免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 6.3勾股定理的应用 〖教学目标〗 (一)知识目标 初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实 际问题 (二)能力目标 1.能在实际问题中构造直角三角形,提高建模能力,进一步深化对构造法和代数计 算法和理解. 2.在解决实际问题的过程中,体验空间图形展开成平面图形时,对应的点,线的位 置关系,从中培养空间观念 (三)情感目标 通过对实际问题的有目的的探索和研究,体验勾股定理的探索活动充满创造性和可 操作性,并敢于面对数学活动中的困难,运用已有知识和经验解决问题,激发学好数学的自 信心.培养用数学的意识 〖教学重点〗 运用勾股定理进行计算,解决实际问题 〖教学难点〗 运用勾股定理进行计算,解决实际问题 〖教学过程〗 、课前布置 自学:阅读课本P86P87,试着做一做本节练习,提出在自学中发现的问题(鼓励 提问 二、师生互动 [师]勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理, 其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯( Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第 二版中,收集了这个定理的370种证明并对它们进行了分类。 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上,还在用它来 放线,进行“归方”,即放“成直角”的线 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 16.3 勾股定理的应用 〖教学目标〗 （－）知识目标 初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实 际问题. （二）能力目标 1.能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计 算法和理解. 2. 在解决实际问题的过程中，体验空间图形展开成平面图形时，对应的点，线的位 置关系，从中培养空间观念 （三）情感目标 通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可 操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自 信心．培养用数学的意识. 〖教学重点〗 运用勾股定理进行计算，解决实际问题. 〖教学难点〗 运用勾股定理进行计算，解决实际问题. 〖教学过程〗 一、课前布置 自学：阅读课本 P86~P87，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励 提问）. 二、师生互动 （一） ［师］勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理， 其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第 二版中，收集了这个定理的 37O 种证明并对它们进行了分类。 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上，还在用它来 放线，进行“归方”，即放“成直角”的线
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。尼加拉瓜在1971年发行了 套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理 现在让我们一起走进“勾股定理的应用” [师生共析]一起交流课本P86的例1、2和P87的“一起探究” (让学生主动提出问题,鼓励学生自己解决课本例题,可以用课本的练习作为例题) 例一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同 地以12海里/时的速度向西南方向航行,它们离开港口一个半小时后相距多远? 提示:此题关键是要弄明白方位角,能据题意画出图形. 方位角,上北下南,左西右东 东南方向是东、南的夹角平分线;西南方向是西、南的夹角平分线 东北方向是东、北的夹角平分线:西北方向是西、北的夹角平分线. 解:由题意画草图如下 因为△ABC为直角三角形 1个半小时以后,AC=12×1.5=18(海里 AB=16×1.5=24(海里) 所以由勾股定理得AC2+BA2=BC2 454 所以BC2=182+242BC2=900 所以BC=30(海里) 南 答:它们离开港口1个半小时后相距30海里. (二)小结 [师生共析]用数学知识解决实际问题,首先要把实际问题转化到一个相应的数学 模型中.在这里,就是转化到直角三角形中用“勾股定理”解决,或转化到由三角形边的数 量关系去识别它是不是直角三角形 在解决问题中,要将图形与数字有机地结合起来,善于发现和总结,抓住问题的本 质特征 例如:“南北向M为我国领海线,即M以西为我国领海,以东为公海,我反走私 艇在A发现一走私艇C偷偷向我领海开来,便立即通知正在MV线上巡逻的反走私艇B注意, 经测A、C距离13,A、B距离5,B、C距离12.” 利用画图可以帮助理解题意,发现AC=13,AB=5, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 jiaoxuewuyOr BAN 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。尼加拉瓜在 1971 年发行了 一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。 现在让我们一起走进“勾股定理的应用”. ［师生共析］一起交流课本 P86 的例 1、2 和 P87 的“一起探究”. （让学生主动提出问题，鼓励学生自己解决课本例题，可以用课本的练习作为例题） 例 一艘轮船以 16 海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同 地以 12 海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？ 提示：此题关键是要弄明白方位角，能据题意画出图形． 方位角，上北下南，左西右东． 东南方向是东、南的夹角平分线；西南方向是西、南的夹角平分线； 东北方向是东、北的夹角平分线；西北方向是西、北的夹角平分线. 解：由题意画草图如下． 因为△ABC 为直角三角形． 1 个半小时以后，AC＝12×1.5＝18（海里） AB＝16×1. 5＝24（海里） 所以由勾股定理得 AC2＋BA2＝BC2 所以 BC2＝182＋242 BC2＝900 所以 BC＝30（海里） 答：它们离开港口 1 个半小时后相距 30 海里． （二）小结 ［师生共析］用数学知识解决实际问题，首先要把实际问题转化到一个相应的数学 模型中.在这里，就是转化到直角三角形中用“勾股定理”解决，或转化到由三角形边的数 量关系去识别它是不是直角三角形. 在解决问题中，要将图形与数字有机地结合起来，善于发现和总结，抓住问题的本 质特征. 例如：“南北向 MN 为我国领海线，即 MN 以西为我国领海，以东为公海，我反走私 艇在 A 发现一走私艇 C 偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的反走私艇 B 注意， 经测 A、C 距离 13，A、B 距离 5，B、C 距离 12．” 利用画图可以帮助理解题意，发现 AC＝13，AB＝5
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ BC=12,正好是勾股数,所以三艇构成直角三角形 (三)鼓励学生讲解教师提供的例题.(例题的设置是分层的,安排不同基础的学生 尝试讲解,教师予以补充) 例1如图是一只圆柱形的封闭易拉罐,它的底面半径为4cm, 高为15cm,问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 分析:搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形,如图中的 AB、A2B,但它们都不是最长的,根据实际经验,当搅拌 棒的一个端点在B点,另一个端点在A点时最长,此时可以把 线段AB放在Rt△ABC中,其中BC为底面直径 解:如图,当搅拌棒在AB位置时最长,过B画底面直径BC,则在Rt△ABC中, Ac=15cm BC=4×2=8cm 根据勾股定理得 AB2=AC2+BC2=152+82=17 所以AB=17 答:易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长为17cm. 例3小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m,当他把 绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高. 分析:由题意可知绳子比旗杆多1m,把下端拉开m后,下端刚好接触地面,这时, 旗杆AB、绳子AC、旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形.如 图19-13如果设旗杆AB=xm,则绳长AC=(x+1)m 解:设旗杆高为Ⅻm,则绳子长(x+1)m在Rt△ABC中,AB=x,AC=x+1,BC=5根 据勾股定理得 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com BC＝12，正好是勾股数，所以三艇构成直角三角形． （三）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生 尝试讲解，教师予以补充） 例 1 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm， 高为 15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的 AB1 、 AB2 ，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌 棒的一个端点在 B 点，另一个端点在 A 点时最长，此时可以把 线段 AB 放在 Rt△ABC 中，其中 BC 为底面直径． 解：如图，当搅拌棒在 AB 位置时最长，过 B 画底面直径 BC，则在 Rt△ABC 中， AC＝15cm， BC＝4×2＝8cm 根据勾股定理得 2 2 2 2 2 2 AB AC BC = + = + = 15 8 17 所以 AB=17 答：易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长为 17cm． 例 3 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 lm，当他把 绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高． 分析： 由题意可知绳子比旗杆多 lm，把下端拉开 5m 后，下端刚好接触地面，这时， 旗杆 AB、绳子 AC、旗杆底点 B 与绳接触地面的点 C 所连结的线段 BC 构成直角三角形．如 图 19—13 如果设旗杆 AB＝ x m，则绳长 AC＝(x＋1)m. 解：设旗杆高为 xm，则绳子长(x＋1)m 在 Rt△ABC 中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5 根 据勾股定理得
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 即 +5 x=12m 所以旗杆的高度为12m 三、补充练习 作业:P8788习题 〖分层练习 基础知识 1.(1)如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm) 计算两圆孔中心A和B的距离为 ABL (2)一棵大树被风刮断后折倒在地面上,如图,如果量得AC=6m,CB=8m.则树在刮断之 前有 晑 (3)如图:有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树 相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢,至少飞 2.要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米的拉线,求地面拉线固定点A到电线杆底部 B的距离 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 2 2 AC = AB + BC 即 ( ) 2 2 2 x +1 = x + 5 x =12m 所以旗杆的高度为 12m． 三、补充练习 作业：P87~88 习题 〖分层练习〗 基础知识 1. （1）如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm） 计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 . （2） 一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图,如果量得 AC＝6m，CB＝8m．则树在刮断之 前有________高 （3） 如图：有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两树 相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，至少飞了 米. 2. 要从电线杆离地面 5 米处向地面拉一条 13 米的拉线，求地面拉线固定点 A 到电线杆底部 B 的距离． 8 米 8米 2米 60 120 140 B 60 A C 7
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.有两根木棒,它们的长度分别是40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架,其中必须有 一个角是直角,则所需最短的木棒长度是多少? 4.一段长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面6皿,现将梯顶沿墙面下滑1m,则梯子 底端与墙面距离是否也增长1m?说明理由. 综合运用 5.小明把一根长为160cm的细铁丝剪成三段,作成一个等腰三角形风筝的边框ABC(如图) 已知风筝的高AD=40cm,你知道小明是怎样弯折铁丝的吗 6.如图,南北向MN为我国的领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50 分,我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来, 便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意 反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里 A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12 海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国 7.李叔叔想要检测固定像底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,但它只随身带 了卷尺(只有底座ABCD如图 (1)你能帮他解决吗? (2)要是李叔叔已经给量好:AD=30cm, 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．有两根木棒，它们的长度分别是 40cm 和 50cm，若要钉成一个三角形木架，其中必须有 一个角是直角，则所需最短的木棒长度是多少? 4．一段长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面 6m，现将梯顶沿墙面下滑 1m，则梯子 底端与墙面距离是否也增长 1m？说明理由. 综合运用 5．小明把一根长为 160 cm 的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边框 ABC(如图)， 已知风筝的高 AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？ 6. 如图，南北向 MN 为我国的领海线，即 MN 以西为我国领海，以东为公海．上午 9 时 50 分，我国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来， 便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意． 反走私艇 A 通知反走私艇 B：A 和 C 两艇的距离是 13 海里， A、B 两艇的距离是 5 海里．反走私艇 B 测得距离 C 艇是 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国 领海？ 7. 李叔叔想要检测固定像底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB，但它只随身带 了卷尺（只有底座 ABCD）如图． （1）你能帮他解决吗？ （2）要是李叔叔已经给量好：AD＝30 cm
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ AB=40cm,BD=50cm,AD边垂直AB边吗? (3)要是身边只有一把20cm的刻度尺怎样解决这个问题呢 〖答案提示 1.(1)100mm(2)16 (3)10. 2.解:由勾股定理得:AB+BC2=AC2 AB=AC-BC2=132-52=144,所以AB=12 答:固定点A到杆底的距离为12 3.30cm(提示:最短的是直角边,利用勾股定理可求得.) 4.不是lm(提示:根据题意可知AB=A'B′=10,AO=6,在Rt△ABO 中利用勾股定理可求B0=8.在Rt△A'B'0中可知BO=7 利用勾股定理可求AO2=51)49,所以梯子底端与墙面距离增长超过1m) 5.解:AB+B 设AB=xcm,则BD=(80-x)cm,由勾股定理知 AD+B=AB,即402+(80-x)2=x2,解得x=50 所以AB=AC=50cm,BC=60cm 答:小明把一根长为160cm的细铁丝剪成50、50、60三段即可. 6.解:设NN与AC相交于E,则∠BEC=90 又AB2+BC2=52+122=132=AC2 所以△ABC为直角三角形,∠ABC=90° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com AB＝40 cm，BD＝50 cm，AD 边垂直 AB 边吗？ （3）要是身边只有一把 20 cm 的刻度尺怎样解决这个问题呢？ 〖答案提示〗 1. （1） 100mm （2） 16m （3） 10. 2. 解：由勾股定理得：AB 2＋BC 2＝AC 2 AB 2＝AC 2－BC 2＝132－5 2＝144，所以 AB＝12． 答：固定点 A 到杆底的距离为 12． 3．30cm(提示：最短的是直角边，利用勾股定理可求得.) 4．不是 lm（提示：根据题意可知 AB= AB =10,AO=6,在 Rt△ABO 中利用勾股定理可求 BO=8. 在 Rt△ AB O 中可知 BO =7， 利用勾股定理可求 2 AO =51>49，所以梯子底端与墙面距离增长超过 1m） 5．解：AB+BD= 1 2 ×160=80． 设 AB=x cm，则 BD=(80－x)cm，由勾股定理知 AD 2 +BD 2 =AB 2，即 402 +(80－x) 2 =x 2，解得 x=50 所以 AB=AC=50 cm，BC=60 cm． 答：小明把一根长为 160 cm 的细铁丝剪成 50、50、60 三段即可. 6. 解：设 MN 与 AC 相交于 E，则∠BEC＝90°， 又 2 2 2 2 2 2 AB + BC = 5 +12 = 13 = AC ， 所以△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°， B B' O A' A
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 因为MN⊥CH 所以走私艇进入我领海的最近距离是CE CE2+BE2=144 la3-CE)2+BE2-25 (认真审题是解决本题的关键) 144 两式相减得:CE 14A.:13521690.85(小时)0.85小时=51分钟 144 9时50分+51分=10小时41分 答:走私艇C最早在10时41分进入我国领海 7.(1)(由于方法很多,在此列出一种供参考:) 是用卷尺测量一下AB、BD、AD的长度,看看是否满足:D A+AB=B.如果满足,则DA⊥AB于A,否则 就不垂直,同理可检测CB是否垂直于AB. (2)一定垂直,因为李叔叔测得的三边正好是勾股数,所以△ABD一定是直角三角形 (3)方法很多,例如可以在AB上一段一段的测量AB,同样的办法量出BC、BD即可,从而 得到结论 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 因为 MN⊥CE， 所以走私艇进入我领海的最近距离是 CE， （认真审题是解决本题的关键） 两式相减得： 144 13 CE = ， = 0.85（小时）0.85小时 = 51分钟 169 144 13 13 144 ， 9 时 50 分＋51 分＝10 小时 41 分． 答：走私艇 C 最早在 10 时 41 分进入我国领海． 7.（1）（由于方法很多，在此列出一种供参考：） 是用卷尺测量一下 AB、BD、AD 的长度，看看是否满足： AD 2＋AB 2＝BD 2．如果满足，则 DA⊥AB 于 A，否则 就不垂直，同理可检测 CB 是否垂直于 AB． （2）一定垂直，因为李叔叔测得的三边正好是勾股数，所以△ABD 一定是直角三角形． （3）方法很多，例如可以在 AB 上一段一段的测量 AB，同样的办法量出 BC、BD 即可，从而 得到结论．