变力求功方法sC ◆方A刹用圈象一示功图 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F示功图 中F(s图线与轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中,这种“面积”的物理 意义就是功的大小.F
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理 意义就是功的大小． ♠ 方法 A s F 0 x W
专题8-例1锤子打木桩,锤每次从同一高度落下,每次均有8%的能 量传给木桩,且木桩所受阻力与插入深度x成正比,试求木桩每次打入的深度 比.若第一次打击使木桩插入了全长的13,全部插入须锤击多少次? 解 本题中的阻力∫为一与位移x成正比的变力,即戶kx 图中各阴影“面积”表示第1、2、不功图 3 ●0。。。 次锤击中,木桩克服阻力做 的功,数值上等于锤传给木桩的 ■■画 能量,设为W0 ●●●●● 0 idl 由图 x2:x2:x3∷…x2=W:2H:310…nW 1·2·3 xn=1:2:3…:√m A:2:25:=1(12-小(35-52:(- 当xn=1时,由 3 n=9(次) n
锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能 量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度 比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？ 专题8-例1 本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx 示功图 x F 0 x1 x2 x3 …… l W0 W0 W0 图中各阴影“面积” 表示第1、2、 3……次锤击中，木桩克服阻力做 的功，数值上等于锤传给木桩的 能量，设为W0． 由图 2 2 2 2 x x x x W W W nW 1 2 3 0 0 0 0 : : : : : : : n = 2 3 1 2 3 1 2 3 n x x x x : : : : = : : : n x1 2 3 : : x x x : : n = − 1 2 3 2 1 : 1 ( - : ) : ( ) ( n − − n ) 当xn=l时，由 1 1 n x x : = : n 3 1 l l n = n = 9(次)
专题8-例2某质点受到F=x2的力的作用,从x=0处移 到x=2.0m处,试求力F做了多少功? 解本题中的变力F与位移成F关系,F图线为抛物线 图中A“面积”表示力做的功示 功图 FN “面积”由阿基米德公式 弓 ×底×高 3 由示功图得F力做的功 r/m 矩 2 2 2 =2×24-×三×4×24 23 =16J
某质点受到F=6x 2的力的作用，从x=0处移 到x=2.0 m处，试求力F做了多少功？ 专题8-例2 本题中的变力力F与位移x成F=6x 2关系，F-x图线为抛物线 示功图 24 x/m F/N 0 2 W 图中 “面积” 表示F力做的功 “面积”由阿基米德公式 2 3 S 弓 = 底 高 由示功图得F力做的功 1 2 W S S = − 矩 弓 1 2 2 24 4 24 J 2 3 = − = 16 J
下手照如图所示,一质量为m,长为的柔软绳索,一部分平直地放在 桌面上,另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂,柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ.(1)柔绳能由静止开始下滑,求下垂部分长度至少多长?(2)由这一位置开始运动 柔绳刚离开桌面时的速度多大? 鼐解 s(①1)设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x则由 xo l g≥p 0 gamin 1+ (2)柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面,闽动能定理 WG-=票 2 其中,重力功等丹绳重力势能减少G 2 摩擦力为线性变力:B,x ug 示功图 2l 0 2 g ug(I-x gl 1+ 0
如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位置开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？ ⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由 0 0 ( ) m m x g l x g l l − 0min 1 x l = + ⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理 1 2 2 W W mv G f − = 其中，重力功等于绳重力势能减少 0 0 2 2 G m l m x W lg x g l l = − ( ) 2 2 0 2 mg l x l − = 摩擦力为线性变力： f m F xg l = 示功图 x Ff 0 l-x0 ( ) 0 m lxg l − Wf x ( ) 2 0 2 f mg l x l W = − ( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 g l x g l x v l l − − = −1 v gl = +
可C手一质点的质量为m,被固定中心排斥,斥力的大小 F=Hm,其中r为质点离开此中心的距离.在开始时,=a,=0,求 质点经过位移a时所达到的速度大小 鼐解 斥力为线性变化力! F 示功图 zuma 对示功图求梯形阴影“面积ma 2 um(a+2a) .a=suma ol 对质点经过位移m的过程,由动能定理 3 pma =mv 2 a√3
一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小 F=μmr，其中r为质点离开此中心的距离．在开始时，r0=a，v=0，求 质点经过位移a时所达到的速度大小． 斥力为线性变化力！ ma 示功图 r F 0 a a 2ma WF 对示功图求梯形阴影“面积” ( ) 3 2 2 1 2 2 W m a a = + a = ma 对质点经过位移a的过程，由动能定理 3 1 2 2 2 2 ma mv = v = a 3
C广手跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下,运动员的质 量m=60kg,其体形可等效为长度/=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体,略去空气 阻力,运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面,F量值随入水深度y变化 如图,该曲线近似为椭圆的一部分,长轴和短轴分别与OF和OF重合,为了确保运 动员绝对安全,试计算水池中水的至少应等于多少? 其中阻力功根据示功图为四分之一个精可 对全过程运用动能定理 示功图 mg(H+h)-浮-W阻=0-05 “面积” omg W 阻 阻 元 入水过程中,浮力随入水深度作线性变化浮分d2h 2 浮=Pg th-l 示功图 4(2 Poldi 浮 15丌 4 m(10+b)-p h m=0 2)8 160+3兀 I pgla h= m≈49 24 16(z-1)
跳水运动员从高于水面H＝10 m的跳台自由落下，运动员的质 量m＝60 kg，其体形可等效为长度l＝1.0 m、直径d＝0.30 m的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度y变化 如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运 动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？ 5mg/2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理: mg H h W W ( + − − = − ) 浮 阻 0 0 其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 “面积”: 示功图 1 5 W阻 4 2 mg W h 阻 = 入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化 2 4 d F g y 浮 = 示功图 Y F浮 0 l 2 4 g ld 2 1 2 4 gl d W l = 浮 2 4 2 d l W gl h l = + − 浮 ( ) 2 1 5 10 0 4 2 8 d m h l h mh + − − − = ( ) 160 3 m 16 1 h + = − 4.9 m
命法B用微元法 如果在某一位移区间,力随位移变化的关系 为F一(s),求该变力的功通常用微元法,即将位 移区间分成n(n∞)个小区间s/m,在每个小 区间内将力视为恒定,求其元功FSmn,由于功 是标量,具有“可加性”,那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段 位移中所做的功为 i=im∑W n→>0 在数学上,确定元功相当于给出数列通项 式,求总功即求数列m项和当n>∞时的极限
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 位移中所做的功为： ♠ 方法 B 1 lim n i n i W W → = = 在数学上，确定元功相当于给出数列通项 式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
专题8-例3半径等于的半球形水池,其中充满了水,把池内 的水完全吸尽,至少要做多少功? 解: 。沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n 层,每一元层水的高度△h=2 每一层水均可看作一个萍圆柱,水面下第层 水柱底面的半径 这层水的质量m1=Pnr 将这层水吸出至少应做的元功是 rn2 将池水吸尽至少要做的功是 W;=pn g W=lim∑W=pgzr 4 n pgnr lim|2(1+2+3+…+m) +2+3+…+n n→0 m(n_1.2(nn)271 n =Pg丌rIim x2244 Pg兀F
半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？ 专题8-例3 r ri 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 r h n = r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层 水柱底面的半径 这层水的质量 2 2 i r r r i n = − 2 2 i r r m r i n n = − 将这层水吸出至少应做的元功是 2 2 i r r r W r i g i n n n = − 将池水吸尽至少要做的功是 3 4 2 4 1 lim n i n i i i W W g r n n → = = = − ( ) ( ) 4 3 3 3 3 2 4 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 n g r n n n n → = + + + + − + + + + ( ) ( ) 2 2 4 2 4 1 1 1 1 lim n 2 4 n n n n g r n n → + + = − 1 4 g 4 = r
专题8-例4一个质量为m的机动小车,以恒定速度在半径为 R的竖直圆轨道绕“死图”运动.已知动摩擦因数为H,问在小车从 最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功? 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中,由于轨道支持力是变力, 故而摩擦力为一随位置变化的力! No.B 当小车运动在A处元圆弧段时p2 NA-mg sin 0A=m 2 R SA=UNA=um +gsin 6A R 摩擦力在A处元功为 2 丌R 元 WA=um gsin 0A +I 62=i R 当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 p Nr+mosin B =m R 续解
一个质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为 R的竖直圆轨道绕“死圈”运动．已知动摩擦因数为μ，问在小车从 最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题8-例4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中，由于轨道支持力是变力， 故而摩擦力为一随位置变化的力！ x y O A B 当小车运动在A处元圆弧段时 n mg NA A 2 A A sin v N mg m R − = A A f N = 2 sin A v m g R + = 摩擦力在A处元功为 2 A A sin v R W m g R n = + 当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 B A mg NB B 2 B B sin v N mg m R + = n 续解 i i n =