免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 17.5反证法 数学组刘荣格 【教学目标】 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法 2.培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力 【教学重点】:反证法证题的步骤 【教学难点】理解反证法的推理依据及方法 【教学方法】讲练结合教学 【教学过程】 提 师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法? 生:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法 师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么? 生:共分三步: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立 (2)从假设出发,经过推理,得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 师:反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困 难或难以证明时,可运用反证法进行证明。 例如:在△ABC中,AB=C,BC=a,AC=b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为什么? 解析:由∠C=90°可知是直角三角形,根据勾股定理可知a2+b2=c2 探究 问题: 若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=C,BC=a,AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2+b2≠c2成 立吗?请说明理由 探究 假设a2+b2=c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立,从而说明原结论a2+b2≠c2成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的:逻辑推理 得出与已知、定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法 、应用新知 例1:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C 证明:假设,∠B=∠C,则AB=AC这与已知AB≠AC矛盾.假设不成立.∴∠B≠∠C 小结:反证法的步骤:假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 例2已知:如图有a、b、c三条直线,且a//c,b//c.求证:a//b 证明:假设a与b不平行,则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行,这与 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a/ 小结:根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、公理矛盾 例3求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 17.5 反证法 数学组 刘荣格 【教学目标】 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 【教学重点】：反证法证题的步骤. 【教学难点】理解反证法的推理依据及方法. 【教学方法】讲练结合教学. 【教学过程】 提问： 师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困 难或难以证明时，可运用反证法进行证明。 例如：在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c 三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 二、探究 问题： 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论 a2 +b2 ≠ c2 成 立吗？请说明理由。 探究： 假设 a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形 ABC 是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理 得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例１：在△ABC 中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设，∠B ＝ ∠C，则 AB＝AC 这与已知 AB≠AC 矛盾．假设不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 例 2 已知：如图有 a、b、c 三条直线，且 a//c,b//c. 求证：a//b 证明：假设 a 与 b 不平行，则可设它们相交于点 A。那么过点 A 就有两条直线 a、b 与直线 c 平行，这与 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 ∴a//b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 例 3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°
免费下载网址htp:/ jiaoxue5uysl68com/ 已知:△ABC,求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 证明:假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立 ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 例4.试证明:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行.(学生完成,教师引导) 已知: 求证 证明:假设 则可设它们相交于点A。那么过点A就有条直线与直线c平 行,这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立 三、课堂练习:课本 四、课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着 学习的深入,逐步加强和提高。 五、课后作业:课本 六板书设计 §29.2反证法 1.反证法证明命题的步骤。 2.反证法应用:例题。 七、教学反思 “反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法,对于一些证明体它有着独特,简便,实用的方法。故 反证法的学习非常重要,在反思本节内容的教学中得出以下几点体会 分清所证命题的条件和结论 如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是指教”其中条件是“一个三角形”()结论是“不能有两 个角是直角”() 熟记步骤 第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设” 第二步:推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾,所以 假设不成立,故一个三角形中不能有两个角是直角,即为第三步:推翻假设,证明原命题成立。 抓住重点,突破难点 反证法的重点是能写出结论的反面,同时也是难点。如:的反面是,易错写成:又如“写出线段AB,CD 互相平分的反面”,线段AB,CD互相平分具体指:“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种 情况:(1)AB平分CD但CD不平分AB;(2)CD平分AB但AB不平分CD;(3)AB不平分CD且CD不平 分AB.统称为“AB,CD不互相平分”,而学生往往只考虑第(3)种情况,即AB,CD互相不平分。 注重规范 在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定 要先用数学语言写出“已知”和“求证”即己知:梯形ABCD中,AC,BD是对角线;求证:AC,BD不能互 相平分。然后再按一般步骤证明 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 证明： 假设△ABC 中没有一个内角小于或等于 60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为 180 度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 例 4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导） 已知： ； 求证： ； 证明：假设 ，则可设它们相交于点 A。那么过点 A 就有 条直线与直线 c 平 行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。 ∴ 。 三、课堂练习：课本 四、课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着 学习的深入，逐步加强和提高。 五、课后作业：课本 六、板书设计 §29.2 反证法 1.反证法证明命题的步骤。 2.反证法应用：例题。 小结： 七、教学反思： “反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故 反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会： 1. 分清所证命题的条件和结论 如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是指教”其中条件是“一个三角形”（ ）结论是“不能有两 个角是直角”（ ） 熟记步骤 第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设 ” 第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知 发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以 假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。 抓住重点，突破难点 反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如： 的反面是 ，易错写成 ；又如“写出线段 AB,CD 互相平分的反面”，线段 AB,CD 互相平分具体指：“AB 平分 CD 且 CD 平分 AB”.他的反面应包括以下三种 情况：（1）AB 平分 CD 但 CD 不平分 AB；（2）CD 平分 AB 但 AB 不平分 CD；（3）AB 不平分 CD 且 CD 不平 分 AB.统称为“AB，CD 不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即 AB，CD 互相不平分。 注重规范 在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定 要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形 ABCD 中，AC，BD 是对角线；求证：AC，BD 不能互 相平分。然后再按一般步骤证明
免费下载网址httpjiaoxue5u.ys168.com 反证法不仅能提高学生的演绎推理能力,而且在后继的学习中有着不可忽视的作用,虽然在初中教材中所 占篇幅很少,但本人认为不应轻视,应让学生掌握其精髓,合理的去运用 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
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