免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 角平分线 教学目标 (一)教学知识点 1.角平分线的性质定理的证明 2.角平分线的判定定理的证明 3.用尺规作已知角的角平分线 (二)能力训练要求 1.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言转化为符 号语言、图形语言的能力 2.体验解决问题策略的多样性,提髙实践能力 (三)情感与价值观要求 1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 1.角平分线的性质和判定定理的证明 2.用尺规作已知角的角平分线并说明理由 教学难点 1.正确地表述角平分线性质定理的逆命题 2.正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言,对几何命题加以证明 教学方法 探索一一引导法 教具准备 一张纸,直尺,圆规 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.设置情境问题,搭建探究平台 问题还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的? 「生]我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 角平分线 教学目标 (一)教学知识点 1．角平分线的性质定理的证明． 2．角平分线的判定定理的证明． 3．用尺规作已知角的角平分线． (二)能力训练要求 1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符 号语言、图形语言的能力． 2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力． (三)情感与价值观要求 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．角平分线的性质和判定定理的证明． 2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由． 教学难点 1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题． 2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明． 教学方法 探索——引导法 教具准备 一张纸，直尺，圆规 多媒体演示 教学过程 Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？ [生]我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)在一张纸上任意画一个 角∠AOB,沿角的两边将 角剪下,将这个角对折, 使角的两边重合 (2)在折痕(即角平分线)上 任意取一点C (3)过点C折OA边的垂线 得到新的折痕CD,其中, 点D是折痕与OA边的交 点,即垂足 (4)将纸打开,新的折痕与 OB边的交点为E 从折纸过程中,我们可以得出CD=CE,即角平分线上的点到角两边的距离 相等. 师]你能证明它吗? Ⅱ.展示思维空间,构建活动空间 师我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质,我们还需运用所学的 公理和已证的定理证明它.请同学们自己尝试着证明它,然后在全班进行交流 生]已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥ OB,垂足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵∠1=∠2,OP=OP, ∠PDO=∠PEO=90°, 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com (1)在一张纸上任意画一个 角∠AOB，沿角的两边将 角剪下，将这个角对折， 使角的两边重合 (2)在折痕(即角平分线)上 任意取一点 C (3)过点C折OA边的垂线， 得到新的折痕 CD，其中， 点 D 是折痕与 OA 边的交 点，即垂足 (4)将纸打开，新的折痕与 OB 边的交点为 E 从折纸过程中，我们可以得出 CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离 相等． [师]你能证明它吗？ Ⅱ．展示思维空间，构建活动空间 [师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的 公理和已证的定理证明它．请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流． [生]已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥ OB，垂足分别为 D、E． 求证：PD＝PE． 证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP， ∠PDO＝∠PEO＝90°
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) I师我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把 它叫做角平分线的性质定理,我们再来一起陈述:(用多媒体演示)角平分线上的 点到这个角的两边的距离相等 我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题.你能写出这个定理的逆命题 吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们 可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题 [生]如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线 上 「生我觉得这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部 也存在到角两边距离相等的点 E F B 师这位同学思考问题很仔细.事实上,从同一点出发的两条射线一般组成 两个角,而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部,其余部分为角的 外部.如上图所示,到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、 OF,但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)是∠AOB的平分线.因此逆 命题中应加上“在角的内部”的条件 谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢? 生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上 师]它是真命题吗? 「生没有加“在角的内部”时,是假命题.但根据题意我觉得应加上“在角 的内部”这一条件,因此角平分线性质定理的逆命题是真命题 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) [师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把 它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的 点到这个角的两边的距离相等． 我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题 吗？ 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们 可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． [生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线 上． [生]我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部 也存在到角两边距离相等的点． [师]这位同学思考问题很仔细．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成 两个角，而“角的内部”通常是指其中小于 180°的角的内部，其余部分为角的 外部．如上图所示，到∠AOB 两边距离相等的点的集合应是射线 OC、OD、OE、 OF，但其中只有射线 OC(即在∠AOB 内部的射线)才是∠AOB 的平分线．因此逆 命题中应加上“在角的内部”的条件． 谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？ [生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． [师]它是真命题吗？ [生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角 的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导) 「生]证明如下 已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD O 求证:点P在∠AOB的角平分线上 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90° 在R1△ODP和R1△OEP中 OP=OP, PD=PE ∴R△ODP≌R△OEP(H定理 ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) 师j逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆 命题叫做原定理的逆定理.给它起个名字吗? 生我们就把它叫做角平分线的判定定理吧,因为满足条件的点在角平分线 上,连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了 [师]很好!我们就把它叫做角平分线的判定定理吧!我们一起再来陈述一下 它的内容: 在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上 我们证明了角平分线的性质定理和判定定理.你能用什么办法平分一个已知 角呢?请在小组内交流 「生]可以用量角器 「生]使用三角尺,也可以平分一个已知角 生]如果有角尺的话,用角尺也可以平分一个已知角 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]你能证明它吗？ (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) [生]证明如下： 已知：在∠AOB 内部有一点 P，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD ＝PE， 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°． 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中 OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL 定理)． ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)． [师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆 命题叫做原定理的逆定理．给它起个名字吗？ [生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线 上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了． [师]很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下 它的内容： 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 我们证明了角平分线的性质定理和判定定理．你能用什么办法平分一个已知 角呢？请在小组内交流． [生]可以用量角器． [生]使用三角尺，也可以平分一个已知角． [生]如果有角尺的话，用角尺也可以平分一个已知角． ……
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]很好!但我们今天要学习的是用直尺和圆规平分一个已知角.你能写出 这个尺规作图的已知和求作吗? 已知:∠AOB(如图) 米C D 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:1.在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE 2.分别以D、E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内 交于点C 3.作射线OC OC就是∠AOB的平分线 (教学时,教师可以边介绍作法,边让学生动手完成整个操作过程) 师我们能用尺规作一个已知角的平分线,请你说明OC为什么是∠AOB的 平分线,与同伴交流 生]从作图的过程中,不难发现OD=OE,CE=CD,OC=OC, ∴△OCE≌△OCD(SSS) ∴∠1=∠2,即OC是∠AOB的角平分线 Ⅲ.随堂练习 如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什 么关系? D 解:∵AD平分∠CAB ∴∠1=∠2、1 ∠CAB 又∵AE平分∠CAF, 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]很好！但我们今天要学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．你能写出 这个尺规作图的已知和求作吗？ 已知：∠AOB(如图) 求作：射线 OC，使∠AOC＝∠BOC． 作法：1．在 OA 和 OB 上分别截取 OD、OE，使 OD＝OE． 2．分别以 D、E 为圆心，以大于 2 1 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内 交于点 C． 3．作射线 OC． OC 就是∠AOB 的平分线． (教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程) [师]我们能用尺规作一个已知角的平分线，请你说明 OC 为什么是∠AOB 的 平分线，与同伴交流． [生]从作图的过程中，不难发现 OD＝OE，CE＝CD，OC＝OC， ∴△OCE≌△OCD(SSS)． ∴∠1＝∠2，即 OC 是∠AOB 的角平分线． Ⅲ．随堂练习 如图，AD、AE 分别是△ABC 中∠A 的内角平分线和外角平分线，它们有什 么关系？ 解：∵AD 平分∠CAB， ∴∠1＝∠2＝ 2 1 ∠CAB． 又∵AE 平分∠CAF
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠3=∠4=2∠CAF. ∠CAB+∠CAF=180°, ∴∠1+∠3=(∠CAB+∠CAF=×180°=90°,即AD⊥AE. Ⅳ.课时小结 这节课我们在折纸的基础上,证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定 理,并学习了用尺规作一个已知角的角平分线,进一步发展学生的推理证明意识 和能力 V.课后作业 1.习题1.8第1,2,3题 2.阅读“读一读”,使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三 大几何难题”,开阔他们的视野,体会数学家坚忍不拔的科学探索精神 Ⅵ.活动与探究 如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取OO=OP,OT=OS,PT和OS 相交于点C 求证:OC平分∠AOB. 证明:在△OPT和△OOS中, OP=OQ,OT=OS,∠PO7=∠9OS, ∴△OPT≌△ OOS(SAS ∴∠OTC=∠OSC(全等三角形的对应角相等) 在△COT和△CPS中 ∵OT=OS,OP=OQ,∴O7-09=0s-OP即QT=SP, 又∵∠PCS=∠QCT,∠OTC=∠QSC, ∴△CQr≌△CPS(AAS ∴CT=CS全等三角形的对应边相等) 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠3＝∠4＝ 2 1 ∠CAF． ∵∠CAB＋∠CAF＝180°， ∴∠1＋∠3＝ 2 1 (∠CAB＋∠CAF)＝ 2 1 ×180°＝90°，即 AD⊥AE． Ⅳ．课时小结 这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定 理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识 和能力． Ⅴ．课后作业 1．习题 1．8 第 1，2，3 题． 2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三 大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神． Ⅵ．活动与探究 如图，在∠AOB 的两边 OA、OB 上分别取 OQ＝OP，OT＝OS，PT 和 QS 相交于点 C． 求证：OC 平分∠AOB． 证明：在△OPT 和△OQS 中， OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS， ∴△OPT≌△OQS(SAS)． ∴∠OTC＝∠OSC(全等三角形的对应角相等)． 在△CQT 和△CPS 中， ∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT－OQ＝OS－OP 即 QT＝SP， 又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠QSC， ∴△CQT≌△CPS(AAS)． ∴CT＝CS(全等三角形的对应边相等)．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 在△OCT和△OCS中,OC=OC,OT=OS,CT=CS .△OCr≌△ OCS(SSS9 ∴∠TOC=∠SOC(全等三角形的对应角相等),即OC平分∠AOB 板书设计 §1.4.1角平分线( (-)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上 (三)用尺规作角平分线 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 在△OCT 和△OCS 中，OC＝OC，OT＝OS，CT＝CS． ∴△OCT≌△OCS(SSS)． ∴∠TOC＝∠SOC(全等三角形的对应角相等)，即 OC 平分∠AOB． 板书设计 §1．4．1 角平分线(一) (一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．