免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第十六章勾股定理的综合应用 勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一,它的应用极其广泛,现将常见的应 用例析如下,供同学们参考 、利用勾股定理进行计算 1.求面积 例1:如图1,在等腰△ABC中,腰长AB=10cm,底BC=16cm,试求这个三角形面积 析解:若能求出这个等腰三角形底边上的高,就可以求出 这个三角形面积。而由等腰三角形“三线合一”性质,可联想 作底边上的高AD,此时D也为底边的中点,这样在Rt△ABD 中,由勾股定理得AD=AB2-BD=102-82=36,所以AD=6 图1 cm,所以这个三角形面积为_×BC×AD=×16×6=48cm2。 2.求边长 例2:如图2,在△ABC中,∠C=135°,BC=√2,AC=2,试求AB的长 析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考 虑过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于D点,构成Rt△CBD 和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因为∠ACB=135°,所以∠BCB=45° 图2 所以BD=CD,由BC=√2,根据勾股定理得BP+CD=BC,得 BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以 AB=√10。 点评:这两道题有一个共同的特征,都没有现成的直角三角形,都是通过添加适当的辅 助线,巧妙构造直角三角形,借助勾股定理来解决问题的,这种解决问题的方法里蕴含着数 学中很重要的转化思想,请同学们要留心。 二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例3:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC 的形状。 析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判断△ABC的形状,设法求出式中 的a,b,c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等,因此考虑利用因式分解将所给式子 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A 图 1 B D C D 图 2 A B C 第十六章 勾股定理的综合应用 勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一，它的应用极其广泛，现将常见的应 用例析如下，供同学们参考。 一、利用勾股定理进行计算 1．求面积 例 1：如图 1，在等腰△ABC 中，腰长 AB=10cm，底 BC=16cm，试求这个三角形面积。 析解：若能求出这个等腰三角形底边上的高，就可以求出 这个三角形面积。而由等腰三角形“三线合一”性质，可联想 作底边上的高 AD，此时 D 也为底边的中点，这样在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 AD2 =AB2－BD2 =102－8 2 =36，所以 AD=6 cm，所以这个三角形面积为 2 1 ×BC×AD= 2 1 ×16×6=48 cm2。 2．求边长 例 2：如图 2，在△ABC 中，∠C=135º，BC= 2 ，AC=2，试求 AB 的长。 析解：题中没有直角三角形，不能直接用勾股定理，可考 虑过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 的延长线于 D 点，构成 Rt△CBD 和 Rt△ABD。在 Rt△CBD 中，因为∠ACB=135º，所以∠BCB=45º， 所以 BD=CD，由 BC= 2 ，根据勾股定理得 BD2 +CD2 =BC2，得 BD=CD=1，所以 AD= AC+ CD=3。在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 AB 2 = AD2 +BD2 =32 +12 =10，所以 AB= 10 。 点评：这两道题有一个共同的特征，都没有现成的直角三角形，都是通过添加适当的辅 助线，巧妙构造直角三角形，借助勾股定理来解决问题的，这种解决问题的方法里蕴含着数 学中很重要的转化思想，请同学们要留心。 二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例 3：已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足 a 2 +b2 +c2 +338=10a+24b+26c。试判断△ABC 的形状。 析解：由于所给条件是关于 a，b，c 的一个等式，要判断△ABC 的形状，设法求出式中 的 a，b，c 的值或找出它们之间的关系（相等与否）等，因此考虑利用因式分解将所给式子
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以 a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因为(a 5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12, C=13。因为52+12=132,所以a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形。 点评:用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的“数形结合思想”的重要体现。 三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系 例4:如图3,在△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,DE⊥AB于E点,试说明:BC=BE2 析解:由于要说明的是线段平方差问题,故可考虑利用勾 股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90°及CD=AD,可连结B A 图 BD来解决。因为∠C=90°,所以BD=BC2+CD2。又DE⊥AB, 所以∠BED=∠AED=90°,在Rt△BED中,有BD=BE+DE2。在Rt△AED中,有AD=DE+AE 又D是AC的中点,所以AD=CD。故BC2+CD=BC+AD=BC2+DE2+AE=BE2+DE,所以BE2=BC2+ AE2,所以BC2=BE2一AE 点评:若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时,则可考虑构造直 角三角形,利用勾股定理来解决问题。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A D 图 3 B C E 进行变形。因为 a 2 +b2 +c2 +338=10a+24b+26c，所以 a 2－10a+ b2－24b+c2－26c+338=0，所以 a 2－10a+25+ b2－24b+144+ c2－26c+169=0，所以(a－5)2 + (b－12)2 + (c－13)2 =0。因为(a －5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0，所以 a－5=0，b－12=0，c－13=0，即 a=5，b=12， c=13。因为 5 2 +122 =132，所以 a 2 + b2 = c 2，即△ABC 是直角三角形。 点评：用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的“数形结合思想”的重要体现。 三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系 例 4：如图 3，在△ABC 中，∠C=90º，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，试说明：BC2 =BE2 －AE2。 析解：由于要说明的是线段平方差问题，故可考虑利用勾 股定理，注意到∠C=∠BED=∠AED=90º及 CD=AD，可连结 BD 来解决。因为∠C=90º，所以 BD2 =BC2 +CD2。又 DE⊥AB， 所以∠BED=∠AED=90º，在 Rt△BED 中，有 BD2 =BE2 +DE2。在 Rt△AED 中，有 AD2 = DE2 +AE2。 又 D 是 AC 的中点，所以 AD=CD。故 BC2 +CD2 = BC2 + A D2 = BC2 + DE2 +AE2 = BE2 + DE2，所以 BE2 = BC2 + AE2，所以 BC2 =BE2－AE2。 点评：若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时，则可考虑构造直 角三角形，利用勾股定理来解决问题