全国中学生物理竞赛课件10：曲线运动的动力学解

幽线动与力 ◆曲线运动发生的条件 合外力方向与速度方向不在一直线 切向力改变速度大小 ∑F1=mn=m △p △t 法向力改变速度方向 ∑F ∑ F=man = m ■■■■ 求解曲线运动的动力学方法 ∑F∑Fn 徽好两项份新 物体运动情况分析 正交分解法 物体受力情况分析

♠ 曲线运动发生的条件 合外力方向与速度方向不在一直线 ΣF v ΣFn ΣFt 切向力改变速度大小 t t v F ma m t  = =   法向力改变速度方向 2 n n v F ma m   = = ♠ 求解曲线运动的动力学方法 物体运动情况分析 物体受力情况分析

专题10-例1如图所示,滑块4质量为M,因绳子的牵引而沿水平 导轨滑动,绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上,鼓轮以等角速度 o转动.不计导轨摩擦,求绳子的拉力F与距离x之间的关系 解 ·分析滑块受力:重力Mg、导轨支持力FN,绳子拉力Fr B 分析滑块4运动: A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点 ● B的平动及以切点B为中心的转动的合成O vt=ro vn=rotan 由牛顿第二定律 2 X:F+F sin 8-Mg B=M-L A实际运动沿水Wg=Fsin+FN rcos rotanev F+Misin @-Fr sin 0-Msin6=M 由几何关系 x cos e Mrofx Nx-r tand= ,c0s: x -I Mg

X Y 如图所示，滑块A质量为M，因绳子的牵引而沿水平 导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上，鼓轮以等角速度 ω转动．不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系． 专题10-例1 B x r A ω O  分析滑块A受力： A Mg FN FT v vt vn 重力Mg、导轨支持力FN，绳子拉力FT 分析滑块A运动： A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点 B的平动及以切点B为中心的转动的合成 t v r =  v r n =   tan  由牛顿第二定律: 2 sin sin co : s t T N v X F F Mg M x    + − = A实际运动沿水平 Mg F F = + T N sin ( ) 2 2 tan sin sin sin cos T T r F Mg F Mg M x       + − − = 由几何关系 2 2 2 2 tan cos r x r x x r   − = = − ( ) 4 2 2 5 2 2 T Mr x x F r  − =

CC看感 如图所示,套管4质量为M,因受绳子牵引沿竖直杆向上滑 动,绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上,当鼓轮转动时,其边緣 上各点的速度大小为v,求绳子拉力和距离x之间的关系. 解 ·分析滑块4受力 重力Mg、绳子拉力 r、导轨支持力FN 分析滑块运动:滑块沿导轨向上的运动 g 速度ν可视作沿绳向滑轮B的法向速度v 及以B为中心转动的切向速度v的合成! tan e 由牛顿第二定律: X: F-Fn sin 0-Mg cos0=M-g A实际运动沿竖直,在水平方向满足 2 +L L Fr sin= FN Fr-Fr sin'0-Mgcos0= M 1+ √x2+L cos 6 gx2√x2+2cos0 T cos 6=Mg cos 8+M x+ xix+l 3

B A ω 如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑 动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘 上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系． X Y 分析滑块A受力： Mg FN FT 重力Mg、绳子拉力 FT、导轨支持力FN 分析滑块A运动： vA v0 vt 滑块沿导轨向上的运动 速度vA可视作沿绳向滑轮B的法向速度v0 及以B为中心转动的切向速度vt的合成！ 0 v v t = tan  x L 由牛顿第二定律: 2 2 2 : sin cos t T N v F F Mg M x X L − − =   +   A实际运动沿竖直，在水平方向满足 F F T N sin = 2 0 2 2 2 sin cos T T L v x F F Mg M x L         − − = + ( ) 2 2 0 2 2 2 cos cos T v L F Mg M x x L  = +   + ( ) 2 0 2 2 2 1 cos cos T Mg v L F gx x L     = +     +   2 2 2 2 0 3 1 x L v L Mg x x g +     +     =

C付手黑如围所示,长度为的不可伸长的系在坚直的项端,在线的 下端悬挂质量为m的一重物.再在这重物上系同样长度的另一根线,线的下端悬挂 质量也为m的另一个重物.軸以恒定角速度ω转动.试证明第一根线与竖直线所成 角度小于第二根线与竖直线所成角度 解 设第一根线上拉力为F,第二根线上拉力为Fn 在竖直方向 cOSC=2 cos B=mg 在水平方向 mg Fr sina- Fr2 sin B=mlo sina 0 mg tan B=( sin a t sin 2 2 tan a-tan B SIna .&0 2

如图所示，长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的 下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂 质量也为m的另一个重物．轴以恒定角速度ω转动．试证明第一根线与竖直线所成 角度小于第二根线与竖直线所成角度． ω   mg mg 设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为FT2 FT2 FT1 在竖直方向 1 cos 2 F mg T  =  2 cos F mg T  =  在水平方向 ( ) 2 mg ml tan sin sin     = + 2 1 2 F F ml T T sin sin sin     − = ( ) 2 tan sin sin l g     = + 2 2tan tan sin l g     − =  2 tan tan sin 2 l g     − =  > 0   <

过C手如图所示,小物块质量为m,在半径为的圆柱面上沿螺线形 的滑槽滑动,运动的切向加速度大小为q=gsin,式中α为螺旋线的切线与水平面 的夹角,求:由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小 解 小物块切向加速度的水平分量为: tx= gina·cosc 产生这个加速度的切向水平力大小: F= madina·cosc 此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方 向水平之力,其对轴产生的力矩即为使 D 柱面绕中心轴转动的力矩: M=( mgsina·cosa)·r mgr sin 2a 2

如图所示，小物块质量为m，在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形 的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为at=gsinα，式中α为螺旋线的切线与水平面 的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．  r A B C D 小物块切向加速度的水平分量为： sin cos tx a g =    产生这个加速度的切向水平力大小： F mg =  sin cos   此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方 向水平之力，其对轴产生的力矩即为使 柱面绕中心轴转动的力矩： M mg r =   ( sin cos  ) sin 2 2 mgr = 

试广手照:图所示,质量为m,半径为的圆木搁在两个高废相同的支架上 右支架固定不动,而左支架以速度从圆木下面向外滑.求当两个支点距离 AB=万r时,圆木对固定支架的压力F.(两支架开始彼此靠得很近,圆木与支 架之间的摩擦不计) 由几何关系知∠AOB 元 2 N 分析圆园木受力重力mg、支架A、B支持力FM4、FRB 分析圆木运动圆木质心O绕4点转动 2 圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 2 O对A点转动的线速度n2 mmg 圆木的运动方程 2 g g 2 NAm=m 2 2r 2r v2≤√2g否则圆木 NA 2 g 2r 已与固定支架脱离

v v 如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上， 右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离 时，圆木对固定支架的压力FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支 架之间的摩擦不计） AB r = 2 B O r r A 2 AOB  由几何关系知  = 分析圆木受力 mg FNA 重力 FNB mg、支架A、B支持力FNA、FNB 分析圆木运动：圆木质心O绕A点转动 v 圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 O对A点转动的线速度 2 2 O v v = 2 2 v 圆木的运动方程 2 2 2 O NA v mg F m r − = 45 2 2 v m r = 2 2 2 2 NA v m g r F    −   =    vO FN 2 2 2 2 FN v m g r     −    =  2 v gr  2 否则圆木 已与固定支架脱离

CE感【G如图所示,用手握着一绳端在水平桌面上做半径为的匀速圆 周运动,圆心为O,绳长为L,质量可以忽略,绳的另一端系着一个质量为m的小 球,恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动,小球和桌面之间有摩擦, 求:(1)手对细绳做功的功率P;(2)小球与桌面之间的动摩擦因数H 鼐解 小球圆运动的半径设为R R=√r2+D =a√r2+2 口 分析小球受力绳拉力T;桌面摩擦力∫ 小球圆周运动,在法向有 Tcos0=mo2V]2+12 R ■■■■ 手拉速度v=Or3p2+2 P=7=m ∴小球匀速圆周运动,在切向有 f=Tsin 6=ma' R√R2+L

如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆 周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小 球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦， 求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ． V r v L f 2 2 R r L = + 小球圆运动的半径设为R R 2 2 V = r L+ 分析小球受力  绳拉力T；桌面摩擦力f ∵小球圆周运动，在法向有 2 2 2 T m r L cos  = + 手拉端速度 P Tv = 3 2 2 r L m r L  + = v r = ω ∵小球匀速圆周运动，在切向有 f T= sin 2 2 2 R R L m L =  +

手〔有两个相同的单据,把一个捡在另一个的下面,使它们各在 个水平面内做匀速圆周运动,设两条摆线长D)与竖直线所成的夹角都很小,已知 在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内,求此平面转动的角速度,以及两 质点轨道半径之比 解 。两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能 分析各球受力及运动轨迹 「下球m8n=mRb→O=1B 上球 Fi sinaI2sinB=mRk 其中F1= 2mg g g cos a Cos B 等号两边相除得由几关得 ■口■ R 2 L(√2a±:a! R 2a√ L sin a g BB±ac R 在α阝小角度的条件下 2a+B =√2±1 sinx=x=tanx g 干

有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一 个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长Ｌ)与竖直线所成的夹角都很小．已知 在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两 质点轨道半径之比． 两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能 R   mg F1 F2 F1 mg F2 R 分析各球受力及运动轨迹 r r  mg  mg 2 2 1 2 tan sin sin mg mR F F mr        =  =  下球 上球 其中 1 2 2 cos cos mg mg F F   = = tan 2tan tan R r    = 在α、β小角度的条件下 sin tan x x x 1 2   = 2 1 R r =  ( 2 2 ) g L  = 等号两边相除得 2       =  (sin sin ) sin L L     = 由几何关系得 2 2 2 g R  =  2 2 

盘点竖直平面 刂的圆周运动的规獰 ◆水平直径以含点的临界速度 (1)在水平直径以上各点弹力方向是指 向圆心的情况,例如系在绳端的小球,过 山车 Fr+ mg sin 8=m 线 当Fr=0时,v临界贴绳计氵 R 轨道 mg 在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是: v≥√ gRin (2)在水平直径以上各点弹力方向是 背离圆心的情况,例如车过拱形桥. 2 mg sin 6-F R 当FN=0时,临界= Rg sin( R轨道 在水平直径以上各点 不脱离轨道的条件是: v≤√ gRin mg

♣ 水平直径以上各点的临界速度 ⑴在水平直径以上各点弹力方向是指 向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过 山车…… 线 绳 v  mg FT 2 T sin v F mg m R + =  R 当FT =0时，v 临界= Rgsin v 轨 道 mg FN 在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是 ： v  gRsin ⑵在水平直径以上各点弹力方向是 背离圆心的情况，例如车过拱形桥…… 轨 道 mg 2 FN sin N v mg F m R  − = 当FN =0时，v 临界= Rgsin 在水平直径以上各点 不脱离轨道的条件是 ： v  gRsin 