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简锋遇动的确认 振动系统1竖直面内振动的弹簧振子 玊岳宜 所在丘置 在平衡位置时:mg=kx0 在距平衡位置处时:EF=mg-(x+x) 则该振动系统做简谐运动,且周期为 T=2元
平衡位置 所在位置 x0 在平衡位置时： mg kx = 0 mg kx0 x mg k(x0+x) 在距平衡位置x处时： = − + F mg k x x ( 0 ) = −kx 则该振动系统做简谐运动,且周期为 T 2 m k = 振动系统1 竖直面内振动的弹簧振子
振动系统2单摆 F= mosin6T=2z、 当角很小时 sin6≈b T=2丌 BO≈BO=x g 则有回= mosin6=mg日 BAx BO = mg =-mg
mg T F回 F mg 回 = sin 当θ角很小时 sin O B BO BO x = x 则有 F mg mg 回 = = sin BO mg l = l x mg l = mg l = −= −k x 2 m T k = 2 l T g = 振动系统2 单摆
振动系统3如图所示,劲度系数为k的弹簧一端固定,另 端与质量为m的物体a相连,当弹簧处于自然长度时,将a无 初速地放置在匀速运动(速度很大)的足够长的水平传送带 上,弹簧轴线保持水平,设4与传送带间动摩擦因数为μ,试 说明A将做什么运动? 在平衡位置时:pmg=k4 00000a 在距平衡位置x处时: ③m1(4- ∑F=k(4-x)-mm umg KA A 该振动系统做简谐运动,且周期为 T=2兀 平置 k
如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一 端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无 初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带 上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试 说明A将做什么运动？ 在平衡位置时： mg kA = a 平 衡 位 置 mg kA A x 在距平衡位置x处时： mg k A x ( − ) = − − F k A x mg ( ) = −kx 振动系统3 a 该振动系统做简谐运动,且周期为 T 2 m k = v a
传题12例2如图所示,密度为p的液体注入一弯折细管中,弯折管之两段与 水平面的交角为a、阝,液柱总长为l.若对液体平衡状态加一扰动,则管中液柱即 开始往复振动,求证:其属简谐运动并求振动周期.毛细管作用及摩擦忽略不 计 解 取管之底端一截面积为s的液片 该液片在平衡位置时: 左=F右=Pg 若液柱向右侧振动液片在 平衡位置右侧x时: >F=PgS( a)-Pgs(ho+xsin B) -pgs(sin a= sin/)x T=2丌 pgs(sina+sinB)22 g(sin a+sin B)
如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与 水平面的交角为α、β，液柱总长为l．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即 开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不 计． x 0 该液片在平衡位置时： F F gh s 左 = = 右 0 h0 取管之底端一截面积为s的液片 若液柱向右侧振动,液片在 平衡位置右侧x时： x x F gs h x gs h x = − − + ( 0 0 sin sin ) ( ) ( ) 2 sin sin ls T gs = + = − + gs(sin sin = −k) x 专题12-例2 ( ) 2 sin sin l g + =
传题12-例3如图所示,设想在地球表面的AB两地之间开凿一直通隧道 在A处放置一小球,小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动,忽略一切 摩擦阻力.试求小球的最大速度,以及小球从A到B所需时间.已知地球半径为R 地球表面的重力加速度为g,A和B之间的直线距离为L,地球内部质量密度设为均 匀,不考虑地球自转 解 rM·mGMm R B F=G R GMm. x R 3 R GMm R 七小球过平衡位置时速度最大为: 可知小球在隧道中做简谐运动! D=A0 R R T=2兀 ve t=z 272W
x L R A Ｏ B d F 3 3 2 3 r M m R GMm F G r r R = = F回 3 GMm x F r R r 回 = 3 GMm x R = − 可知小球在隧道中做简谐运动! v A m = mg x R = − 2 L g R 2 L g R = 小球过平衡位置时速度最大,为: 2 R T g = t R g = r 如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道， 在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切 摩擦阻力．试求小球的最大速度，以及小球从A到B所需时间．已知地球半径为R， 地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均 匀，不考虑地球自转． 专题12-例3
专题12-例5力心小、B相距,一质量为m的质点受与距离平方反比的有心 力作用而平衡于两点连线上的O点,若将质点稍稍偏离平衡位置,试确定其运动情 况 解 质点在平衡位置O时:AR O B KK B 則R K √k R K+√k K+√k 质点在距平衡位置x的某位置时: K K 十 kli_x B r+x R R ∑F 々2112 K +;个kk R R2Rk辰 T=2丌 元 々(K+V K+ Kk13 )2V2ml√Kk
FB FA 2 2 K k R r = 质点在平衡位置 A R O x r B O时： K k l l K k K k R r = = + + 則 质点在距平衡位置x的某位置时： ( ) 2 2 2 1 A K K x F R x R R − = = + + ( ) 2 2 2 1 B k k x F r r r x − = = − − 2 2 1 2 1 2 K x k x F R r R r = + − − 2 2 3 3 2 K k K k x R r R r = − − + 3 3 2 K k x R r = − + ( ) 4 3 2 K k x Kkl = + − ( ) 4 3 2 2 m T K k Kkl = + ( ) 2 2 l ml Kk K k = + 力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥 力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情 况． 专题12-例5
寸冖∈如图所示,甲、乙二摆球质量分别为M、m,以不 计质量的硬杆将二摆球连接在一起,甲球摆长为l,乙球摆线很长, 两球在同一水平面上静止,现使之做小振幅的摆动,它的周期是 解 在振动的某一位置,甲摆线偏离竖直方 向一小角度时,乙摆线仍为竖直 Fr=Mg sin 8=-MMg 由简谐振动周期公式 M+m T=2丌 WK M+m)I T=2 乙甲 Mg Ms
≈ 在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方 向一小角度θ时，乙摆线仍为竖直 乙甲 Mg F回 sin Mg F Mg x l 回 = = − 由简谐振动周期公式： 2 m T k = M+m ( ) 2 M l Mg T m + = 如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不 计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长， 两球在同一水平面上静止．现使之做小振幅的摆动，它的周期是 ．
了广手三根长度均为=2.0m,质量均匀的直杆,构成一正三角形 框架ABC,C点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动,杆AB是一导 轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图所示.现观察到松鼠正在导轨上运动 而框架却静止不动,试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述 解 框架处于静止,受力如图: 对C点必有:mgx=f·lsin60 f∫= 2mg. x ■■■■■■■■题■ 3l B 对松鼠有:f"= 2m 3l 可知松鼠做谐振且有 g 3l Mg T=2兀 ≈2.6s
框架处于静止 ,受力如图: Mg mgx f l = sin60 A B C mg f 对C点必有: 2 3 mg f x l = 对松鼠有 x : 2 f 3 m f g x l = − 可知松鼠做谐振且有: 3 2 2.6 2 T l g = s 三根长度均为l＝2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形 框架ABC，Ｃ点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导 轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动 而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述．
疒手『长度为L的轻铁杆,一端固定在理想的铰链上,另 端搁在劲度系数为k的弹簧上,如图.试确定铁杆小振动周期与质 量为m的重物在杆上的位置之关系 解 当重物位置在距铰接点时,系统处于 L 平衡时若弹簧形变量为x受力如图5 有mg·l=kxo·L 振动中重物有一对平衡位置位移x时, ng 重物受力如图 对轻杆有F·l=kxn+xL 对重物有 ∑F=ng-FA 轻杆受力如图:mkx+X LL knot=x =-k 2.x T=2T LVk
当重物位置在距铰接点l时 ,系统处于 平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图: mg l kx L 0 有 = Ｌ l kx0 mg 振动中重物有一对平衡位置位移x时, 重物受力如图: x 0 L k x x l + mg FN 轻杆受力如图: FN 对轻杆有 N 0 L F l k x x L l = + 对重物有 F mg F = − N 0 L L mg k x x l l = − + 2 2 L k x l = − T 2 l m L k = 长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另 一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图．试确定铁杆小振动周期与质 量为m的重物在杆上的位置之关系．