74.2×10-58.3×10=15.9×10N=15.9kN Fa=Fa5n1+Fs=105×102×0.70m+82.5×100.707 ■74.2×10+58.3×103m132.5×102N=132.5kN 其他各裁面的计算与上相同。 最后还需指出：在剪力为罗的搬面上将出现弯矩的极值。例如，在0一1分段上，根据F。=0 的条件可求得x==0.273m,相应处y=0.356m,代人式(4-7)可得 M==105×10×0.273-82.5×10×0.356 -0.7X10Nm= -0.7 kN'm 同理，在3-4分段上，当x=5.727m时（相应处y=3.92m),F。=0,与此相应的弯矩极 小值为-0.7kNm 表4-1三校拱内力的计算 M/kN'm 分 542 583 30.60.50.对 a50 -247.567 33.5 0.3330.31 .4 47 -26.121.4 79.5 0.00 5. 5.0 5.75外0.3 0.10.94 -2 24 63060.54.网 -55.0255.g-247.57. -45.8 45.8 0.5 68.6 71.751.000-0.00.70 -5.0150.d-144.45 -60.1 58.3 -1.80.1 58.3 1184 801.30.00.59-15.00 00 6的.0=2g2.04.5141.5 5、内力的计算公式推算三较拱内力图的一些特点： 1)Mk=Mk0HVK集中力偶作用处，M图发生突变： 2)集中力作用处，三较拱的N、Q图将发生突变： Nk=QKsin中w+Hcos中g )迪公Q可知，在Q0的被面上M将出现极值，在集中方作用处由 于QK发生突变，M图将出现尖角
5、 内力的计算公式推算三铰拱内力图的一些特点： 1）}MK=MK 0 -H•yK 集中力偶作用处，M 图发生突变； 2）集中力作用处，三铰拱的 N、Q 图将发生突变； { QK=QK 0cosψK- HsinψK NK=QK 0 sinψK+ HcosψK 3）}由 k k Qk dx dM cos = 可知，在 Q k=0 的截面上 M 将出现极值，在集中力作用处由 于 QK 发生突变，M 图将出现尖角
§4-3三铰拱的合理拱轴线 一、压力线 一般情况下，三铰拱任一截面上的内力有三个，这三个内力可以合成为一个合力（用图 表示)，可以确定合力作用点，可能在截面上，也可能在截面的延伸面上。 实体三铰拱上每一截面上总压力在该截面（或其延伸面）上的作用点（合力的作用点的 连线)所连成的一条折线或曲线。 三铰拱的压力线可以用作图法作出，随荷载而变化，和荷载及三铰拱的三个铰位置有关 和拱的轴线形状无关。 己知压力线可以求出（完全确定）任一截面上的内力：力多边形和相应的压力多边形。 二、合理拱轴 当拱的轴线和压力线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为0，则各截面上只有轴 向压力，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态，这时候材料的使用最经济，这样 的拱轴为合理拱轴。 在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。对于竖向荷载作用下的三较平拱的合理拱 轴，可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。M0, =M/H 在竖向荷载作用下，三铰拱合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比，与H成反比。 例4一2试求图4一10所示对称三校拱在沿全跨长的水平均布荷载g作用下的合理拱轴 线。 H 务理， 410 [解]作出相应简支梁如图4-10%所示，其弯矩方程为 M-Te(-x) 惟力F由式(4-6)求得为 放由式(4-10)得到拱的合理轴线方程为 ,-当- (4-1 由此可见，在沿全跨长的水平均布荷载作用下，三校拱的合理轴线是一根二次抛物线
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 一、压力线 一般情况下，三铰拱任一截面上的内力有三个，这三个内力可以合成为一个合力（用图 表示），可以确定合力作用点，可能在截面上，也可能在截面的延伸面上。 实体三铰拱上每一截面上总压力在该截面（或其延伸面）上的作用点（合力的作用点的 连线）所连成的一条折线或曲线。 三铰拱的压力线可以用作图法作出，随荷载而变化，和荷载及三铰拱的三个铰位置有关。 和拱的轴线形状无关。 已知压力线可以求出（完全确定）任一截面上的内力：力多边形和相应的压力多边形。 二、合理拱轴 当拱的轴线和压力线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为 0，则各截面上只有轴 向压力，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态，这时候材料的使用最经济，这样 的拱轴为合理拱轴。 在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。对于竖向荷载作用下的三铰平拱的合理拱 轴，可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。M=0， 在竖向荷载作用下，三铰拱合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比，与 H 成反比。 y M / H 0 =