◆对称法 对具有一定对称性的电路通过对等势点的拆、合,对 称电路的“折叠,将电路简化为基本的串并联电路。 电流叠加法 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的,任一直流电路电流 分布,总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布,这就 是电流的可叠加性。对于一些并不具备直观的对称性的电路, 可根据电流的可叠加性,重新设置电流的分布方式,将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决。 Y-△变换法 利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论,通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换,达到简化电路成单纯 串联或并联的目的
♠ 对称法 ♠ 电流叠加法 ♠ Y-△变换法 对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对 称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就 是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。 利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的．
专题19-例1如图所示,12个阻值都是R的电阻,组成一立 方体框架,试求AC间的电阻RC、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 R G E F 解:AC间等效电阻 G 则R 3R·R3 AC R B D 3R+R4 D 续解
解: A B D C E F H G A C B D E G F H 3 3 4 3 AC R R R R R R = = + 则 AC间等效电阻: 如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立 方体框架，试求AC间的电阻RAC、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG． 专题19-例1 续解
AB间等效电阻 E R 2R R.R+ D 2.5R 则R AB R R 12 2R B r+ +r 2.5R ETR IF 2 H G R D 续解
A B D C E F H G AB间等效电阻: E G F H A B D C 2 R R 2 2 2.5 2 2 2.5 7 12 AB R R R R R R R R R R R R + = = + + 则 续解
AG间等效电阻 D R R ER—3 R G D
A B C D E F H G AG间等效电阻: F H C A B E D G 6 R 3 R 3 R 5 6 则 RAG = R
专题19-例2如图所示的正方形网格由24个电阻=8的电阻 丝构成,电池电动势E=6.0V,内电阻不计,求通过电池的电流 解 电源外电路等效电阻: B 2.5r 540 R AB-2.5r+ Q 7 通过电源的电流由 3 6.0 A=1.05A R AB 40/7
解: A B 0 2 电源外电路等效电阻 r : 0 0 0 0 0 2.5 5 2 40 .5 7 7 AB r r R r r r = = = + 通过电源的电流由 6.0 A 40 / 7 1.05A AB I R = = = 如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻 丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流． 专题19-例2
专题19例3波兰教学家谢尔宾斯基16年研究了一个有趣的几何图形,他 将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二,再把平分点连 起来,此三角形被分成四个相等的等边三角形,然后将中间的等边三角形挖掉, 得到如图2的图形;接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理,经 过第二次分割就得到图3的图形,经三次分割后,又得到图4的图形,这是带有自 相似特征的图形,这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫.它的自相似性就是将其中 个小单元(例如图4中的△BK)适当放大后,就得到图2的图形.如果这个分 割过程继续下去,直至无穷,谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空 图1 图2 图3 图4DA 数学家》何图形队性进行创造和点乙门称为“分 用于有关的物理领域,取得了有意义的进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题:设如图所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r;经一次分割得到 如图2所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一;经二次分割得到如图3所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一;三次分割得到如图4所示的图形,其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的八分之一 (1)试求经三次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻 (2)试求按此规律作了n次分割后,三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻 解答
波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形．他 将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连 起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉， 得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经 过第二次分割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自 相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似性就是将其中 一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个分 割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空． 图1 图2 图3 图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分 形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法 用于有关的物理领域，取得了有意义的进展． 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到 如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一． ⑴ 试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻． ⑵ 试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻 专题19-例3 A B C D E F A B C D E F A B l C 0 A B C D E F K G I J 解答
解 读题 对三角形ABC,任意两点间的电阻 Ro 对分割一次后的图形 RI 5-65-6 B 对分割二次后的图形 R rx一 可见,分割三次后的图形 5)2125 3234 递推到分割n次后的图形2(5 R 3(6
解: 读题 对三角形ABC,任意两点间的电阻 0 r 2 3 R = r A B C 对分割一次后的图形 2 r 1 6 3 5 9 5 2 R r = = r 5 6 对分割二次后的图形 r 5 12 r 2 5 6 r 2 2 5 6 2 3 R r = 可见,分割三次后的图形 3 3 125 2 2 3 5 6 3 4 R r r = = 2 5 3 6 n n R r = 递推到分割n次后的图形
C∈厂如图所示的平面电阻丝网络中,每一直 线段和每一孤线段电阻丝的电阻均为r.试求4、B两点间 的等效电阻 解 B B 3 = AB
如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间 的等效电阻． 解: A B A B B A B r A 3 4 RAB = r A B
矿′國三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络.已知每一个金属圆圈的电阻都是R 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB 解 个金属圈共有六个结点,每四分之 弧长的电阻R4 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图 B RIR R 8(82 R = R AB RR 8 8 5 R = R 4 48
A B 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R， 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB． 解: 三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图 4 R 8 R B A 8 8 2 8 8 2 AB R R R R R R R + = + + 5 48 = R 4 R