免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 角平分线 教学目标 (一)教学知识点 1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用 (二)能力训练要求 进一步发展学生的推理证明意识和能力 2.培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力 3.提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力 (三)情感与价值观要求 1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 三角形三个内角的平分线的性质 2.综合运用角平分线的判定和性质定理,解决几何中的问题 教学难点 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用 教学方法 活动探究法 教具准备 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.设置情境问题,搭建探究平台 问题1习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什 么?(教师可用多媒体演示尺规作图过程) 生]三角形的三个内角的角平分线交于一点 生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 角平分线 教学目标 (一)教学知识点 1．证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． 2．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． (二)能力训练要求 1．进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． 3．提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． (三)情感与价值观要求 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．三角形三个内角的平分线的性质． 2．综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题． 教学难点 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用． 教学方法 活动探究法 教具准备 多媒体演示 教学过程 Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题 1 习题 1．8 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什 么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)． [生]三角形的三个内角的角平分线交于一点． [生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师]你还可以用什么方法说明上述结论呢? 生]利用折纸,在纸板上画一个三角形并剪下来,折叠,作出三角形三个内 角的角平分线交于一点 [师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢?可以类比我们学 过的知识解决吗? 「生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明.我们在证 此结论时,先是设有其中两边的垂直平分线交于一点,然后利用线段垂直平分线 的判定定理,说明这一点在第三边的垂直平分线上 师]很好!下面我们就来证明:三角形三条角平分线相交于一点 Ⅱ.展示思维过程,构建探究平台 师生共析]记已知:如图,设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P 证明:P点在∠BAC的角平分线上 证明:过P点作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,其中D、E、F是垂足 BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 同理:PE=PF. ∴PD=PF ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角两边距离相等的点, 在这个角的平分线上) ∴△ABC的三条角平分线相交于点P 师]在证明过程中,我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外,还 证明了什么呢? 「生还证明了PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？ [生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内 角的角平分线交于一点． [师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学 过的知识解决吗？ [生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证 此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线 的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上． [师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点． Ⅱ．展示思维过程，构建探究平台 [师生共析]已知：如图，设△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P， 证明：P 点在∠BAC 的角平分线上． 证明：过 P 点作 PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中 D、E、F 是垂足． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE＝PF． ∴PD＝PF． ∴点 P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点， 在这个角的平分线上)． ∴△ABC 的三条角平分线相交于点 P． [师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还 证明了什么呢？ [生]还证明了 PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即 定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相 下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质 定理 三边垂直平分线三条角平分线 交于三角 锐角三角形 形内一点 交于三角形 角 交于三角 钝角三角形 内一点 形外一点 直角三角形|交于斜边的中点 到三角形三个到三角形三 交点性质 顶点的距离相等边的距离相等 师]下面我们来看问题2(多媒体演示) 如图,直线h、h、b表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处? 生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交 点处 [师]你如何发现的? 生因为三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三边的距离相等.而现 在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合 「生我找到四处,(同学们很吃惊) 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即 定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相 等． 下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质 定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三 角 形 锐角三角形 交于三角 形内一点 交于三角形 钝角三角形 内一点 交于三角 形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个 顶点的距离相等 到三角形三 边的距离相等 [师]下面我们来看问题 2(多媒体演示) 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ [生]有一处．在三条公路的交点 A、B、C 组成的△ABC 三条角平分线的交 点处． [师]你如何发现的？ [生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现 在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合． [生]我找到四处．(同学们很吃惊)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]你是如何找到的? 生]除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外,我认为在三角形外部还 有三点作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P(如下图所示),我们利用角平 分线的性质定理和判定定理,可知点P1在∠CAB的角平分线上,且到h、b、b 的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2;∠BAC、∠ CBA的外角的角平分线的交点P3.因此满足条件的点共4个,分别是P、P1、 Ⅲ.例题讲解 多媒体演示 例1如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,垂足为E (1)已知CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 分析:本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起, 目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题.第 (1)问中,求AC的长,需求出BC的长,而BC=CD+DB,CD=4cm,而BD在 等腰直角三角形DBE中,根据角平分线的性质,DE=CD=4cm,再根据勾股定 理便可求出DB的长.第(2)问中,求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这 种形式的证明,利用转化的思想AB=AE+BE,所以需证AC=AE,CD=BE 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]你是如何找到的？ [生]除了刚才同学找到的三角形 ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还 有三点．作∠ACB、∠ABC 外角的平分线交于点 P1(如下图所示)，我们利用角平 分线的性质定理和判定定理，可知点 P1 在∠CAB 的角平分线上，且到 l1、l2、l3 的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA 的外角的角平分线的交点 P2；∠BAC、∠ CBA 的外角的角平分线的交点 P3．因此满足条件的点共 4 个，分别是 P、P1、 P2、P3． Ⅲ．例题讲解 多媒体演示 [例 1]如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E． (1)已知 CD＝4cm，求 AC 的长； (2)求证：AB＝AC＋CD． 分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起， 目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第 (1)问中，求 AC 的长，需求出 BC 的长，而 BC＝CD＋DB，CD＝4cm，而 BD 在 等腰直角三角形 DBE 中，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，再根据勾股定 理便可求出 DB 的长．第(2)问中，求证 AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这 种形式的证明，利用转化的思想 AB＝AE＋BE，所以需证 AC＝AE，CD＝BE．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)解:∵:AD是△ABC的角平分线 ∠C=90°,DE⊥AB. ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等) AC=BC.∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°, ∴∠B=×90°=45 ∠BDE=90°-45°=4 ∴BE=DE(等角对等边) 在等腰直角三角形BDE中 BD=√2DE2=42cm(勾股定理), AC=BC=CD+BD=(4+ 4v2 )cm (2证明:由(1)的求解过程可知 R△ACD≌R△ AED(HL定理) ∴AC=AE BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD 例2已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足 分别为C、D. 求证:(1)OC=OD (2)OP是CD的垂直平分线 证明:(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com (1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB． ∴DE＝CD＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC＝BC．∴∠B＝∠BAC(等边对等角)． ∵∠C＝90°， ∴∠B＝ 2 1 ×90°＝45°． ∴∠BDE＝90°－45°＝45°． ∴BE＝DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形 BDE 中 BD＝ 2 2DE ＝4 2 cm(勾股定理)， ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋ 4 2 )cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理) ∴AC＝AE． ∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD． [例 2]已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足 分别为 C、D． 求证：(1)OC＝OD； (2)OP 是 CD 的垂直平分线． 证明：(1)∵P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 在R1△OPC和R1△OPD中, OP=OP, PC=PD ∴R△OPC≌R△OPD(HL定理) ∴OC=OD(全等三角形对应边相等) (2)又OP是∠AOB的角平分线, OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理) 思考:图中还有哪些相等的线段和角呢? Ⅳ.课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交 于一点,且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定 理等解决了几何中的计算和证明问题 V.课后作业 习题1.9第1、2题 Ⅵ.活动与探究 如图,△ABC中,点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过O作与BC 平行的直线分别交AB、AC于D、E.已知△ABC的周长为2004,BC的边长为 704,求△ADE的周长 B 「过程求△ADE的周长,即需求出AD+DE+AE的和,根据题意,要整体 转化方可求出.首先O是△ABC中∠BAC和∠ABC的角平分线的交点,则O必 在∠ACB的角平分线上,即OC平分∠ACB.而DE∥BC,恰好能构造出等腰三 角形ODB和等腰三角形OEC,则DB=OD,EC=OE,则AD+DE+AE=(AD 十DB)+(CE+AE)=AB+AC.此题便可获解 结果连接OC 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP＝OP，PC＝PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL 定理)． ∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)． (2)又 OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． 思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？ Ⅳ．课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交 于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定 理等解决了几何中的计算和证明问题． Ⅴ．课后作业 习题 1．9 第 1、2 题 Ⅵ．活动与探究 如图，△ABC 中，点 O 是∠BAC 与∠ABC 的平分线的交点，过 O 作与 BC 平行的直线分别交 AB、AC 于 D、E．已知△ABC 的周长为 2004，BC 的边长为 704，求△ADE 的周长． [过程]求△ADE 的周长，即需求出 AD＋DE＋AE 的和，根据题意，要整体 转化方可求出．首先 O 是△ABC 中∠BAC 和∠ABC 的角平分线的交点，则 O 必 在∠ACB 的角平分线上，即 OC 平分∠ACB．而 DE∥BC，恰好能构造出等腰三 角形 ODB 和等腰三角形 OEC，则 DB＝OD，EC＝OE，则 AD＋DE＋AE＝(AD ＋DB)＋(CE＋AE)＝AB＋AC．此题便可获解． [结果]连接 OC．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点, .OC平分∠ACB(三角形三条角平分线交于一点) ∴∠OCE=∠OCB. 又∵DE∥BC, ∴∠EOC=∠OCB(两直线平行,内错角相等) ∴∠OCE=∠EOC ∴OE=EC(等角对等边) 同理可证OD=DB ∴△ADE的周长为 AD+DO+OE+AE AD+DB+EC+AE =AB+AC =2004-704 板书设计 §1.4.2角平分线(二) 1.定理三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 2.[例]在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E (1)已知CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD 分析:(略) 解:(略) 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∵O 是∠ABC 和∠BAC 角平分线的交点， ∴OC 平分∠ACB(三角形三条角平分线交于一点)． ∴∠OCE＝∠OCB． 又∵DE∥BC， ∴∠EOC＝∠OCB(两直线平行，内错角相等)． ∴∠OCE＝∠EOC ∴OE＝EC(等角对等边)． 同理可证 OD＝DB． ∴△ADE 的周长为 AD＋DO＋OE＋AE ＝AD＋DB＋EC＋AE ＝AB＋AC ＝2004－704 ＝1300． 板书设计 §1．4．2 角平分线(二) 1．定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 2．[例]在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB，垂足为 E． (1)已知 CD＝4cm，求 AC 的长； (2)求证：AB＝AC＋CD． 分析：(略) 解：(略)