第四章一元函数微分学的应用 第一节 柯西(Cauchy)中值定理与 洛必达(L’Hosp ital)法则 第二节 拉格朗日(Lagrange)中值定理 及函数的单调性 第三节 函数的极值与最值 *第四节曲率 第五节 函数图形的描绘 第六节 一元函数微分学在经济上的应用 ID因☑
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 *第四节 曲 率 第三节 函数的极值与最值 第五节 函数图形的描绘 第四章 一元函数微分学的应用 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节柯西(Cauchy)中值定理与洛必 达(L'Hospital)法则 、柯西中值定理 洛必达法则 IDI☒
一、 柯西中值定理 二、 洛必达法则 第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数f(x)与F(x)满 足下列条件： (1)闭区间a,b1上连续； (2)在开区间(a,b)内可导： (3)F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点5， 使得fb)-fa@-fr5 F(b)-F(a)F(E) IDI☒
定理 1 （柯西中值定理）如果函数 f (x)与 F(x)满 足下列条件： (1) 闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点ξ， . f(b) f(a) f ( ) F(b) F(a) F ( ) 使得 一、 柯西中值定理
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称为。型或”型不定式（也称为。型或型未定型 0 00 0 00 的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法。 定理2（洛必达法则）若 (1)lim f(x)=0,limg(x)=0; (2)f(x)与g(x)在x的某邻域内（点x可除外） 可导，且g'(x)≠0； ☒D☑☒
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称为 0 0 型或 型不定式(也称为 0 0 型或 型未定型) 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法． (1) lim ( ) 0 0 f x x x ，lim ( ) 0 0 g x x x ； (2) f (x)与g(x)在 0 x 的某邻域内（点 0 x 可除外） 可导，且g'(x) 0； 定理 2 (洛必达法则) 若
(3)1im田=A(A为有限数，也可为+∞或-w),则 8'(x) lim ( lim f)= A, →g(x)g'(x) 证由于我们要讨论的是函数在点x的极限 而极限与函数在点x的值无关，所以我们可补充f(x) 与g(x)在x。的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响.令f(x)=g(x。)=0,则f(x)与g(x)在点x,就连 续了.在x,附近任取一点x,并应用柯西中值定理， 得 f(x)_f(x)-f()_() (5在x与x之间) g(x)g(x)-g(x)g'(5) ☑D☑☒
(3) A g x f x x x ( ) ( ) lim 0 ( A为有限数，也可为 或 )，则 证 由于我们要讨论的是函数在点 0 x 的极限， 而极限与函数在点 0 x 的值无关，所以我们可补充 f (x) 与g(x)在 0 x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f (x0 ) g(x0 ) 0，则 f (x)与g(x)在点 0 x 就连 续了．在 0 x 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 A g x f x g x f x x x x x ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g f g x g x f x f x g x f x (ξ在 x 与 0 x 之间)
由于x→x时，专→x,所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕。 注：上述定理对x→∞时的未定型同样适用，对于 x→X,或x→∞时的未定型”，也有相应的法则. I)I☑
由于 0 x x 时， 0 ξ x ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕． 注：上述定理对x 时的 0 0 未定型同样适用，对于 0 x x 或x 时的未定型 ，也有相应的法则．
例1求lim x-3x+2 x3-x2-x+1 x3-3x+2 3x2-3 解lim lim- x3-x2-x+1 13x2-2x-1 6x 6 3 lim- x16x-2 4 2 1+cosx 例2求lim 。 tanx 1+cosx 解 -sinx lim- lim =0. x-oπtanx →π1 cos2x ☒D☑☒
例 1 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 x x x x x x ． 解 1 3 2 lim 3 2 3 1 x x x x x x = 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 x x x x = 6 2 6 lim 1 x x x = 4 6 = 2 3 ． 例 2 求 x x x tan 1 cos lim π ． 解 x x x tan 1 cos lim π = x x x 2 π cos 1 sin lim = 0．
-arctanx 例3求 lim 2 r-4o h -arctanx 解 lim =lim- 1+x2 X lim x+o+ x(n>0). 例4求lim 解 lim 场x” =lim 三lim-x 你0 ☑D☑☒
例 3 求 π arctan 2 lim x 1 x x ． 解 π arctan 2 lim x 1 x x = 2 2 1 1 1 lim x x x = 2 2 1 lim x x x = 1． 例 4 求 ( 0) ln lim n x x n x . 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 n x n x n x nx nx x x x ．
除未定型与”之外，还有00，∞-0,0°，1，∞等未 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就0-∞未定型再举一例. 例5求imx-1) x-1 Inx 解这是0-∞未定型，通过“通分”将其化为 0未定型. 1 1） .xlnx-(x-D)=lim-x x-+Inx-1 lim =lim- x州x-1lnx) (x-1)Inx >1 Inx+- ☑D冈☒
例 5 求 x x x x ln 1 1 lim 1 ． 解 这是 未定型，通过“通分”将其化为 0 0 未定型． x x x x x x x x x x ( 1)ln ln ( 1) lim ln 1 1 lim 1 1 x x x x x x x 1 ln ln 1 1 lim 1 除未定型0 0 与 之外，还有 0 0 0, ,0 ,1 , 等未 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 未定型再举一例．
1 Inx 1 =lim- 1 一=lim,x 112· x1-二+lnx X xx 在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1)每次使用法则前，必须检验是否属于 0 0戟 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则： 00 (②）如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3)当1im巴不存在（不包括∞的情况）时，并不 8'e) 能断定m巴也不存在，此时应使用其他方法求极限。 8 ☒D☑☒
在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 0 或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当 g (x) f (x) lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 能断定 g(x) f(x) lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． x x x x ln 1 1 ln lim 1 2 1 1 1 1 lim 2 1 x x x x