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物体平的种类 稳定平衡奠微偏高宗平衡 ◆不稳定平衡莫型骑稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置 ◆随机平衡型征能在随机位置保持平衡 平衡位置是包能最的位置
♠ 稳定平衡 O 稍微偏离原平衡位 置后能回到原位置 ♠ 不稳定平衡 稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置 ♠ 随机平衡 能在随机位置保持平衡 O
判断物体平衡类的一般操作 对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稍 偏离原平衡位置 或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变 化,根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡; 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量, 即重力对扰动后新支点的力臂,从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种 依问题的具体情况,择简而从 为比较扰动前后物体的受力与态势,要作出直观明 晰的图示;由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述, 故常需运用合理的近似这一数学处理手段
对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍 偏离原平衡位置． * 或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变 化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡； 为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明 晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述， 故常需运用合理的近似这一数学处理手段． 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量， 即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种． * 依问题的具体情况，择简而从． *
专题3-问题1如图所示,一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半 径分别为a、b且长轴的长度为l,蛋圆的一端可以在不光滑的水平 面上稳定直立.求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直 立,碗的半径r需满足的条件 :老察质心位置的高度变化 蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足 r>I-a b 低细节 B 蛋尖在球形碗内处科定平衡,应满足描述 R a-B CM′co(a-)+M CM 2 个(a1mm2Rm了 微扰情况下α、β为 整理得 cos-B)+28 a =B b b B 碗的半径r<(-a) 2R l-a-b 2 续解
如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半 径分别为a、b且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平 面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直 立，碗的半径r需满足的条件． 专题3-问题1 考察质心位置的高度变化 蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足 B A b a C l R R l a > − 低细节 描述 cos( ) 2 C M NM CM − − + > 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足 微扰情况下α、β为小量， cos( ) 2 R r R − − + > 1 cos( ) 2 r R − − − > 2 2 sin 2 R − = 2 2 2 R − = bR r R b − < 整理得 1 b b R = − 1 b b l a − − < 碗的半径 b l a ( ) a b r l − − − < 续解
续解 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足 C'M.sin(a-A A ICM.cos(a-B) B n BM M=M=MM=rB=b M.a-0 2 续解
N M O α-β M C A β C B α 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足 NM NM NM r b = = = = 2 2 2 NM − C M − cos( ) 续解 C M − sin( ) 续解
老察质心位置侧移量 蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位,即满足低细节 描述 CM·sin(a-B)<MN Ra-B<rB R B b pKr B bR b b 碗的半径八6(1-)11-a R-b b b I-a-b
考察质心位置侧移量 蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位，即满足低细节 描述 C M MN − sin( ) < R r − ( ) < r R r b − < bR r R b − < 1 b b R = − 1 b b l a − − < 碗的半径 b l a ( ) a b r l − − − <
专题3问题2如图所示,杆长上+质心在C点杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡试问在图示位置 时,此杄的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡?并证明之 析:先研究三力杆平衡时的几何位置特点: 在△BOC中由正弦定理: b(a+b)sin Po ao B C b sina sin(90-a+Po) B cos(a-po sin po sin a b bcos a cos a cos +sin oo sina (a+b tango a sina SIn@o sin ac b cos a cos po a sin@. sin a b 证明
如图所示，杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位置 时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之. 专题3-问题2 先研究三力杆平衡时的几何位置特点: A B a b φ0 α C O 在△BOC中由正弦定理: ( ) ( ) 0 0 sin sin sin 90 b a b + = − + α ( 0 ) ( ) 0 cos sin sin a b b − + = ( ) 0 0 0 cos cos sin sin sin sin a b b + + = 0 0 cos cos sin sin a b = 0 cos s n tan i b a = 证明 FA FB G
证法一:老察质心位置的高度变化 扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 yi(a+b)cos p sin a-b. sin(a-) =a sin a cos bcos sin p bcos a √a2sin2a+bcos2a cospp+ SIn √a2sin2a+b2cos2a √a2sin2a+b2cos2a =Va a+bcos a cos -tan 1 bcos a)已有 asina 结论 va??sin2a+b2cos2a cos(p-Po) 当q=q时质心C的高度有最大值Jm=va2sina+b2cosa 受扰动后杆质心降低属不稳定平衡 续解
考察质心位置的高度变化 A B φ α C y 扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 时 y a b b = + − − ( ) cos sin sin ( ) = + a b sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos a b a b a b a b = + + + + 2 2 2 2 1 cos sin cos cos tan sin b a b a a − = + − 已有 结论 ( ) 2 2 2 2 0 = + − a b sin cos cos 当 = 0 时 质心C的高度有最大值 2 2 ax 2 2 y m = a b sin cos + 受扰动后杆质心降低,属 不稳定平衡 续解
证法二:老虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量 O 原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O 此时,重力对O的力矩为0 如示扰动后杆的瞬时转动中心为O 此时,x=(a+b)cos(q+a) x= a cos c1·c0so- bsin q·sin xx AIlx-x=b cos u cos a-asin P, sina va2sin'ab2 cosa. sin(P-P)o sin(po-po x<x 重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置! 不稳定平衡
考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量 φ0 α A B C O C 1 原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O 如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′ O x x 此时,重力对O的力矩为0 此时, x a b = + + ( ) cos( 1 ) 1 1 x a b = − cos cos sin sin 1 1 则x x b a − = − cos cos sin sin 1 0 > ( ) 2 2 2 2 0 1 = + − a b sin cos sin sin( 0 1 − ) < 0 < 0 重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置! 不稳定平衡 a b x x < 1
专题3-问题3如图所示,课桌面与水平面夹角成以,在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔,欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动.试求:(1)在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ.(2)铅笔的 轴与斜面母线(斜面与水平面的交线)应成多大的角度放置? 解 考虑不滑动 铅笔在斜面上恰不滑动,有 masino- ug cos a max μ=tana摩擦角恰为斜面倾角 若满足≥tana笔不会因滑动而破坏平衡! 考虑不滚动笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! 应满足a 3a cot a tan a ≥ cos 2 cos p 2 放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角p> cos Cota 低细节 笔不会因滚动而破坏平衡! 描述
如图所示，课桌面与水平面夹角成α，在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动．试求：⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的 轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？ 专题3-问题3 考虑不滑动 铅笔在斜面上恰不滑动,有 max mg f mg sin cos = = = tan 摩擦角恰为斜面倾角 α φ 若满足 tan 笔不会因滑动而破坏平衡! 考虑不滚动 低细节 描述 笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! 应满足 3 tan 2cos 2 a a cot cos 3 放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角 1 cot cos 3 − > 笔不会因滚动而破坏平衡!